피타고라스 정리의 비밀 3 지구 위의 딱정벌레

지구 위의 딱정벌레수학자들에게 가장 완벽하고 아름다운 공식으로 알려진 피타고라스의 정리!
그러나 평면이 아닌 공간에서 피타고라스의 정리는 맞지 않는다.
평면 위의 삼각형이 머물렀던 인간의 시야는 이제 지구라는 공간으로 옮겨간다.
바로 이런 수학적 연구를 바탕으로 아인쉬타인은 우주의 비밀을 풀어냈다.
대자연의 신비를 푸는 디딤돌로서 수학은 무한한 가능성의 세계를 보여주고 있다.

수천 년 간 인류문명과 함께 불변의 진리로 전해졌던 피타고라스의 정리는 과연 어느 공간에서나 적용되는 진리일까?

종이 위 평면에서는 아무리 큰 삼각형이라도 피타고라스의 정리가 그대로 적용된다. 그러나 지구와 같이 구면 위에서는 오차가 생긴다. 많은 사람들이 피타고라스 정리에 도전을 시도했다. 그들은 교실을 떠나 경험과 실험을 통해 의문의 실마리를 찾는다. 독일의 수학자 가우스는 1816년부터 10년 동안 독일의 여러 지역을 탐사한다. 이 탐사의 목적은 도시와 도시 사이의 거리를 측정해 그 자료를 모아 지도를 만드는 것이었다. 이 작업을 통해 가우스는 피타고라스 정리가 틀릴 수 있다는 것을 알아낸다.

그러나 그는 이 발견을 밝힐 수 없었다. 피타고라스 정리는 사람들이 2,000년 동안 진리로 믿어 왔던 것이기 때문이다. 보통 사람들이 느끼는 공간은 평면공간. 우리가 배운 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것도 이러한 평면공간에서만 유효하다. 그러나 우리가 살고 있는 공간을 더 확대해서 지구라는 둥근 공간으로 나가면 삼각형의 내각의 합은 180도를 넘게 된다. 그래서 북극점을 중심으로 적도에 이르는 정삼각형을 만들면 그 삼각형의 내각의 합은 270도가 되며 그에 따라 길이와 면적도 변하게 되서 피타고라스 정리도 맞지 않게 된다.

비행사들이 서울에서 LA까지 가기 위해 비행기의 기수를 북동쪽으로 돌려 한참 간 후 다시 남동쪽으로 기수를 돌리는 이유는 둥근 구면에서 최단거리는 구면의 중심을 지나는 대원이 되기 때문이다. 천재적인 철새들도 그들의 기본적인 이동경로는 구면에서의 최단거리인 대원을 따라간다. 천문학자들이 우주공간의 크기와 그곳까지의 거리를 측정하기 위해서는 기하학을 이용한다. 유클리드 공간 안에서는 우주도 단지 평평한 공간이었다.

하지만 오늘날 과학자들은 우주 공간이 시간과 공간에 의해 다양한 형태로 휘어져 있을 것으로 추정한다. 아인쉬타인의 상대성 이론도 휘어진 공간의 수학에 의해 가능했다. 아인쉬타인은 그의 상대성이론을 구축하기 위해 수학을 다시 공부해야만 했던 이유도 여기에 있었다.

그러나 증명할 길 없었던 그의 상대성 이론은 1919년에 있었던 개기일식 현상에 의해 증명된다. 아인쉬타인은 지구표면뿐만 아니라 우리가 사는 모든 공간이 휘었다는 사실을 알았을 때 기쁨을 이렇게 말했다. “지구의 표면을 기어가는 눈먼 딱정벌레는 자신이 지나온 경로가 휘어있다는 것을 알지 못한다. 나는 그것을 발견한 행운아다”

취재진은 실질적인 실험을 통해 피타고라스 정리의 오차를 증명하고자 한다. 높이와 밑면의 길이가 각각 3미터, 4미터인 직각삼각형의 길이를 측정했다. 피타고라스 정리와 다름없이 빗변은 5미터다.

이번엔 더욱 큰 직각삼각형인 7미터, 24미터, 25미터의 직각 삼각형의 빗면의 길이를 재 본다. 취재진은 도시에서 도시, 보다 넓은 지역을 실제 측량해 피타고라스 정리의 오류를 찾아낸다. 프로그램을 제작한 문현식 PD는 아이들이 수학에 흥미를 느끼게 할 수 있는 방법을 찾다가 수학 다큐멘터리를 생각해 냈다.

그 중 피타고라스 정리를 택한 이유는 수학으로 가는 문과 같고, 또 누구나 알고 있는 ‘피타고라스 정리’의 기원과 그 공식에 얽힌 이야기를 다큐멘터리로 제작하면 많은 사람이 보면서 공감할 수 있을 것이라고 판단해서다.

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