녹원학원 수학과학영재교육 010-3549-5206 : 구의 부피 겉넓이 공식의 증명

2013년 11월 14일 목요일

구의 부피 겉넓이 공식의 증명

다음지식

구의 부피

어떤 반구가 y축을 향하여 놓여 있다고 하자.

그러면 그 반구는 원이 y축 방향으로 쌓여 있다고 볼 수 있다.

반구의 부피 V는 다음과 같다.

$V = \int_{0}^{r} \pi x^2\, dy$

그럼 원의 방정식을 사용하자.

x²+y²=r²

여기서 V는

$V = \pi \int_{0}^{r} (r^2-y^2)\, dy = [ \pi r^2 y ]_{0}^{r} - [ \pi(1/3)y^3 ]_{0}^{r} = \pi r^3 - (1/3) \pi r^3 = (2/3) \pi r^3$

따라서 구의 부피 = 2V이므로 반지름이 $r$ 인 구의 부피는 $\frac{4}{3}\pi r^3$ 이다. ∎

구의 표면적

밑면의 넓이가 아주 작고 밑면의 반지름과 높이가 같은 원뿔이 있다고 하자.

그러면 그 원뿔이 한 점을 중심으로 모여 구를 이루었다고 할 수 있으므로 (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 부피) : (구의 부피) = (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 밑면의 넓이) : (구의 겉넓이)가 된다.

$(1/3) \pi r^3 : (4/3) \pi r^3 = \pi r^2 : S$

따라서 겉넓이 $S = 4 \pi r^2$ 이 된다. ∎

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