숫자로 풀어 보는 바둑의 원리

숫자로 풀어 보는 바둑의 원리

올해 중국에서 열리는 광저우아시안게임에서 바둑은 처음으로 정식종목이 됐다. 금메달이 3개나 걸려 바둑이 또 하나의 스포츠로 인정받은 셈이다. 이 글에서는 바둑을 전혀 모르는 사람도 바둑을 쉽게 이해할 수 있는 원리를 설명하고자 한다. 바둑돌을 전기를 띤 알갱이로 비유하는 방식으로 말이다. 평소 생각을 정리한 것이지만 필자의 바둑 실력이 아마추어 3, 4단밖에 안 돼 기고를 망설여왔다. 하지만 수치적 결과들이 재미있고 명쾌해 감히 소개해 보기로 한다.


우주를 담은 스포츠, 바둑

바둑판은 가로세로가 똑같이 19줄로 총 19×19=361집을 갖는다. 한가운데 있는 ‘천원’이라는 점을 제외하면 모두 360집이 되는데, 이는 1년이 약 360일이라는 천문학적 사실에서 비롯한 것이다. 흑과 백이 어우러지는 바둑은 음양오행 이론에 기반을 두고 우주를 형상화한 스포츠다. 그래서 ‘신선놀음’ 또는 ‘선비놀음’ 하면 가장 먼저 떠오르는 것 역시 바둑이다. 서양의 체스가 동양의 장기에 해당한다고 볼 때, 서양에는 동양의 바둑에 해당하는 스포츠가 없다. 이 사실만 봐도 우주에 대한 동양의 애착이 서양보다 더 깊다고 한다면 과언일까?

심오한 바둑의 원리를 수치적으로 설명하기 위해 이 글에서는 바둑돌을 전기장을 형성하는 전하에 비유하고자 한다. 즉 <그림 1>처럼 주변에 거리 제곱에 반비례하는 전기력을 미치는 *전하와 바둑돌을 동일시하겠다는 뜻이다. 바둑을 전혀 모르는 사람도 이 글을 읽는 데 지장이 없을 것으로 믿는다.

<그림1> 전하와 바둑돌

가정1 바둑돌은 주변에 거리 제곱에 반비례하는 힘을 미친다

<그림2> 힘이 미치는 돌 주변

위와 같은 가정 아래 <그림 2>를 보자. 점 A는 흑돌에서 거리가 1(칸)이다. 돌이 거리가 더 먼 점 B에 미치는 힘은 점 A에 미치는 힘보다 약할 수밖에 없다. 그러면 얼마나 더 약할까? 돌이 거리 제곱에 반비례하는 힘을 미친다고 가정했으니까 답은 간단하다. 돌에서 점 B까지의 거리는 2이므로 제곱은 4가 되고 힘은 1 4    로 약해지는 것이다.

<그림3> 돌이 미치는 힘의 세기

점 C는 어떨까? 돌에서 점 C까지 거리의 제곱을 피타고라스 정리를 이용해 구하면 2 2   +2 2   =8이다. 점 C는 점 A보다 1 8    의 힘을 받는다고 결론내릴 수 있다. 이런 식으로 돌이 주변 점들에 미치는 힘을 구하면 <그림 3>처럼 된다.

<그림4> 보정된 힘의 세기

<그림 3>은 돌의 영향력이 거리가 멀어질수록 감소한다는 사실을 보여 준다. 특히 돌을 포함한 행과 열, 대각선 방향의 분수는 규칙성을 가진 수열을 이룬다는 점이 눈에 띈다. 그런데 <그림 3>은 분수로 나타나 있어 의미가 금방 눈에 들어오지 않는다. 그래서 모든 분수에 40을 곱한 <그림 4>를 활용하기로 한다. <그림 4>의 숫자는 반올림해서 소수점 첫째 자리까지 표기했다.

가정2 여러 바둑돌이 미치는 힘은 숫자의 합으로 구한다

<그림5> 나란히 높인 두 돌 주변

두 번째 가정은 계산을 최대한 단순하게 만들기 위해서 도입했다. 필자는 계산기를 쓰지 않고, 심지어 지루한 국제선 비행기 안에서도 손으로만 계산해 이 원고를 작성했다. 힘의 세기는 단순한 숫자의 합이 아니라 방향도 같이 고려해야 한다. 하지만 방향의 합은 계산기를 쓰지 않고는 구할 수 없을 뿐 아니라 값이 크게 다르지 않으므로 이 가정을 받아들이기로 한다.

<그림6> 두 돌 주변의 힘

두 바둑돌이 나란히 놓인 <그림 5>를 보자. 두 돌이 점 A에 미치는 힘은 어떻게 구할까? <그림 4>에서 왼쪽 돌이 점 A에 미치는 영향은 40, 오른쪽 돌이 미치는 영향은 20임을 알 수 있다. 따라서 가정 2에 따라 두 돌이 점 A에 미치는 힘의 세기는 40+20=60이 된다.

<그림7> 적당히 떨어진 두 돌

마찬가지로 두 돌이 점 B에 미치는 힘은 40+10=50, 점 C에는 10+8=18, 점 D에는 5+8=13이 된다. 이런 식으로 나란히 놓인 두 돌 주변의 힘의 세기를 구하면 <그림 6>과 같이 된다.

<그림8> 멀리 떨어진 두 돌

이번에는 <그림 6>의 경우보다 두 돌의 간격을 더 넓힌 <그림 7>과 <그림 8>의 경우를 보자. 주어진 숫자의 크기를 보더라도 <그림 7>의 경우가 <그림 6>이나 <그림 8>의 경우보다 더‘효율적’임을 알 수 있다. 효율적이란 말은 두 돌이 미치는 힘이 더욱 넓고 크게 퍼져나갈 수 있다는 뜻이다. 여기서 <그림 7>의 두 돌 간격이 적당하다는 사실을 깨닫게 된다. 실제 바둑에서도 <그림 6>이나 <그림8>처럼 두 돌을 놓는 경우는 흔치 않다. 마찬가지 원리로 <그림 9>의 A와 같은 ‘빈삼각’ 모양이나 B와 같은 ‘포도송이’ 모양을 피하는 이유도 잘 설명된다.

<그림9>

가정3 흑과 백은 서로의 힘을 소멸시킨다

<그림10> 흑과 백이 서로 힘을 상쇄시키는 예

바둑은 둘이 두는 스포츠다. 따라서 흑이 놓으면 다음은 백의 차례가 된다. 흑의 돌이 <그림 4>처럼 어딘가에 놓여 바둑판 전체에 힘을 미치고 있다고 하자. 백은 어디에 둬야 할까? 백돌도 <그림 4>처럼 주변에 힘을 미쳐야 하지만 가정 3에 따라 우리는 백돌이 미치는 힘에 (-) 부호를 붙이기로 한다. 즉 <그림 10>처럼 흑돌이 주변에 (+) 값의 숫자로 힘을 미친다면 백돌은 (-) 값의 숫자로 흑돌의 힘을 상쇄시키는 것이다.

<그림11> 사석의 정의

이 가정을 도입하면 원리적으로는 바둑 소프트웨어를 만들 수 있다. 흑이 첫 수를 두면 바둑판에서 돌이 놓인 점을 제외한 나머지 360점에 미치는 힘의 크기를 모두 (+) 숫자로 부여한다. 다음으로 백이 두면 359점에 (-) 숫자를 부여해 흑돌이 부여했던 (+) 숫자들을 상쇄시키는 것이다. 즉 백이 놓아야 할 곳은 흑의 힘을 최대한 상쇄시키는 점이 된다. 물론 처음에는 답이 여러 개 나오겠지만 경기를 진행할수록 개수는 줄어들 것이다.

가정 3은 <그림 11>처럼 사석, 즉 죽은 돌을 정의하는 데도 자연스럽다. 즉 사방이 막혀 힘을 잃은 돌을 죽었다고 정의하는 것이다.

<그림12>

바둑에서는 한 점을 들어낸 모양을 ‘빵때림’ 했다고 표현한다. ‘빵때림 30집’이라는 말이 있듯이 빵때림의 위세는 대단하다. <그림 4>처럼 숫자로 표현하면 빵때림의 위세는 <그림 12>에서 보는 바와 같다.

<그림13> 포석의 시작 예

문제는 계산대로라면 흑이 첫 수를 무조건 바둑판의 한가운데인 *‘천원’에 둘 수 밖에 없다는 점이다. 그래야만 백이 다음 수를 어디에 두더라도 (+)값이 남기 때문이다. 이것만 보더라도 먼저 두면 유리하다는 사실을 깨닫게 된다. 하지만 실제 바둑에서는 바둑판의 가운데보다는 *‘변’에, 변보다는 *‘귀’에 먼저 돌을 놓는다. 예를 들어 바둑 초반, 즉 포석단계에서는 <그림 13>에서 보는 바와 같이 첫 수를 흑이 *‘화점’에 두고 백은 다른 화점 A, B, C 주위 어딘가에 두게 된다.

<그림14> 변의 포석 예/ (X) (O)

이뿐 아니다. 포석단계에서 <그림 14>에서 보는 바와 같이 가장자리로부터 5번째 줄부터 중앙 방향으로는 돌을 놓지 않는다. 따라서 우리는 귀와 변에 가산점을 부여할 수밖에 없다. 그리고 변보다는 귀가 가산점이 더 커야 한다.

가정4 바둑판의 가장자리는 힘을 반사하는 '거울'이다

<그림15> 거울에 둘러 싸인 물체와 4개의 허상

문제는 귀와 변에 어떻게 가산점을 주느냐에 있다. 필자는 그 방법의 하나로 바둑판의 가장자리를 거울로 가정하는 아이디어를 제시하고자 한다. <그림 15>에서 보는 바와 같이 사방이 거울로 둘러싸인 한 점에 물체가 놓이게 되면 물체 하나에 4개의 *‘허상’이 맺힌다. 이것을 바둑판에 적용해 보자.

필자의 생각은 바둑돌의 허상 4개의 힘을 합해 주자는 것이다. 이를 고려하면 <그림 16>에서 보는 바와 같이 힘의 크기가 마치 거울에 반사해 보태지는 것처럼 자연스러워진다.

<그림16> 허상을 고려하여 보정된 힘의 크기

그뿐 아니라 돌이 귀에 가까이 놓일수록 허상 2개가 더욱 접근하므로 귀는 자연스럽게 변보다 더욱 큰 값을 갖게 된다. <그림 15>에서는 바둑판을 위에서 내려다 보는 것이고 <그림 16>에서는 바둑판을 옆에서 보는 것임에 유의하자.

<그림17> 허상으로 보정된

이런 식으로 돌이 ‘33’에 놓인 경우를 <그림 4>처럼 나타내면 <그림 17>이 된다. 비교하면 값이 분명하게 보정됐음을 알 수 있다.


바둑 소프트웨어 만들기

<그림18> 바둑판의 수학적 정의

앞에 나온 4개의 가정을 이용하면 적어도 원리적으로는 바둑 소프트웨어를 만들 수 있다. 정확한 표현을 위해 수식을 적절히 이용하기로 한다.

먼저 바둑판을 (x, y) 좌표계 위에 올려 정의해 보자. 그러면 화점 9개의 좌표는 왼쪽 아래부터 각각 (4, 4), (10, 4), (16, 4), (4, 10), (10, 10), (16, 10), (4, 16), (10, 16), (16, 16)이 된다.

바둑돌 하나가 (m, n)에 놓여 있다고 하자. 물론 m, n은 1부터 19까지의 자연수다. 이 바둑돌이 자신을 제외한 어떤 점 (x, y)에 미치는 힘의 크기는 다음과 같다.

(x, y)와 (m, n) 사이의 거리의 제곱 : (x−m) 2   +(y−n) 2  

가정 2에서 돌 하나가 다른 돌에 미칠 수 있는 최대의 힘은 40이고, 힘은 거리 제곱에 반비례하므로, f 0   (x,y) = 40 (x−m) 2 +(y−n) 2    

<그림19> 허상 4개의 위치

여기에 가장자리를 거울로 보는 가정 4에 따라 허상 4개의 힘을 계산해 더하면 된다. 허상의 위치는 각각 직선 x=1, x=19, y=1, y=19에 대칭인 곳에 있다. 그림에서처럼 (m, n)에 돌이 놓이면 허상 4개는 각각 (2-m, n), (38-m,n), (m, 2-n), (m, 38-n)에 위치한다.

따라서 x = 1에 대칭인 허상이 미치는 힘 f x=1   (x,y)은 아래와 같다.

f x=1   (x,y) = 40 (x+m−2) 2 +(y−n) 2    
나머지 허상이 미치는 힘도 각각 다음처럼 구할 수 있다.
f x=19   (x,y) = 40 (x+m−38) 2 +(y−n) 2    
f x=1   (x,y) = 40 (x−m) 2 +(y+n−2) 2    
f x=19   (x,y) = 40 (x−m) 2 +(y+n−38) 2    

이 모든 f 값들의 합 F(x, y)는 다음과 같다.
F(x,y) = f 0   (x,y)+f x=1   (x,y)+f x=19   (x,y)+f y=1   (x,y)+f y=19   (x,y)

이제 사람이 먼저 흑을 두고 컴퓨터가 백을 두는 소프트웨어를 생각해 보자.

➊ 흑돌이 미치는 힘의 크기 구하기
맨처음 사람이 흑돌을 오른쪽 위의 화점, 즉 좌표 (16, 16)에 뒀다고 하자. 그러면 소프트웨어는 점 (16, 16)을 제외한 나머지 360점 각각에 대한 F 1   (x, y) 값을 모두 구한다.

➋ 백돌이 미치는 힘의 크기 구하기
백돌은 흑돌의 힘을 소멸시키기 때문에 백돌이 미치는 힘을 구하기 위해 모든 수식에 (-)를 붙인다. 백돌이 (1, 1)에 놓는다고 가정하고 두 점 (1, 1), (16, 16)을 제외한 359점 각각에 대한 F 2   (x, y) 값을 모두 구한다.

➌ 흑돌이 미치는 힘에 백돌이 미치는 (-) 힘 더하기
359점 각 위치에서 F 1   (x, y) + F 2   (x, y)를 계산한 값을 S라 하자. 백돌을 (1, 1)에 놓았다면 S는 양수일 것이다. 왜냐하면 점 (1, 1)은 바둑판의 모서리에 위치해 매우 비효율적이기 때문이다.

➍ 2, 3번 과정을 반복해 S가 가장 작은 점 찾기
2, 3번 과정을 반복하면서 백돌이 (1, 2), (1, 3), ……, (19, 18), (19, 19)에 차례로 놓인다는 가정 아래 S를 모두 구한다.S가 가장 작은 점이 컴퓨터가 백돌을 놓아야 하는 곳이다. 여러 점이 같은 값을 가질 수 있는데 컴퓨터는 그 중 하나를 고르면 된다.

➎ 바둑 소프트웨어는 1~4번 과정을 반복하면서 백돌을 놓을 위치를 정한다.

더욱 정확한 소프트웨어를 만들려면 가정 2를 버리고 방향의 합을 함께 고려하는 방식으로 바꿔야 할 것이다. 하지만 근본적으로 바둑돌의 힘이 거리에 따라 얼마나 달라지는지 소프트웨어를 만들어 돌려보기 전에는 알 길이 없다. 또한 거울의 반사율도 문제가 될 것이다. 일단 완성된 소프트웨어가 바둑을 두는 정석들을 잘 구현하는지 여부에 따라 미세하게 조정해야 할 것이다.

위대한 바둑 9단

프로 바둑기사가 아무리 잘 해도 9단이 끝이다. 여러 가지 이유가 있겠지만, 동양에서 하늘을 9개로 나누는 ‘9천사상’ 때문이다. 워낙 9라는 숫자를 받들다 보니 봉우리가 많은 산은 죄다 ‘9봉산’이라고 이름을 지어 우리나라에 9봉산이 몇 개나 있는지 모른다. 이처럼 ‘9단’은 위대한 것이다.

* 전하: 물체가 띠고 있는 정전기의 양, 양전하와 음전하로 나뉜다.
*귀, 변, 화점, 천원 : 바둑판의 네 귀퉁이 부분을 ‘귀’라 하고, 귀와 귀 사이의 가장자리 부분을 ‘변’이라고 한다. 따로 표시된 9개의 점을 ‘화점’이라고 하는데 특히 중앙의 것을 ‘천원’이라고 한다.
*허상 : 빛이 거울에 반사될 때, 그 반사되는 방향과 반대의 방향으로 연장한 곳에 맺히는 가상적인 상.

 박석제 한국천문연구원

수학동아

두근두근 새학기 시작! 그리운 옛 친구, 반가운 새 친구

새학기 첫날, 여러분은 교실 앞 문 앞에 서 있어. 긴장을 풀어 주려고 심호흡을 한 번 한 뒤 교실 문을 열어 보자.
“후웁~!”
 드르륵~.

단짝 친구와 같은 반이 될 확률은 얼마일까?

문이 열리자 교실 안에 있던 친구들이 일제히 시선을 돌려 여러분을 바라봐. 앞으로 일 년 동안 함께 생활할 친구들이 궁금해서 너나 할 것 없이 호기심이 가득한 눈을 하고 있어. 여러분 역시 어떤 친구들이 있나 궁금해서 교실 안을 둘러보겠지.

먼저 아는 친구가 몇 명이나 같은 반이 됐는지 알고 싶을거야. 새로 같은 반이 된 아이들중에 친한 친구가 많다면 아무래도 마음이 편안하지 않겠어? 익숙한 얼굴이 많이 보이기를 기대하면서 교실 안에 있는 얼굴을 하나하나 훑어보기 시작해. 가슴은 두근거리고 머릿속에서는 재빨리 계산이 이뤄질거야.

친한 친구와 같은 반이 되기를 바라는 마음은 누구에게나 있어. 하지만 현실은 그렇게 뜻대로 되지는 않는 법. 특히나 친하게 지내는 친구가 많을수록 모두 같은 반이 되기란 점점 어려워져. 친한 친구들이 새학기에도 같은 반에 모일 확률은 얼마나 될까? 언제나 철석같이 붙어 다니던 5명의 친구들이 모두 같은 반이 될 확률을 계산해 보자.

확률은 사건이 일어날 수 있는 모든 경우의 수와 특정 사건이 일어날 수 있는 경우의 수를 이용해 나타내. 한 학년에 10개의 반이 있을 경우 1명이 어느 반에 들어가는 경우의 수는 10이고 어떤 특정한 반에 들어갈 확률은 1 10    이지.

그런데 2명이 10개의 반에 각각 들어가는 경우의 수는 100이야. 3명이라면 1000, 5명이라면 무려 10만이나 돼. 따라서 5명이 모두 한 반이 될 확률은 10만분의 1이 되는거야.


한 다리 건너면 모두가 내 친구

그런데 이럴 수가! 교실을 아무리 둘러봐도 작년에 친하게 지냈던 친구들의 얼굴이 하나도 보이지 않아. 모두 다른 반이 된 모양이야. 이런 경우가 되지 말란 법도 없지. 아쉽지만 여기서 새로운 친구를 많이 사귀어야겠다고 생각하자고. 일단 자리에 앉아 옆자리에 앉은 친구에게 인사하자.

“안녕~.”
“으…, 응. 안녕~.”

으~, 이 어색한 분위기! 성격이 아주 활발한 사람이 아니라면 처음 보는 친구와 나란히 앉아 있는 게 처음에는 굉장히 어색할거야. 그래도 친하게 지내야 하니까 억지로라도 이런저런 이야기를 꺼내 보게 돼.

그런데 이런 일도 있지 않니? 대화를 하던 중에 뜻밖의 사실이 밝혀지는 거야. 나와 친한 친구가 한 명 있는데, 알고 보니 옆자리 아이도 그 친구와 친했던 거지. 그러면 갑자기 분위기가 화기애애해지면서 말문이 트이기 시작하고, 금세 그 아이와도 친구가 되지.

이렇게 우연히 옆자리에 앉은 아이가 한 다리 건너의 친구일 확률은 얼마나 될까? 나와 친한 친구가 5명 있다고 하자. 그리고 그 각각의 친구들이 나를 빼고 5명의 서로 다른 친구가 있다고 생각하는 거야.

그러면 그림에서 보듯이 내가 한 다리 건너서 알 수 있는 친구의 수는 5×5이므로 25명이야. 전교에서 25명이라면 그다지 낮은 확률이 아니지. 그렇다면 두 다리 건너서 알 수 있는 친구의 수는 몇 명이나 될까?

5×5×5=125, 즉 두 다리를 건너면 무려 `125명을 알 수 있어. 중간에 세 명만 거치면 전교생 모두를 알 수 있다는 소리지. 알고 보면 우리는 모두 친구인 셈~!


막간을 이용해 즐기는 게임

서로 아무 관련이 없어 보이는 두 사람도 몇 단계를 거치면 아는 사이가 될 수 있다. 한 사람이 아는 사람이 40명이라고 가정하면 5단계만 거쳐도 40×40×40×40×40×40=4,096,000,000으로 40억 명이 넘는 사람과 연결될 수 있다. 사실상 세계의 누구와도 연결될 수 있다는 뜻이다. 1990년대 미국에서는 이런 원리를 이용한 ‘케빈 베이컨 게임’이 유행했다. 어떤 영화배우가 있을 때 그 배우와 함께 영화에 출연한 배우를 단계별로 연결해 케빈 베이컨과 연결하는 게임이다. 영화나 드라마에 관심이 많다면 우리나라 배우로 이런 게임을 해 보면 어떨까?

본격! 새 친구 사귀기
옆자리에 앉은 친구와 자연스럽게 대화를 나눌 정도가 됐다면 이제 좀 편안해졌겠지? 하지만 이제 시작일 뿐이라고. 앞으로 반 친구들 모두와 인사를 하고 서로에 대해 알아가야 하거든.

취향이 맞는 친구들끼리 집합~!

30명이나 되는 반 친구들이 서로 알 수 있는 가장 좋은 방법! 바로 자기소개지. 아마 자기소개를 어색해하는 친구들도 많을거야. 여러 사람 앞에 나가 말을 하려니 부끄럽기도 하고 무슨 말을 해야 할지 고민되기도 하고 말이야. 그래도 함께 생활할 친구들에 대해 알 수 있는 좋은 기회니 귀를 기울여 들어보자.

음~, 저 아이는 축구를 좋아하고, 저 아이는 노래 부르기를 좋아하고, 또 다른 아이는 피아노를 칠 줄 안대. 이런 식으로 조금이라도 반 친구들에 대해 알고 나니 좀 더 친근한 느낌이 들지 않니?

앗, 그런데 정신없이 듣기만 하다 보니 어느 새 여러분의 차례가 돌아왔어. 준비를 제대로 못 했어도 괜찮아. 자기소개란 있는 그대로 이야기하면 되는 거니까. 얼른 일어나서 친구들에게 여러분이 어떤 사람인지 알려 주도록 해. 어디 살고, 취미는 무엇이며, 좋아하는 음식은 뭔지….
소개를 마치고 자리에 돌아오니 몇몇 친구들이 여러분을 관심있게 쳐다보는 시선이 느껴지지 않니? 아마도 여러분이 말한 내용 중에 관심을 끌 만한 게 있었나 봐. 취미가 비슷하거나 한 동네 사는 친구일 수도 있겠지.

그러면 여러분도 자연스럽게 궁금해지겠지? 과연 나와 취미나 관심사가 비슷한 친구가 몇 명이나 있을지 말이야.

수학에서 집합은 여러 대상이 모여 있는 것을 말해. 이 집합을 이용하면 반 친구들을 취향이나 관심사에 따라 나눌 수 있어. 예를 들어, 축구를 좋아하는 친구들의 집합을 A라고 하면 A=｛승호, 인성, 지섭, 동원｝또는 A=｛x｜x=축구를 좋아하는 사람｝과 같이 나타낼 수 있는 거야. 기준에 따라 이런 집합을 여러 개 만들어 나타낼 수 있지. 이렇게 만든 집합의 관계를 그림으로 표현하기도 하는데, 그런 그림을 ‘벤다이어그램’이라고 해.

취향이나 관심사에 따라 나눈 벤다이어그램

이 때 누군가는 두 가지 이상을 동시에 좋아할 수도 있어. 그럴 경우에는 벤다이어그램을 겹쳐 그린 뒤에 겹치는 부분에 양쪽 집합에 동시에 들어가는 사람을 넣으면 돼.

두가지 이상을 좋아하는 경우의 벤다이어그램

이 때 겹치는 부분의 집합을 ‘교집합’이라고 해. 축구를 좋아하는 사람의 집합과 춤을 좋아하는 사람의 집합의 교집합에는 춤과 축구를 둘 다
좋아하는 사람이 들어 있는 거야. 교집합을 기호로 나타낼 때는 ∩를 써서 A∩B와 같이 나타내.
두 집합을 합쳐 놓은 부분의 집합은 ‘합집합’이라고 해. 합집합에는 두 집합에 들어있는 사람이 모두 들어 있고, 기호로 A∪B로 나타내지.

두 집합을 합쳐 놓은 합집합

각자 소개한 내용을 바탕으로 반 친구들을 여러 집합으로 나눠 보자. 나와 같은 집합에 속한 친구들은 관심사가 똑같으니 친하게 지낼 수 있을 거야. 다른 집합과 교집합에 속한 친구와 사귄다면 같은 취미를 함께 즐길 수 있는 것은 물론 그 친구의 다른 취미에 대해서도 배울 수 있으니 금상첨화!

이렇게 친구들을 특성에 맞게 여러 집합으로 구분해 놓으니까 어떠니? 친구들의 취미나 성격이 한눈에 들어오지? 누가 나와 잘 지낼 수 있을지도 감이 오고 말이야. 하지만 그렇다고 해서 입맛에 딱 맞는 친구하고만 놀 생각을 하면 안 돼. 자기랑 다른 면이 있더라도 두루두루 친하게 지내야 여러 가지를 배울 수도 있고 생활에도 도움이 되는 거야.


벤다이어그램의 창시자, 존 벤

영국의 수학자 존 벤은 1834년 태어났다. 케임브리지대학교에서 논리학과 확률을 연구해 통계이론의 발전에 큰 영향을 끼쳤다. 존 벤의 가장 유명한 업적은 바로 집합에서 쓰이는 벤다이어그램이다. 벤다이어그램은 서로 다른 집합 사이의 관계를 보여 주는 그림으로, 관계가 한눈에 쏙 들어온다는 장점이 있어 논리학의 발전에도 큰 공헌을 했다.
수학동아

제주영어교육도시 성과-규모 키우는 국제도시

내외국인 어우러진 명실상부한 영어 상용화 도시로

제주국제자유도시개발센터가 지난해 11월 21일 제주 서귀포시 대정읍 영어교육도시에서 개최한 에듀시티페어에서 학생들이 국악 공연을 펼치고 있다. 제주국제자유도시개발센터 제공

제주 영어교육도시는 조성 8년 만에 국제학교 3곳이 성공적으로 안착하면서 조기 유학 수요를 흡수했다. 정부는 제주 영어교육도시를 통해 최근 5년간 2587억 원의 외화가 절감된 것으로 보고 있다. 이런 성과에 힘입어 제주국제자유도시개발센터(JDC)는 제주 영어교육도시 내에 올해 미국 세인트 존스베리 아카데미(SJA) 제주를 착공하는 것을 비롯해 국제학교를 7곳으로 확대할 예정이다.

내년 7월 개교 예정인 SJA 제주는 1842년 미국 버몬트 주에 설립된 세인트 존스베리 아카데미의 분교다. 지난해 기본 설계를 완료했고 올해 본격적으로 공사를 진행한다.

SJA 제주는 유치원부터 초중고교에 이르는 전 과정에 걸쳐 남녀 공학으로 1254명을 모집할 예정이다. 제주 영어교육도시에 SJA가 들어서는 것은 미국 아이비리그 진학을 선호하는 국내 학부모들의 요구에 따른 것이다. 미국 세인트 존스베리 본교는 220개의 다양한 교과과정을 운영하고, 22개의 대학과목 선이수제(AP) 프로그램을 운영해 졸업생의 95% 이상이 대학에 진학하는 우수한 실적을 거두고 있다.

SJA 제주가 들어서면 영국, 캐나다에 이어 미국까지 전 세계 영어권 국가에 본교를 둔 우수 사립학교가 영어교육도시에 자리잡게 된다.

JDC는 제주 서귀포시 대정읍 일대에 자리 잡은 영어교육도시의 확대에도 힘을 쏟고 있다. 현재 영어교육도시에 새로 정착한 주민은 4000여 명으로 대부분 국제학교 교직원과 재학생 및 학부모다. JDC는 이 지역에 원래 살던 주민과 새로 유입된 주민이 조화를 이루며 커뮤니티를 형성할 수 있도록 신경을 쓰고 있다. 지난해 11월 개최한 에듀시티페어가 대표적인 이벤트다. 영어교육도시 곳곳에서 국제학교와 인근 학교(대정초, 대정고, 대정여고) 학생들이 공연하고, 주민이 벼룩시장과 지역 특산물 판매장 등을 열었다. 첫 행사임에도 불구하고 1500명 이상이 모여 축제의 장이 열렸다. 행사에 참여한 이들이 기부금을 모아 인근 고아원에 기부하는 등 영어교육도시와 지역 사회가 함께하는 계기가 됐다.

영어교육센터는 영어교육도시 안에 다양한 교육 시설을 확대해 제주도의 학생과 도민 누구나 활용할 수 있는 교육의 장으로 만들어갈 계획이다. 2014년 문을 연 교육부 산하 제주영어교육센터는 지금까지 영어교육도시 주민들에게 무료로 영어를 가르쳐줬다. JDC는 이곳을 교육도시 내 주민뿐만 아니라 일반인에게 체계적으로 영어를 가르쳐주고 국내 교사들이 연수하는 기관으로 확대할 예정이다. 지난해 문을 연 부속 영어도서관은 이미 누구나 이용할 수 있도록 개방돼 있다.

현재 영어교육도시에는 캐논스빌리지를 비롯한 공동주택 3곳과 단독주택 단지가 형성돼 있다. 올해와 내년에는 공동주택과 상가, 오피스텔 등이 대규모로 더 들어설 예정이다. JDC 관계자는 “영어교육도시 내의 인구가 늘어나면서 자연스럽게 상권도 확대되고 있다”면서 “내국인과 외국인이 한데 어우러져 살아가면서 자연스럽게 영어가 상용화되는 도시의 면모를 갖춰가고 있다”고 말했다.
 동아일보

예비 고3 겨울방학 학습법

EBS 교재 ‘달달 외우기’ 더 이상 안 통해… 사고력 집중 키워라

고교생에게 학력평가와 모의고사는 대학수학능력시험에 대비하고 자신의 실력을 점검할 수 있는 중요한 기회다. 올해는 한국교육과정평가원 주관으로 6월 2일, 9월 1일 전국 고3 학생을 대상으로 모의평가가 시행된다. 또 전국 시도교육청이 주관하는 전국연합학력평가가 3월 10일, 4월 6일, 6월 2일, 7월 6일, 9월 1일, 10월 11일 등 모두 6차례 치러진다. 단, 6월 학력평가는 서울을 제외한 나머지 지역에서만 실시된다.

평가원이 주관하는 수능 모의평가는 현재 예비 고3 학생뿐만 아니라 재수생 등 졸업생들도 모두 참가한다. 수능 경험이 있는 졸업생들은 보통 모의평가에서도 재학생보다 상위권에 많이 분포하기 때문에 이를 염두에 둬야 한다. 교육청이 주관하는 학력평가는 현재 고교에 재학 중인 학생만을 대상으로 실시된다.

이 때문에 겨울방학 예비 고3을 비롯한 고교생들은 학력평가와 모의고사, 수능을 대비한 학습 전략을 미리 짜두는 것이 좋다. 현재 고2(예비 고3) 수험생들은 모의고사 일정을 염두에 두고 학습일정을 맞춰 국어, 수학, 영어 중심의 ‘수능 대비 학습’에 중점을 둬야 한다. 또 2017학년도 수능부터는 한국사가 필수과목으로 바뀐 만큼 이에 대한 대비책도 필요하다. 필수과목인 만큼 난이도는 평이하게 출제될 것으로 예상되지만, 대비를 게을리하다가 생각지 못한 불이익을 받을 수도 있다.

○ 수능에서 바뀌는 점들 숙지해야

학력평가와 모의고사에 대비하기 위해서는 우선 바뀌는 수능에 대해서 알아둬야 한다.

대입에 가장 중요한 과목인 수학은 2017학년도 수능부터 새 교과과정이 적용되기 때문에 몇 가지 변화가 있다. 우선 명칭부터 지난해 수능까지는 수학 A형, B형이었지만 올해부터는 수학 가형, 나형으로 바뀐다. 시험 출제범위도 새 교과과정에 따라 다소 바뀌었다. 인문계열은 수학2, 미적분1, 확률과 통계까지 시험을 치른다. 자연계열은 미적분2, 확률과 통계, 기하와 벡터까지가 출제범위다.

수학은 단원과 단원 사이의 개념들이 서로 연계되기 때문에 세 단원을 각각 공부해서는 고득점을 올리기 힘들다. 예를 들어, 자연계열은 미적분2에서 배운 개념과 내용들을 확률과 통계, 기하와 벡터까지 연결짓고 함께 생각할 수 있어야 복잡한 문제에 대비할 수 있다.

지난해 예상을 깨고 몹시 어렵게 출제돼 수험생들이 충격을 받았던 영어 과목에 대해서도 대비가 필요하다.

우선 겨울방학에는 최근 3∼5개년 분량의 수능과 모의고사, 학력평가 기출문제를 구해 풀고 출제경향을 분석해야 한다. 매년 그해 수능 난이도를 예측하기 어려운 만큼 가장 확실한 대비법은 기출문제를 숙지하는 것이다. 기출문제에 나오는 어휘, 문장 구성, 글의 주제를 파악하고 이 중 본인이 잘 몰랐거나 까다롭게 느낀 부분이 있으면 이를 집중적으로 공략해야 한다. 또 겨울방학은 장기간 학습의 기회가 주어지기 때문에 지문의 전체적인 내용을 파악하거나, 복잡한 문장을 이해하는 문장 해석력 등 학습시간이 많이 필요한 부분에 공을 들이는 것이 좋다. 학습 시간이 부족해 무엇을 공부해야 할지 취사선택을 해야 한다면 단순한 단어나 구문 암기는 학기 중으로 미루는 것도 한 방법이다.

○ EBS 교재 암기로 고난도 문제 대비 어려워
EBS 연계 교재에 대한 학습법에도 변화가 필요하다.

지난해 수능에서 평가원은 ‘EBS 연계 70%’를 유지했다고 밝혔지만 실제 시험을 치른 수험생들 사이에서는 “연계를 전혀 느낄 수 없을 정도로 어려웠다”는 반응이 쏟아졌기 때문이다. 게다가 현재 발행되는 EBS 교재들은 문제의 난도가 낮아 고난도 문제에 대비하기 어렵다는 평가가 지배적이다. 예전에는 고3이 되면 EBS 교재를 ‘달달 외우는’ 공부법으로 일정 수준 이상의 성과를 거둘 수 있었지만, 지난해 수능에서 이 법칙이 깨졌다. 올해 수능을 준비하는 수험생들은 EBS 연계 교재 외에 시중의 다른 출판사에서 나오는 다양한 문제집을 풀어보고, 암기보다는 사고력과 문제해결 능력을 키우는 쪽으로 학습의 중심을 옮겨야 한다.

자연계열 학생들은 겨울방학 동안 국영수뿐만 아니라 과학탐구에 대한 대비도 해야 한다. 매년 약간의 변동이 있지만 전체적으로는 국영수의 난도가 점차 낮아지는 추세이고 이에 따라 변별력도 약해지고 있기 때문에, 각 대학들은 대입에서 과학탐구영역 반영 비율을 점차 늘리는 추세다. 오종운 종로학원하늘교육 평가이사는 “자연계열은 탐구영역의 반영 비중이 높다”며 “겨울방학 동안 적어도 과탐 한 과목 정도는 완벽하게 대비를 해둬야 한다”고 조언했다.
동아일보

2016 Radetzky March 빈필신년음악회 라데츠키 행진곡

2016 HD Marcha Radetzky March. Johann Strauß Vater .Maris Jansons. New Y...



2016 Radetzky March. Johann Strauß Vater. Mariss Jansons. The last piece at the New Year's Concert Vienna 2016, with the Vienna Philharmonic Orchestra. Musikverein Viena.

2016 Orquesta Filarmónica de Viena en la interpretación de la tradicional Marcha Radetzky, de Johann Strauss Vater dirigida este año por Mariss Jansons en a Sala Dorada de la Musikverein de Viena

Imágenes grabadas a través de TVE1 del 1 de Enero del 2016 a las 13:45h

En su 75 aniversario, el Concierto de Año Nuevo seguirá la tradición e incluirá principalmente en su programa música de la familia Strauss: Johann Strauss (padre) y sus hijos Josef, Eduard y Johann, a los que se suman Robert Stolz, Michael Ziehy, Emile Waldteufel y Josef Helmesberg (padre).

2016 빈 필하모닉 신년음악회 New year concert 2016 - Vienna Philharmonic Orchestra

New year concert 2016 - Vienna Philharmonic Orchestra
75th anniversary conducted by Mariss Jansons.

Live broadcast of Slovak television (RTVS 2).

Intro - Charpentier - Te Deum - Prelude
2:11 - Robert Stolz - UNO-Marsch op.1275
5:53 - Johann Strauß Sohn - Schatz-Walzer op.418
14:15 - Johann Strauß Sohn - Violetta, Polka francaise op.404
19:09 - Johann Strauß Sohn - Vergnugnugszug, Polka schnell op.281
22:44 - Carl Michael Ziehrer - Weana Madln, Walzer op.388
34:10 - Eduard Strauß - Mit Extrapost, Polka schnell op.259
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37:30 - 59:49 - Intermission - Magnificent Salzburg
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1:01:31 - Johann Strauß Sohn - Ouverture zu "Eine Nacht in Venedig"
1:10:45 - Eduard Strauß - Außer Rand und Band, Polka schnell op.168
1:13:05 - Josef Strauß - Sphärenklänge, Walzer op.235
1:24:03 - Johann Strauß Sohn - Sängerslust, Polka francaise op.328
1:28:50 - Josef Strauß - Auf Ferienreisen, Polka schnell op.133
1:32:15 - Johann Strauß Sohn - 2. und 3. Akt aus "Furstin Ninetta"
1:36:16 - Emile Waldteufel - Espaňa, Walzer op.236
1:42:45 - Josef Hellmesberger Vater - Ballszene
1:48:35 - Josef Strauß Vater - Seufzer-Galopp op.9
1:51:20 - Josef Strauß - Die Libelle, Polka mazur op.204
1:57:25 - Johann Strauß Sohn - Kaiser-Walzer op.437
2:09:40 - Johann Strauß Sohn - Auf der Jagd, Polka schnell op.373
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2:14:10 - Johann Strauß Sohn - Im Sturmschritt, Polka schnell op.348
2:17:37 - Johann Strauß Sohn - An der schonen blauen Donau, Walzer op.314
2:29:45 - Johann Strauß Vater - Radetzky-marsch op.228