부정방정식

학교에서 일반적으로 배우는 방정식은, 미지수의 수와 방정식의 수가 같다. 미지수가 하나일 경우에는 그냥 일차, 이차 방정식 등 흔히 접하는 방정식이 되며, 미지수가 여러개 이면 식도 여러개 주어져 연립방정식이 된다.[1] 하지만 만약 미지수의 수가 방정식의 수보다 많으면 어떻게 될까? 특별한 조건이 주어지지 않았다면, 해의 수는 무한히 많게 되어 답이 “부정”(不定)이 된다. 이 때, 답이 부정인 방정식들을 부정방정식이라 부른다.

하지만 조건이 주어졌다면 얘기는 조금 달라진다. 미지수의 범위가 주어졌다든가, 정수해만 찾는다든가 등등의 조건이 붙으면 해가 유한할 수도 있으며, 굳이 미지수의 수만큼의 식이 주어지지 않아도 방정식을 풀 수 있게 된다. 간단한 예로, x+y=3이라는 식은 해가 무한히 많다. 하지만 범위를 자연수로 한정하면, (x,y)=(1,2),(2,1)의 단 2개의 해만을 가지게 된다. 참고로 이 예시처럼 미지수가 정수(자연수)로 제한되어 있는 방정식들을 디오판토스 방정식이라 부른다. 디오판틴 방정식은 부정방정식의 대표적인 예이며, 더 자세한 것은 해당 문서를 참고. 이 문서에서는 부정방정식을 푸는 요령에 대해 서술한다. 참고로 문제의 특성상 학교에서 보게 될 부정방정식 문제는 전부 디오판토스 방정식 문제이다.

1 해법[편집]

1.1 인수분해[편집]

가장 간단하게 풀 수 있는 방법이자 보통 제일 먼저 시도하게 될 방법은 바로 인수분해이다. 이 경우에는 범위가 보통 정수로 제한되며, 식을 잘 정리하면 한쪽 변은 인수분해가 되어있고, 다른 쪽 변은 상수만 남아 그 변을 소인수분해하여 답을 추려내는 문제가 나온다. 아래 간단한 예제를 보자.

x+y=xy,x,y∈Z

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1.2 합동식[편집]

부정방정식의 차수가 2차 일 때 주로 사용하게 되는 방법. 문제를 많이 풀다보면 알게 되겠지만 이런 경우에는 해가 대부분 없다. 증명하는 방법은 일단 특정한 법을 정한 뒤, 좌변과 우변을 각각 그 법에 대해 나누고, 좌변과 우변의 잉여류가 다르다는 사실을 사용한다. 기본적으로 알아야 할 사실은 다음과 같다.

• x2≡0,1(mod4)
• x3≡−1,0,1(mod9)
• 좌변과 우변의 기우성
• 이차잉여

이제 간단한 예제를 풀어보자.

x2−6y2=122,x,y∈Z

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1.3 무한강하법[편집]

영어로는 Proof by infinite descent라고 부르는 그것. 정렬순서 공리와 합동식을 기반으로 한 증명 테크닉으로, 가장 작은 자연수가 존재한다는 사실을 이용한다.

만약 부정방정식의 양변이 모두 짝수라면, 2로 약분이 가능하다. 그런데 약분을 한 후에도 양변이 모두 짝수라면, 다시 2로 약분이 가능하다. 만약 이 과정이 무한히 반복됨을 보였다고 하자. 그런데 문제는, 가장 작은 짝수가 존재한다는 사실이다. 짝수를 계속 약분하다 보면 언젠가는 가장 작은 짝수(2 또는 -2)에 도달할 것이고, 거기서 더 약분을 하면 더이상 짝수가 아니게 되지만, 식의 양변은 계속 짝수여야 하므로 모순이 발생하게 된다. 결국 조건을 만족하는 해는 0(혹은 없음)이 되는 것이다. 간단한 예시를 풀어보자.

x3+2y3+4z3+8xyz=0,x,y,z∈Z

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참고로 이 무한강하법은 n−−√가 무리수임을 보이는 데에도 쓰일 수 있다. 하지만 무한강하법은 보통 디오판토스 방정식을 푸는데 쓰인다. 

1.4 부등식[편집]

정수론적인 방법이 먹히지 않으면 대수학과 해석학적인 방법으로 풀면 된다. 방법도 간단해서, 그냥 조건에 맞게 부등식을 세우고 해를 찾으면 된다. 주로 변수 하나에 대한 부등식 조건을 찾은 뒤에 다른 변수로 넘어가는 방법을 쓴다. 실생활에서 가장 많이 쓰이는 풀이 방법.

6x2+5y2=74,x,y∈Z