2013년 10월 15일 화요일

수학의 귀류법(歸謬法) root 2가 유리수가 아님을 귀류법으로 증명하기

수학에서 귀류법 · 배리법은 증명하려는 명제의 결론이 부정이라는 것을 가정하였을 때 모순되는 가정이 나온다는 것을 보여, 원래의 명제가 참인 것을 증명하는 방법이다. 귀류법은 유클리드가 2000년 전 소수의 무한함을 증명하기 위해 사용하였을 정도로 오래된 증명법이다.

예를 들어 \sqrt{2}가 유리수가 아님을 귀류법으로 증명하기 위해서는 다음과 같은 과정을 따른다.

  1. \sqrt{2}가 유리수라고 가정한다. 따라서 \sqrt{2} = \frac{b}{a}으로 둘 수 있다. (a, b는 서로소인 자연수)
  2. 2a^{2} = b^{2}이므로 b^{2}는 2의 배수이다. b^{2}이 2의 배수이므로, b도 2의 배수이다. 따라서 b=2b'로 둘 수 있다. (여기서 b'는 자연수)
  3. a^{2}=\frac{1}{2}b^{2}=2b'^{2}이므로 a^{2}은 2의 배수이다. a^{2}이 2의 배수이므로, a도 2의 배수이다.
  4. 이는 a, b가 서로소라는 가정에 모순이다. 따라서 \sqrt{2}는 유리수가 아니다.
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