오일러의 정리 KMO기초 (기하학)

기하학에서 오일러의 정리란, 삼각형의 외접원의 반지름 R, 내접원의 반지름 r이라 할 때, 외심과 내심의 거리 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d={\sqrt {R^{2}-2Rr}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d={\sqrt {R^{2}-2Rr}}}</annotation></semantics></math> 이라는 정리이다.

오일러의 정리와 그에 필요한 보조선, 보조점들

증명

삼각형 ABC에 대하여, 외심을 O, 내심을 I라 하고, IO와 외접원의 두 교점을 X,Y라 하고,

호 BC의 중점을 M이라 하고, 직선 MO와 외접원의 M과 다른 교점을 D라 하고, 내접원과 AC의 접점 E라 하자.

우선 방멱정리와 곱셈공식에 의해

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle AI*IM=XI*YI=(R+d)(R-d)=R^{2}-d^{2}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AI*IM=XI*YI=(R+d)(R-d)=R^{2}-d^{2}}</annotation></semantics></math>

또한 멘션 정리에 의하여 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle IM=BM}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle IM=BM}</annotation></semantics></math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \angle {BDM}=\angle {EAI}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \angle {BDM}=\angle {EAI}}</annotation></semantics></math>(길이가 같은 두 호 BM,CM의 원주각)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \angle {DBM}=90^{\circ }=\angle {AEI}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \angle {DBM}=90^{\circ }=\angle {AEI}}</annotation></semantics></math>

즉 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \triangle {DBM}\sim \triangle {AEI}(AA)}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \triangle {DBM}\sim \triangle {AEI}(AA)}</annotation></semantics></math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle AI*BM=DM*IE=2Rr}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AI*BM=DM*IE=2Rr}</annotation></semantics></math>(닮음비)

따라서 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr}</annotation></semantics></math>이 나오고, 이를 정리하면

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d={\sqrt {R^{2}-2Rr}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d={\sqrt {R^{2}-2Rr}}}</annotation></semantics></math>가 성립한다.

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