유클리드와 기하학

유클리드에 관해서는 예전에 호제법에 관한 칼럼에서 다룬 적이 있었다. 하지만 유클리드는 사실 호제법보다 기하학 원론 이라는 책을 저술한 기하학의 체계를 구축한 수학자로 더욱 유명하다. 오죽하면 오늘날 우리가 학습하는 기하를 유클리드 기하와 비유클리드 기하학으로 나누어 구분할 정도이니 기하학에 미친 유클리드의 영향력이란 글로 표현하기 힘들 정도로 막대한 것이다.

유클리드는 아르키메데스, 피타코라스처럼 고대 그리스의 수학자이다. 그리스에서는 알렉산드리아의 에우클레이데스라 불리던 수학자인데, 프톨레마이오스 1세가 제위하던 시기에 고대 이집트의 알렉산드리아에서 활동을 하던 수학자이다. 대표적인 업적으로는 ‘원론’의 저술이 있는데, 이는 총 13권으로 된 말 그대로 기하학의 원론인 방대하고 위대한 저술이었다.이 유클리드의 기하학 원론의 위대한 점은 바로 기하학에서 필요한 기본적인 공리를 통해 결과를 이끌어 내는 논리적인 전개를 사용하였기 때문인데 근대 수학의 바탕을 잡아주었다고 할 수 있다. 비유클리드 기하학이 연구되기 전까지는 기하학이라 하면 그저 유클리드의 기하학을 의미할 정도로 수학사에 엄청난 의미를 가지고 있는 책이다. 이 유클리드 원론은 사실 기하학에만 국한된 책이 아닌 정수론과 평면기하 공간기하를 모두 포함한 훌륭한 수학적 저술이었다. 전번에 다루었던 호제법 또한 유클리드의 원론에 나오는 알고리즘이다. 유클리드 원론의 위대한 점은 최소한의 공리를 통해 수많은 정리들을 연역적인 방법으로 도출해 내었기 때문이다. 아직도 중학교에서는 유클리드의 공리와 증명들을 큰 비중으로 가르치고 있을 만큼 유클리드의 업적은 탁월한 것이었다. 이 공리들은 3차원의 공간기하로 계속 연결되는데 원론의 많은 결론들은 기하학적인 언어로 표현이 되어있다. 유클리드의 기본적인 다섯 개의 공준을 간단히 소개하면(참고로 공준이란 유클리드의 기하학원본에 있는 공리 중에서 기하학적인 내용을 지닌 공리를 말한다.)

1.임의의 점과 다른 한 점을 연결하는 직선은 단 하나뿐이다.

2.임의의 선분은 양끝으로 얼마든지 연장할 수 있다.

3.임의의 점을 중심으로 하고 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.

4.직각은 모두 서로 같다.

5.평행선 공준: 두 직선이 한 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 2직각(180˚)보다 작으면 이 두 직선을 연장할 때 2직각보다 작은 내각을 이루는 쪽에서 반드시 만난다.

로 정리할 수 있다. 이 다섯 개의 공리만으로도 오늘날 고등학교에서 배우는 기하학의 여러 가지 정리를 모두 도출할 수 있다니 그저 신기할 뿐이다. 그 정리들의 기본이 되는 공리를 다섯 개로 압축해서 완성한 유클리드는 확실히 시대를 앞서간 천재라 할 수 있을 것이다.

반면 오늘날 수학에서는 비유클리드 기하학이라는 것도 연구되고 있다. 비유클리드 기하학이란 유클리드의 공리가 성립하지 않는 공간에서의 기하학이다. 정확히 말하면 ‘ 한직선과 그 직선위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행하고 그 점을 지나는 직선은 오직 하나이다.’ 로도 표현되는 다섯 번째 공리인 평행선 공리가 성립하지 않는 기하학을 의미하는데 이는 가우스, 리만 등 당대의 천재 수학자들에 의해 거의 동시에 연구되었다. 비유클리드 기하학에 대해 자세히 설명하자면 칼럼 한편으로는 부족하니 다음 기회에 더 구체적으로 다뤄보도록 하겠지만, 중요한건 유클리드 기하학은 여전히 우리생활 가운데 보편적으로 받아들여지는 기하학이고, 2000년이 넘도록 그 가치가 조금도 빛을 바래지 않고 있는 위대한 연구이다. 많은 학생들이 기하학에서 어려움을 겪지만, 이런 배경지식을 가지고 공부한다면 기하학에 조금 더 흥미를 붙일 수 있지 않을까 싶다.
경인일보