멱평균(power mean)

멱평균(power mean), 일반화된 평균은 평균식을 일반화한 식으로, 산술평균, 기하평균, 조화평균 등을 포함한다.

0이 아닌 실수 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation></semantics></math>와 양의 실수 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}</annotation></semantics></math>에 대해, 멱평균은 다음과 같이 정의된다.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}}</annotation></semantics></math>

이때 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation></semantics></math>가 1일 때는 산술평균, -1일 때는 조화평균이 된다. 또한, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation></semantics></math>가 0에 가까워지는 극한의 경우에는 기하평균이 된다.

일반화된 f-평균 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)}</annotation></semantics></math>은 멱평균을 더 일반화한 식으로, 이 식을 사용하면 극한 개념을 사용하지 않고 기하평균을 얻을 수 있다. 또한 이때 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{p}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{p}}</annotation></semantics></math>인 경우에는 멱평균을 얻는다.

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