곱셈 계산 방법의 발달

놀랍고 기발한 고대의 곱셈법－

옛날 사람들은 곱셈을 어떻게 했을까? 타임머신을 타고 중세나 고대로 갔을 때 지금 실력으로 여러분은 훌륭한 수학자로 존경받을 수 있을까? 이제 옛날 사람들이 곱셈을 한 방법을 살펴보고 나서 생각해 보자.

고대 이집트 사람들은 위치적 기수법을 쓰지 않고 절대 기수법을 사용하였으므로 같은 수를 반복해서 기록하는 일은 어렵지 않았다. 그러므로 그들은 곱셈을 할 때 ‘두 배’ 하는 방법을 사용하였다. 예를 들어, 17×13을 계산할 때 오른쪽 표와 같이, 17, 17의 두 배인 34, 두 배의 두 배인 네 배, 여덟 배를 한 다음 그 합이 13이 되도록(∨ 표시가 된 것을 모두 합한 것) 오른쪽의 수를 더하여 그 곱인 221을 얻었다. 오늘날 러시아의 농부들도 이와 비슷한 방법을 사용한다고 한다. 즉, 49와 28을 곱할 때, 49는 계속해서 반으로 만들고(남는 것은 버린다) 28을 계속해서 배로 만든 다음에 홀수인 49, 3, 1의 밑에 있는 수를 더한다. 그래서, 28+448+896=1372를 얻게 된다.

중세 인도인들은 여러 가지 방법으로 곱셈을 하였는데 그 방법들이 아라비아를 통해 유럽에 전해졌다. 왼쪽에서 오른쪽으로 계산하는 습관 역시 유럽에 전해져서 16세기 말까지 사용되었다.

이탈리아의 수도사인 파치올리(1445?-1515)는 인도에서 전해진 방법을 포함하여 그 당시 알려진 여러 가지 계산 방법을 모아서 1494년에 ‘산수집성’이라는 책을 썼는데, 거기에는 여덟 가지의 곱셈 방법이 있다.

<그림 1>

그 첫 번째 방법은 다음 <그림 1>과 같다. 즉, 9876×6789를 계산할 때 승수의 일의 자리 수부터 곱해서 더하는, 현재와 같은 방법이다. 다섯 번째 방법은 정사각형법이라고 불리는 것이다. 예를 들어 934×413은 다음과 같은 표를 만들어 곱한 다음 대각선을 따라 더하면 385742를 얻게 된다.

여섯번째 방법은 격자곱셈이라 불린다. 오른쪽 위와 같이 계산하여 대각선끼리 더한다. 그러면 987×987=974169가 된다.

일곱번째 방법은 예를 들어 234×48=234×6×8과 같은 방식이다. 여덟번째 방법은 승수를 적당한 수의 합으로 고치는 것인데, 예를 들어, 26×67은 26을 다음과 같이 고쳐서 계산한다.

26×67=(3+4+5+6+8)×67=201+268+335+402+536=1742
이 많은 방법 중에서 첫 번째 방법이 당시에 유일하게 사용되었다고 하는데, 격자곱셈은 지금도 미국 교과서에 등장하는 방법이다.

여러분이 타임머신을 타고 과거로 갔을 때 아마도 여러분의 계산 실력은 매우 뛰어날지도 모른다. 그러나 과거 사람들의 계산 방법에는 지금도 놀랄 만한 창의적인 생각이 많이 들어 있음을 알 수 있다. 여러분도 이집트나 러시아의 농부들이 했던 방법 또는 격자곱셈과 같은 방법으로 곱셈을 해 보면 어떨까? 
경향신문