Theorem
Let
△ABC
be a
triangle with
sides a
,
b
and
c
opposite vertices A
,
B
and
C
respectively.
Then the
area A
of
△ABC
is given by:
- A=s(s−a)(s−b)(s−c) − − − − − − − − − − − − − − − − − √
where
s=a+b+c 2
is the
semiperimeter of
△ABC
.
Construct the
altitude from
A
.
Let the length of the altitude be
h
and the foot of the altitude be
D
.
Let the distance from
D
to
B
be
z
.
From
Pythagoras's Theorem:
- (1):h 2 +(a−z) 2 =b 2
and:
- (2):h 2 +z 2 =c 2
By subtracting
(1)
from
(2)
:
- 2az−a 2 =c 2 −b 2
which can be expressed in terms of
z
as:
- z=a 2 +c 2 −b 2 2a
Substituting for
z
in
(2)
and simplifying yields:
- h=c 2 −(a 2 +c 2 −b 2 2a ) 2 − − − − − − − − − − − − − − − − − ⎷
and so:
|
|
|
| Q
| =
|
| 1 2 ac 2 −(a 2 +c 2 −b 2 2a ) 2 − − − − − − − − − − − − − − − − − ⎷
|
|
| Area of Triangle in Terms of Side and Altitude | |
|
|
|
|
| =
|
| 4c 2 a 2 −(a 2 +c 2 −b 2 ) 2 16 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ⎷
|
|
| | |
|
|
|
|
| =
|
| (2ac−a 2 −c 2 +b 2 )(2ac+a 2 +c 2 −b 2 ) 16 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ⎷
|
|
| Difference of Two Squares | |
|
|
|
|
| =
|
| (b 2 −(a−c) 2 )((a+c) 2 −b 2 ) 16 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ⎷
|
|
| | |
|
|
|
|
| =
|
| (b−a+c)(b+a−c)(a+c−b)(a+b+c) 16 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − √
|
|
| Difference of Two Squares | |
|
|
|
|
| =
|
| (a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c) 16 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − √
|
|
| | |
|
|
|
|
| =
|
| (a+b+c 2 )(a+b+c 2 −c)(a+b+c 2 −b)(a+b+c 2 −a) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − √
|
|
| | |
|
|
|
|
| =
|
| s(s−c)(s−b)(s−a) − − − − − − − − − − − − − − − − − √
|
|
| Definition of semiperimeter | |
■
A
triangle can be considered as a
cyclic quadrilateral one of whose sides has degenerated to zero.
From
Brahmagupta's Formula, the perimeter of a
cyclic quadrilateral is given by:
- (s−a)(s−b)(s−c)(s−d) − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − √
where
s
is the
semiperimeter:
- s=a+b+c+d 2
The result follows by letting
d
tend to zero.
■
proofwiki
댓글 없음:
댓글 쓰기