무한강하법 無限降下法 infinite descent

무한강하법은 귀류법의 일종으로, 자연수의 정렬성, 즉 공집합이 아닌 모든 자연수의 부분집합에는 항상 최솟값이 존재한다는 성질을 이용한 증명이다. 이 방법은 만약에 어떤 명제를 참으로 만드는 값이 존재한다면, 그 명제를 참으로 만드는 더 작은 값이 존재한다는 것을 증명하는 방식으로 사용된다. 그러면 '명제를 참으로 만드는 자연수의 집합'은 자연수의 부분집합이면서 공집합이 아니므로 최솟값이 존재하여야 하는데, 증명에 따라 그 최솟값보다 작은 값이 집합 안에 존재하여야 하고 이에 따라 모순이 발생한다.

이 증명 방식을 다르게 서술하면, 특정 명제를 참으로 만드는 최소의 값이 존재한다면 그보다 더 작은 값이 존재한다는 것을 증명하여 모순을 보이고, 따라서 그러한 최소의 값은 존재하지 않는다는 것을 증명할 수 있다.

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$의 무리수 증명

무한강하법은 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$가 무리수라는 것을 증명하는 데에 사용될 수 있다. 만약 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$가 유리수라면, 정수 ${\displaystyle n,m}$(m≠0)가 존재하여

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {n}{m}}}$

로 표현할 수 있다. 그렇다면 식의 양변을 제곱하여

${\displaystyle 2m^{2}=n^{2}}$

를 얻을 수 있다. 따라서 이 방정식을 만족하는 정수쌍 ${\displaystyle (n,m)}$이 존재하는 것과 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$가 유리수에 속하는 것은 동치이다.

그러한 ${\displaystyle (n,m)}$이 존재한다고 가정하면, ${\displaystyle n^{2}}$는 2의 배수이므로, ${\displaystyle n}$은 2의 배수가 되어야 한다. 그러면 ${\displaystyle n=2n'}$인 자연수 ${\displaystyle n'}$이 존재하여야 하고(${\displaystyle n'}$ 은 정수) 식을 정리하면

${\displaystyle m^{2}=2n'^{2}}$

가 된다. 앞과 마찬가지로 ${\displaystyle m}$은 2의 배수이므로 ${\displaystyle m=2m'}$인 자연수 ${\displaystyle m'}$ (${\displaystyle m'}$ 은 정수) 이 존재한다. 즉, ${\displaystyle (n,m)}$이 방정식의 해라면 ${\displaystyle (n',m')=(n/2,m/2)}$도 정수쌍이고 이 역시 방정식의 해가 된다.

하지만, (0을 제외한) 정수의 해를 2로 무한히 나눌 수 없으므로 그러한 해는 원래부터 존재하지 않는다. 즉, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$는 유리수가 될 수 없는 무리수라는 것이 무한강하법에 의하여 증명된다.

Wikipedia

2 의 15승 더하기 1 이 11로 나누어 지는지가 궁금 하기도 하나요?

문제) 2^15 + 1 이 11의 배수임을 증명하라.

풀이 1) 합동 산술(合同算術 modular arithmetic) 이용

2^4 ㅌ 5 ( mod 11 ) 이고
2^8 ㅌ 5^2 ㅌ 3 ( mod 11 ) 이다.
따라서 2^15 ㅌ 2^4 . 2^8 . 2^3 ㅌ 5 . 3 . 2^3 ㅌ -1 ( mod 11) 이다.
따라서 2^15 + 1 ㅌ -1 + 1 ㅌ 0 (mod 11 )이다.
고로 2^15 + 1 이 11 로 나누어 떨어진다.
<KMO Bible p 2.1>

modular arithmatics을 다르게 표현하면 다음과 같다.
2의 4승 16은   11로 나누면 5가 남고
2의 8승 256은 11로 나누면 3이 남고
2의 15승은 2의 4승 곱하기 2의 8승 곱하기 2의 3승이니까
나머지는 5 *3 *8=120
 120 나누기 11은 몫 10과 나머지 10  이다.
2의 15승이 11로 나누면 10이 남으니까 1을 더하면 11로 나누어 떨어진다.
2^15 + 1 이 11 의 배수다.

설명 )
2의 15승 은 2를 15번곱하면   32768 이다.
2978 * 11 = 32758
32768 = 2^15 = 2978 * 11 + 10
2^15 +1 = 2978 * 11 + 10 + 1 = 2979 * 11 = 32769
32769 / 11 = 2979
나누어 떨어진다.

풀이 2) 인수분해 이용

x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
2^15 + 1 =  (2^5)^3  + 1^3
             =  ( 2^5 + 1 )*(                  )
             =  (32 +1) * (                )
             = 33 * (                )
             = 3 * 11 * (               )
 11 곱하기 뭐니까 11의 배수 이군요.

풀이 3 )한국주니어수학올림피아드 대상

(Korean Junior Mathematical Olympiad, KJMO)

2를 15번 곱한수는 

2를 4번씩 곱한걸 3번 반복하고 다시 2를 3번 곱하면된다.

2의 15승은 2의 4승 곱하기 2의 4승 곱하기 2의 4승 곱하기 2의 3승 이다.

2를 4번곱한 16을 연속해서 3번 곱하면 16 * 16 *16 = 4096

2의 3승은 8

4096 * 8 =32768

32768 +1 =  32769

32769 나누기 11은 2979로 나머지가 영으로 11의 배수이다.

2를 15번 곱하고 1을 더한수를 11로 나누면 나머지 없이 딱 떨어지니 11의 배수다.

 증명종료
Q.E.D. 証明終了

또다르게 풀수 있으면 댓글 부탁 합니다.

문의 010- 3549- 5206

한국주니어수학올림피아드 (Korean Junior Mathematical Olympiad, KJMO)

한국주니어수학올림피아드

(Korean Junior Mathematical Olympiad, KJMO)

대한수학회에서는 2019년 8월에 한국주니어수학올림피아드 (Korean Junior Mathematical Olympiad, KJMO)를 개최할 예정입니다. 한국수학올림피아드(KMO)가 국제수학올림피아드의 출제범위와 난이도를 기준으로 출제되고, 고학년 학생들을 대상으로 운영되어 왔기 때문에, 준비가 덜 되어 있는 저학년 학생들에게도 수학을 즐길 수 있는 기회를 제공해야한다는 요구가 있었습니다.
한국주니어수학올림피아드는 많은 저학년 학생들이 수학에 대한 흥미와 자신감을 높이는 기회가 될 것이며 장차 4차 산업혁명시대의 다양한 분야에서 미래인재로 성장하는데 도움이 될 것입니다.

■ 시험일시: 2019년 8월 24일(토), 14:00~17:00 (3시간)
■ 접수기간: 2019년 6월 26일(수) 14:00 ~ 7월 18일(목) 24:00
■ 장소: 전국 주요 도시
■ 응시대상: 2006년 1월 1일 이후 출생자
■ 시험유형: 주관식 단답형 25문항, 100점만점
■ 시상 : 금상, 은상, 동상, 장려상 시상
■ 응시료 : 60,000원
          (사회적배려대상자는 전형료가 면제됩니다.(선결제, 추후 환불))

■ 제1회 한국주니어수학올림피아드 요강 [다운로드]

※ 자세한 내용은 요강을 참고하시기 바랍니다.

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제1회 한국 주니어 수학 올림피아드 (KJMO) 요강

제1회 한국주니어수학올림피아드 요강 

1. 시험일시 : 2019년 8월 24일(토) 14:00 ~ 17:00 (3시간) ※ 시험 시작 30분 전(오후 1시30분)까지 고사장 입실 완료

2. 시험유형 : 주관식 단답형 25문항, 100점 만점 ※ 각 문항의 배점은 4점입니다. ※ 답안은 OMR 카드에 작성하게 되어 있으므로 컴퓨터용 수성 사인펜을 지참하여 주시기 바랍니다.

3. 출제범위 : 초등학교 전 과정과 중학교 1학년 과정 및 이에 준하는 수학 내용

4. 응시대상 : 2006년 1월 1일 이후 출생자

5. 시 상 : 성적순으로 금상, 은상, 동상, 장려상 시상

6. 전형료 : 60,000원 ※ 사회적배려대상자는 전형료가 면제됩니다.(선결제, 추후 환불) 사회적배려대상자는 “전형료 면제 신청서”(학회소정양식, 다운로드 가능)와 관련 증명서 (기초생활수급대상자 증명서, 차상위계층 확인서, 한부모가족증명서)를 접수마감일까지 학회 이메일(kmo@kms.or.kr) 또는 등기우편으로 제출하시면 됩니다.

7. 원서접수방법 : 인터넷접수(http://www.kmo.or.kr)

(1) 접수기간 : 2019년 6월 26일(수) 14:00 ~ 7월 18일(목) 24:00 (2) 접수방법 가. 반드시 위 홈페이지에 접속하여 안내에 따라 응시원서를 등록하여야 합니다. 직접 방문 또는 우편에 의한 접수는 받지 않습니다. 나. 주의사항 ① 반드시 접수마감일 2019년 7월 18일(목) 24시까지 홈페이지의 안내에 따라 응시원서 접수와 전형료 결제를 완료해야 접수가 인정됩니다. ② 전형료 결제 후 고사장을 선택할 수 있으며, 미 선택 시에는 잔여 고사장 중 소속 학교에 근접한 고사장으로 자동 배정됨을 참고하기 바랍니다. ③ 접수마감 당일에는 접속 폭주가 예상되므로 시간적 여유를 가지고 접수절차를 완료 하기 바랍니다. ④ 정보 입력 시 반드시 연락 가능한 이메일주소와 휴대전화번호를 정확히 입력하시 기 바랍니다. 미 입력 시 각종 유의사항 또는 정보를 전달 받는데 불이익을 받을 수 있습니다. ⑤ 접수 마감일 이후에는 응시원서 수정이 불가능합니다. (3) 접수 취소 신청 방법 및 환불기준 가. 방법 : 접수 취소는 한국수학올림피아드 홈페이지(http://www.kmo.or.kr)를 이용 하시기 바랍니다.(홈페이지 게시판 → 접수환불요청) 나. 환불기준 적용 기간 날짜 환불 적용율 방법 원서접수기간중 2019.06.26(수)~2019.07.18(목) 100% 접수 취소 1차 : 접수기간후~시험시행 2주전 2019.07.19(금)~2019.08.10(토) 60% 시험 시행일 이후 계좌이체 2차 : 1차기간후~시험시행 3일전 2019.08.11(일)~2019.08.21(수) 50% 시험 시행일 이후 계좌이체 시험시행 2일전~ 2019.08.22(목)~ 환불 불가 ※ 법정전염병으로 부득이하게 시험당일 응시하지 못한경우, 증빙서류(소견서 등)을 제출하면 접수 수수료(4,200원)을 제외하고 환불됩니다.

8. 고사장 원서접수 시 원하는 지역의 고사장을 선택할 수 있습니다. 단, 원하는 고사장이 조기에 마감될 수 있으니 접수 시 유의하기 바랍니다.

9. 시험 결과발표(예정) : 2019년 9월 27일(금) 14:00 ※ 수상 및 개인별 성적을 제공하며, 한국수학올림피아드 홈페이지(http://www.kmo.or.kr) 에서 확인 가능합니다.

10. 유의사항 (1) 시험당일 본인임을 증명할 수 있는 사진이 부착된 신분증(학생증, 주민등록증, 여권, 청소년증)을 반드시 지참하여야 합니다. (신분증 없는 경우 “확인증” 지참(학회소정 양식, 다운로드 가능, 학교장 직인 필)) 지참하지 않은 수험생은 해당고사의 응시와 수 상대상에서 제한을 받을 수 있습니다. (2) 응시원서 기재사항의 허위기재 또는 기타 부정한 방법으로 지원한 사실이 발견되었 을 때에는 수상이 취소되며, 향후 본 대회 응시자격에 제한을 받을 수 있습니다. (3) 고사 중 자와 컴퍼스는 사용가능(개인이 준비)하며 각도기, 계산기, 휴대용 무선통신 기기(휴대전화, 웨어러블 기기 등), 손목시계는 소지할 수 없습니다. 이를 위반하는 경우에는 부정행위로 간주됩니다.

※ 추후 일정과 변경사항은 한국수학올림피아드 홈페이지(http://www.kmo.or.kr)를 통하여 공지합니다. 한국수학올림피아드위원회

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제1회 한국주니어수학올림피아드 요강

제1회 한국주니어수학올림피아드 원서접수 안내

<한국주니어수학올림피아드>     (1)  시험일시 : 2019년 8월 24일(토) 14:00 ~ 17:00 (3시간)     (2)  접수기간 :   2019년 6월 26일(수) 14:00 ~ 7월 18일(목) 24:00     (3)  시험장소 : 서울대학교, 한국외국대학교(서울캠퍼스, 추가), 아주대학교, 인하대학교, 카이스트,                         경북대학교, 동아대학교, 전남대학교                  ※   자세한 내용은 시험요강을 참고하시기 바랍니다. 제1회 한국주니어수학올림피아드 요강 [다운로드]          원서접수는 홈페이지 좌측 중앙 초록색배너(제1회 KMO 원서 접수하기) 클릭!          회원가입은 접속된 원서접수사이트에서 하시기 바랍니다.           * KMO 홈페이지에 회원가입하실 필요가 없습니다. ★ 유의사항 ★        1. 원서접수 시스템 관련 문의(ID, PW문의 및 결제 등)는 유웨이어플라이(1588-8988)로 하시기   바랍니다.        2. KMO일정 및 시험 관련 문의는 대한수학회(02-565-0361, 내선 5번)로 하시기 바랍니다.        3. 접수된 내용의 수정은 결제전까지만 가능합니다.           단, 유웨이어플라이 회원가입 시 이름과 생년월일은 원서작성에 자동적용되므로           수험자의  실제 정보로 회원가입 하셔야합니다.           이름과  생년월일, 전형 변경 등  회원정보 변경은 KMO홈페이지-게시판-접수수정요청을          이용하시기  바랍니다.         4. 고사장 선택은 결제완료 후 가능하며, 접수기간 중에는 직접 수정 가능합니다.            (단, 잔여 고사장이 있는 경우)        5. 접수 취소 및 환불은 KMO홈페이지-게시판-접수환불요청을 이용하시기 바라며 자세한 환불규정은 요강을 참고하시기 바랍니다. AMC 8/10/12 미국수학경시대회 AIME SCAT SSAT PSAT GED SATmath ACT​      국제학교영어원서 강의 수학과학올림피아드         수학과학경시대회 성대 KMC KJMO  KMO      교육청영재원 교대영재원 경대영재원 준비반 모집       상담 환영합니다     053-765-8233   010-3549-5206

국제캠프공지-2019 5th MathScienceCamp

최근 MathScienceCamp가 서울산업진흥원 교육플랫폼 협력 프로젝트로 선정되었습니다. 

한국영재교육평가원은
2019년 Grade 7~10를 위한 '제5회 국제수학과학캠프'를 한국 (서울 SETEC)에서 개최할 예정입니다.
모든 강의는 영어로 진행되며 미국 대학 교육원(Math Circle) 교수진이 한국을 방문해 수업을 진행합니다. 
이 캠프의 경험이 학생에게 큰 동기부여의 기회가 되기를 바라며  보다 자세한 내용은 홈페이지를  참고해 주시기 바랍니다.

캠프명 : " 5th Math Science Camp" 
Camp 기간: 2019년 7월 29일(월) ~ 8월 2일(금) - 통학형 (9 am~6 pm)
Camp 장소: 학여울역 SETEC 컨벤션홀
Camp 주제: Set Theory, Abstract Algebra, Statistics, Gravity, Hands on Big Data (Link)
Camp 인원: 클래스별 최대 20명 (Gauss Class, Euler Class) - 수학, 과학 혼합형 (Link)
Camp 대상: Grade 7~10 (6학년은 지원전 별도 문의)
80% 이상의 출석 시에만 수료증이 수여됩니다.     

MathScienceCamp의 수업 내용은 다양한 형태를 통해 전세계와 공유를 목표로하며
이에 따라 녹화와 촬영이 진행될 수 있습니다. 
최근 MathScienceCamp의 사진 자료는 이곳 (바로가기) 에서 확인하실 수 있습니다.

MathScienceCamp의 강사진은 교수진과 Teaching Assistance 및 고등학생 Intern Staff들로 구성이 됩니다.
강사진의 수업과 Staff진의 Discussion - Homework 토의로 구성이 되며 맞춤별 멘토링이 진행됩니다.
따라서 많은 인원수의 참가가 불가능합니다.
수업의 효율적인 진행을 위해 캠프 첫 날 별도의 테스트가 진행되며 반이 구성됩니다. - 학생의 우열을 가리는 과정이 아닙니다.
Big Data 세션은 세미나 형태의 통합 강의로 진행되며 마지막 수업은 학생들의 과제 발표로 진행될 예정입니다.

등록 기간: Early: 2019년 6월 14일(금)까지
Regualr: 2019년 7월 19일(금)까지
지원서작성: 바로가기
홈페이지 :  http://mathscience.camp/
홍페이지는 영어로 제작되어 있으며 한국 부모님을 위한 세부 내용은 아래 내용을 참고해 주시기 바랍니다.
한국어 안내 : 설립배경 / 프로그램안내 / 이전 프로그램 및 자료

MBC아카데미 주최 전국 초.중 영어 수학학력평가

대회일시

• 고사일 : 2019년 8월 18일(일)

접수기간

• 2019년 6월 3일(월)~ 2019년 7월 14일(일)
• (* <인터넷 접수> 는 일요일까지 가능합니다.)
• 취소는 시험 2주전인 8월 4일(일)까지만 가능합니다.
• 2018년 시험부터 시험 연기 제도는 없어졌습니다. 착오 없으시기 바랍니다.

평가과목

• 영어, 수학

참가대상

• 영어/수학 : 초등 1학년 ~ 중등 3학년
• (반드시 본인 학년만 응시 가능)
• (미취학 아동은 초등1학년 부문 지원가능)

구비서류

• 지원서(소정양식) 1부, 사진(3X4cm) 1매

접수방법

• ① 전국 종로학원하늘교육 학원
  ② 인터넷 접수: 홈페이지 접속(http://hakpyung.edusky.co.kr) > 로그인 > 참가신청 메뉴에서 접수
  - 응시료 카드결제만 가능/ 사진은 본인 사진파일로 첨부 필수!!
  ③ 우편 접수
  - 응시원서와 연락처를 동봉하여 고사진행본부 우편발송 (담당자 확인 후 개별 연락)

고사장

• 전국 지역별 지정 고사장 (클릭)

시험 시간

• 영어 오후 1시 ~ 2시 10분
• 수학 오후 3시 ~ 4시 10분

응 시 료

• 과목당 30,000원(과목 선택가능)

성적발표

• 2019년 9월 10일(화)
• ※ 개별 성적표 기재된 주소로 발송
• ※ 개인 수상시 상장은 학교로 발송

AMC 8/10/12 미국수학경시대회 AIME
SCAT SSAT PSAT GED SATmath ACT​ 

    국제학교영어원서 강의 수학과학올림피아드
    

   수학과학경시대회 성대 KMC KJMO  KMO

 
   교육청영재원 교대영재원 경대영재원 준비반 모집    

  상담 환영합니다 
  

053-765-8233   010-3549-5206