수학의 재미 2019 AMC 12B /Problem 11 비순서쌍 unordered pairs

주어진 정육면체 에서   몇개의 비순서쌍 모서리가 평면을 이루는가?

How many unordered pairs of edges of a given cube determine a plane?

Solution 1

일반성을 잃지않고(WLOG;Without loss of generality)  정육면체의 12 모서리중 하나를 선택하자.
 무작위로 선택한 나머지 11 모서리중 한개가 문제의 조건 즉 하나의 평면을 결정할 확률을 구해보자.

공간의 두 선분이 공통된 평면을 만들려면, 두선분이  교차, 하거나 평행 해야 된다.
즉 꼬인위치 (skew lines)은 안된다.


 

위 그림에서 빨간선을 예로들면,  4개의 파란선과 만나고, 3개의 녹색선과 평행한다.
빨간선은 4개의 파란선과 만나고, 하나의 파란선과 하나의 평면을 만든다.
또한 빨간선은 3개의 녹색선중 하나와 하나의 평면을 이룬다.
고로, 12 -1 =11 개의 남은 모서리중  4 + 3 = 7 개의 모서리가 빨간색 모서리와 하나의 평면을 구성한다.
즉 무작위로 선택한 2개 모서리가 평면을 이룰 확률이 7/11 이다.
정육면체의 12개 모서리중 2개를 선택할 경우의 수는 (12C2)= 66가 있다.
답은 66*(7/11)=42
D이다.

Solution 2

 Solution 1 에서와 같이 하나의 평면을 이루려면 , 두모서리는 평행하거나 만나야 한다.


Case 1: 두모서리가 같은 평면에 있을때

정육면체에는  6개 면이있고, 정육면체를 이루는 정사각형의 4모서리중 2 모서리를 선택하는 방법은 4C2=6 가지가 있다.
6*6=36가지

Case 2: 같은 평면에 있지 않은 두모서리가 평행할때
정육면체의 12모서리 중 어느 모서리나 같은 평면에 있지 않은 평행한 모서리는 정확히 한개뿐이다.
12/2=6 쌍이 있다

36 + 6= 42
답은 42

Unordered pair:  {a, b}

비순서쌍

In mathematics, an unordered pair or pair set is a set of the form {a, b}, i.e. a set having two elements a and b with no particular relation between them. In contrast, an ordered pair (a, b) has a as its first element and b as its second element.

While the two elements of an ordered pair (a, b) need not be distinct, modern authors only call {a, b} an unordered pair if a ≠ b.
But for a few authors a singleton is also considered an unordered pair, although today, most would say that {a, a} is a multiset. It is typical to use the term unordered pair even in the situation where the elements a and b could be equal, as long as this equality has not yet been established.

A set with precisely two elements is also called a 2-set or (rarely) a binary set.

An unordered pair is a finite set; its cardinality (number of elements) is 2 or (if the two elements are not distinct) 1.

In axiomatic set theory, the existence of unordered pairs is required by an axiom, the axiom of pairing.

More generally, an unordered n-tuple is a set of the form {a1, a2,... an}.

 의문나거나 궁금한게 있으면 010-3549-5206 으로연락바랍니다.

피자 도우에는 쌍곡기하학의 원리가 숨어있다

오늘의 요리는 토르띠야 피자. 피자 도우 같은 얇은면이 구부러지면서 나타나는 쌍곡기하학의 세계를 만나보자. 게티이미지뱅크

따끈따끈한 피자 조각, 깊은 바닷속 산호초, 여러 종류의 나뭇잎은 서로 다른 사물이지만 공통점이 있다.  '쌍곡기하학의 예시'라는 것입니다. 예를 들면 피자 도우처럼 얇은 면이 구부러질 때 쌍곡기하학이 나타납니다. 

빌딩, 책상, 모니터, 공책처럼 인간이 만든 대부분의 물체는 직선으로 이뤄져 있습니다. 하지만 자연에서는 오히려 직선을 찾아보기 힘듭니다. 식물처럼 살아있는 생물의 표면은 거의 곡선의 형태를 띠기 때문입니다. 말하자면 자연에는 인공물보다 주름이 많습니다. 공학자들은 자연에서 주름이 생기는 원리와 주름으로 인한 기능을 연구해 기계나 로봇을 개발하는 데에도 활용하고 있습니다.

피자와 가우스 곡률

피자 한 조각을 집어들었을 때 삼각꼴 부분에 토핑이 너무 많다면 피자조각이 축 늘어지면서 토핑이 쏟아질 상황이 닥칩니다. 이때 피자를 살짝 접으면 구부러졌던 앞부분이 똑바로 펴집니다. 수학적 원리를 몰라도 누구나 자연스럽게 할 수 있는 행동입니다. 

피자 도우나 비닐봉지 같은 얇은 물체의 한쪽을 잡고 든다고 할 때, 구부러지는 것은 아주 쉬운 반면 꼿꼿하게 펴기는 매우 어렵습니다. 그런데 구부러짐과 펼쳐짐은 서로 독립적인 요소가 아닙니다. 어느 한 쪽을 조절함으로써 다른 쪽에 영향을 미칠 수 있습니다. 독일 수학자 카를 프리드리히 가우스는 수학으로 이러한 현상을 풀었습니다. 바로 ‘빼어난 정리’입니다.  

빼어난 정리는 ‘곡면을 찢지만 않으면 구부리거나 늘려도 가우스 곡률은 변하지 않는다’는 이론입니다. 여기서 가우스 곡률은 평면 위의 한 점에서 피자 도우가 얼마나 구부러졌는지 나타내는 수치입니다. 피자에서의 가우스 곡률은 가로 방향의 곡률과 세로 방향의 곡률을 곱해서 구할 수 있습니다. 아무 힘도 가하지 않은 평평한 상태의 피자는 구부러져 있지 않으므로 가우스 곡률이 0입니다.  

아래 그림과 같이 피자 끝을 잡고 들어 올리면 가로 방향은 평평하니까 곡률이 0입니다. 그럼 가로×세로에서 이미 0이 들어갔으니 세로 곡률이 무엇이든 곱셈의 결과는 0입니다. 따라서 피자는 제멋대로 휘게 됩니다. 이때 우리가 피자를 먹을 때 그랬듯이 양쪽을 접어 가로 방향으로 살짝 곡률의 크기를 늘리면, 피자는 빼어난 정리에 따라 가우스 곡률 0을 유지하기 위해 세로 곡률이 0이 됩니다. 피자 조각을 접으면 도우가 구부러지지 않게 되는 이유입니다. 

휘어진 피자를 바로 세우려면 가로 방향으로 살짝 접으면 된다. 박현선 기자

모양 바꾸기 쉬운 주름진 쌍곡면

가우스 곡률을 이해했다면 이제 주름진 표면의 에너지 효율에 대해 알아보겠습니다. 가우스 곡률을 이용하면 3차원에서 매끄러운 면(미분이 가능한 곡면)은 다음과 같이 분류할 수 있습니다. 한 점에서 가우스 곡률이 양수(+)인 구 모양, 가우스 곡률이 0인 평평한 모양, 그리고 가우스 곡률이 음수(-)인 말 안장 모양입니다.  

그렇다면 주름진 곡선 모양은 이 중 어디에 속할까요? 정답은 ‘어디에도 속하지 않는다’입니다.

오랫동안 학자들은 주름진 곡면이 마구 구겨놓은 종이와 비슷한 것이라고 생각해왔습니다. 하지만 2019년 3월 미국 보스턴에서 열린 ‘미국물리학회’에서 수학자 샨카 벤카타라마니는 주름진 곡면은 가우스 곡률이 음수인 쌍곡면의 한 형태이면서 아주 독특한 개별적 특성을 지니고 있다는 사실을 발표했습니다. 쌍곡면의 대표적인 형태인 말 안장 곡면은 모든 점에서 미분 가능한 표면을 지니고 있는 반면, 주름진 곡면은 미분이 불가능한 지점이 있으며 어느 점에서도 완전히 펼쳐지지 않은 표면을 지니고 있었던 것입니다. 

매끄럽게 쫙 펼쳐진 물체를 구부리는 것보다 이미 어느 정도 구부러져 있는 물체를 구부리는 것이 훨씬 쉬우므로 어느 점에서도 완전히 펴진 형태가 아닌 주름 형태의 쌍곡면 표면은 적은 에너지로 모양을 바꾸기에 효율적인 구조입니다 이로써 많은 생물이 주름진 곡면을 가진 이유도 수학적으로 설명할 수 있게 됐습니다.

벤카타라마니는 “수많은 물질과 시스템이 있지만 내가 아는 한 모두 에너지에 크게 좌우되며 주름 모양의 곡면이 특별한 기하학적 특성을 갖고 있다"고 말했습니다.  

수학동아

수학으로 상대방의 마음을 꿰뚫어 본다고?

좋아한다. 좋아하지 않는다. 좋아한다. 좋아하지 않는다. 좋아…

꽃잎을 하나씩 뜯으며 마음에 둔 사람이 나를 좋아하는지 고민해 본 적이 있는가? 요즘 말로 하자면 이런 상대를 ‘썸남’ 또는 ‘썸녀’라고 부를 것이다. 호의는 있는 것 같긴 하지만, 아직 완전히 사귀는 건 아닌 상황에서 밀고 당기다 보면 서로 상대의 마음이 어떨지 궁금할 수밖에 없다.

지금도 상대방이 보낸 애매한 문자메시지 한 통을 붙들고 마음앓이하고 있을 전국의 썸남썸녀들. 이들을 위한 희소식이 있다. 바로 상대방이 쓴 글로 그 사람의 감정을 분석하는 것이다. 그런데 글을 통해 글쓴이의 감정을 분석하는 기술의 중심에 수학이 있다.

출처 GIB

글쓴이의 마음을 알아내는 ‘감정 분석’

“알고 싶지만 도무지 알 수 없었던 썸남썸녀의 마음, 이제 OO이 알려 줄게요!”

이 문구는 한 회사의 광고다. 이 회사는 모바일 메신저의 대화 내용을 분석해서 상대방의 현재 감정 상태뿐만 아니라, 나에 대한 호감도와 친밀도, 애정도 등을 분석하는 서비스를 제공하고 있다. 현재 63만 명 이상이 애플리케이션을 내려 받아 사용하고 있다.

사람들이 이 애플리케이션에 열광하는 이유는 상대방의 감정을 알고 싶어 하는 것이 인간의 본성이기 때문이다. 상대의 감정에 따른 적절한 행동을 취할 때 사랑과 연애, 결혼에 성공할 수 있고 사회생활에서 원만한 인간관계를 유지할 수 있다. 이뿐만 아니라 국회의원과 대통령을 뽑거나, 소비자에게 상품을 팔 때도 유권자와 소비자의 마음을 헤아리는 것이 가장 중요한 요소다.

출처 GIB

이 때문에 오래 전부터 과학자들은 사람의 감정을 알아내는 객관적인 방법을 찾기 위해 노력해 왔다. 그런 방법 중 하나는 얼굴 표정을 분석하는 것이다. 인간은 특정한 감정에 대응하는 얼굴 표정을 만들기 때문에, 얼굴 표정의 특징을 파악하면 그 사람의 감정 상태를 유추할 수 있다. 또 다른 방법은 생체 반응을 측정하는 것이다. 인간은 특정한 감정 상태에 따라 심장박동이나 호르몬 농도 등의 생체 반응이 나타난다. 긴장을 하면 심장 박동이 빨라지고, 식은땀이 나는 것처럼 말이다. 따라서 이러한 생체 반응의 특징을 측정하면 인간의 감정 상태를 유추할 수 있다.

이런 분석 방법에는 몇 가지 제약이 따른다. 우선 상대방의 몸에 미리 특수한 장비를 설치해야 한다는 점이다. 그리고 직접 대면한 상태에서 감정이 발생하는 순간에만 감정을 측정할 수 있다. 따라서 현재 감정만 판단할 수 있고, 과거의 감정은 측정 데이터를 가지고 있지 않는 한 알아낼 방법이 없다.

반면에 최근 들어 활성화되고 있는 ‘글을 통한 감정 분석’의 경우, 상대방이 자발적으로 기록한 글만 수집하면 손쉽게 과거와 현재의 감정 상태를 측정할 수 있다. 특히 오늘날은 인터넷과 소셜미디어를 통해 수많은 글이 전세계에서 실시간으로 올라오는 빅데이터 시대다. 따라서 이런 글들을 분석하면 특정한 사회 현상에 대한 긍정 혹은 부정적인 반응을 측정할 수 있다. 또한 기업은 인터넷과 소셜미디어에서 소비자들이 상품에 대해 언급한 글들을 모아서 분석할 수도 있다.

감정을 분석하는 수학 원리는 통계와 확률

감정 분석의 기본이 되는 수학 원리는 통계와 확률이다. 먼저 글이 나타내는 감정 상태를 긍정과 부정의 두 가지로 나눈다. 이때 긍정적인 글에는 긍정적인 의미의 단어가 많이 쓰이고, 부정적인 글에는 부정적인 의미의 단어가 많이 쓰일 것이라는 가정을 토대로 미리 구분해 놓은 긍정과 부정의 단어 집합을 이용한다.

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단어의 긍정과 부정 성향을 구분하는 데에는 ‘PMI(Point-wise Mutual Information)’라는 수학 모델이 쓰인다. 두 단어가 하나의 글에서 얼마나 자주 함께 사게 되는지를 계산하는 방식이다. 만약 두 단어가 긍정적인 의미의 글에서 자주 함께 등장했다면 긍정적인 성격을 띤다고 판단할 수 있다. PMI는 다음과 같은 수식으로 표현된다.

*여기서 P(A)와 P(B)는 트위터 글이나 블로그 글 등 상대방을 분석하기 위해 모아 놓은 글에서 A 또는 B라는 단어가 출현한 확률이다. 반면 P(A∩B)는 A와 B 두 단어가 하나의 글에 함께 출현한 확률을 말한다.

단어의 긍정과 부정 성향을 구분하는 PMI 계산법

A를 ‘아름답다’, B를 ‘좋다’라는 단어라고 한다면 P(A)와 P(B)는 각각 ‘아름답다’와 ‘좋다’가 블로그와 트위터 등에서 나타난 확률을 말한다. 그리고 P(A∩B)는 분석 대상이 되는 글 중 특정한 하나의 글에 ‘아름답다’와 ‘좋다’가 함께 등장하는 경우의 확률을 말한다.

예를 들어 100개의 전체 글 중에서 A와 B 단어가 등장한 글이 각각 3개와 5개였고, 두 단어가 동시에 출현한 글이 하나였다면 P(A)=, P(B)=, 그리고 P(A∩B)=이 되는 것이다.

이때 A와 B 중에서 긍정과 부정으로 확실히 구분할 수 있는 단어가 있다면, 다른 한 단어가 긍정에 가까운지 부정에 가까운지는 다음과 같은 식을 통해서 계산할 수 있다. 예로 들었던 A와 B 중에서는 ‘좋다’라는 단어인 B가 긍정적인 단어이므로, B를 기준으로 A(아름답다)의 성격을 판단할 수 있다.

SO-PMI(아름답다)=PMI(좋다,아름답다)-PMI(나쁘다,아름답다)

만약 ‘아름답다’가 ‘나쁘다’라는 단어보다 ‘좋다’라는 단어와 더 많이 함께 사용됐다면, 위의 계산 결과는 양수가 된다. 즉, ‘아름답다’는 부정보다 긍정에 가까운 단어로 평가할 수 있다.

이제는 주식 투자도 감정 분석으로!

감정 분석은 이제 막 연구실 밖으로 발을 내디딘 첨단 연구 분야로, 최근에는 금융 분야에서 감정 분석을 적용하는 회사들도 속속 등장하고 있다. 주식을 사고파는 금융활동에서 사람들의 심리 상태가 중요한 변수로 작용하기 때문이다.

출처 GIB

예를 들어 1987년 10월 19일 미국 주식시장에서는 하루 동안 주가 지수가 22.61%나 하락하는 충격적인 사건이 있었다. 몇몇 투자자들이 가지고 있었던 주가 지수 하락에 대한 불안감이 순식간에 많은 투자자들에게 확산되면서 일어난 일이었다. 금융계에서는 이 날을 검은 월요일이라는 뜻의 ‘블랙 먼데이’라고 부른다.

최근에는 이런 사태를 막기 위해 감정분석을 적용하고 있다. 대표적인 예로는 특정한 시점의 경제 관련 신문 기사를 모두 수집해서 주식 시장의 미래 상황을 전망하는 다양한 단어들을 추출하는 작업이 있다. 추출한 단어들이 나타내는 긍정 혹은 부정의 양을 평가해서 주식 시장에 대한 대중의 심리 상태를 알아내는 것이다.

이런 방법으로 감정을 분석하려면 단어의 뜻을 정확히 구분할 수 있어야 한다. 똑같은 단어라도 맥락에 따라 뜻이 다를 수도 있다. 특히 우리말에 담긴 감정을 분석하려면 우리말 단어에 대한 연구가 이뤄져야 한다. 실제로 우리말에서 감정을 표현하는 단어를 분류해 지도로 작성하는 연구가 이뤄지고 있다.

조만간 컴퓨터로 글을 쓰면 컴퓨터가 사용자의 감정을 알아내 적절히 대응하는 세상이 올지도 모른다. 철저하게 논리적이어서 감정과 무관해 보이는 수학이 감정까지 꿰뚫어보는 시대가 눈앞에 있는 것이다.

사이언스 조이

오백나한과 블랙홀 black hole 광대무변한 스케일

블랙홀 기사, 읽고 또 읽었으나 광대무변한 스케일에 기죽어
지름 1㎝ 별에서 밥벌이하는 우리, 세상만사가 지극히 하찮은데
박물관의 나한상, 고요하고 평안… 석공의 노력이 600년을 건넌 것

얼마 전 신문에 보도된 블랙홀 기사를 한 번 읽고 이해하기엔 과학 지식과 상상력이 턱없이 부족했다. 오려두고 생각날 때마다 다시 읽었다. 독서백편의자현(讀書百遍義自見)이니 읽고 또 읽으면 언젠가는 블랙홀에 대해 깨칠 수 있을 것이다. 대여섯 번 읽으니 '사건 지평선(event horizon)'이 뭔지 알 것 같다. 어떤 물체든지 블랙홀에 빨려 들어가면 영원히 나오지 못하기 때문에 블랙홀 경계에 있을 때까지만 관측할 수 있다. 어떤 사람이 한없이 걸어가다가 지평선을 넘어가면 더 이상 그를 볼 수 없듯이 말이다.

전파망원경으로 블랙홀 사진을 찍었다는데 이것은 카메라로 꽃을 찍는 것과 같은 의미인가. 똑같지는 않지만 비슷하다. 우리가 보는 꽃은 꽃이 아니라 꽃이 반사한 빛이므로, 블랙홀에서 나온 전파를 잡아 그 모양과 규모, 온도를 측정할 수 있다. 이걸로 사진을 만들면 눈으로 본 것과 같은 효과를 낸다.

얼추 아는 척할 수 있을 것 같아도 그 광대무변한 기사 스케일에 기가 죽는 것은 여전하다. 이번에 관측한 블랙홀 지름은 400억㎞라는데 서울·뉴욕 간 거리가 약 1만㎞이므로 그보다 400만배 먼 거리다. 태양의 65억배나 되는 천체가 쪼그라들어 그만해졌다. 지구가 수축해 블랙홀이 되면 지름 1㎝가 된다. 우리는 1㎝짜리 별 안에서 입시 치르고 출퇴근하고 집값 오를까 떨어질까 전전긍긍하고 있다.

이 블랙홀은 지구에서 5500만 광년 떨어져 있다. 1광년이 9조4600억㎞이니까 환산하면 몇 ㎞인지 계산해 보려다 관뒀다. 내 계산기가 그런 숫자를 표시할 수 없을뿐더러 1광년도 이미 상상하기 벅차다. 그렇게 먼 곳의 그렇게 큰 블랙홀에서 나온 전파의 파장은 겨우 1.3㎜라고 한다. 그런데 이 전파를 잡아내려면 또 지구만 한 전파망원경이 필요하다. 그래서 지구 곳곳 전파망원경을 동원해 그만한 효과를 냈다.

일러스트=이철원

나는 신문에서 이렇게 스펙터클하고도 총천연색 시네마스코프적 기사는 처음 읽었다. 기사에 압도되고 활자 앞에서 주눅 들었다. 블랙홀의 중력이 얼마나 강하기에 자기 자신을 빨아들이는지는 아직도 상상할 수 없다. 나는 여전히 블랙홀에 대해 알지 못한다. 다만 인간이 아주 보잘것없는 존재라는 사실만은 또렷하게 안다.

인간이 우주에 비해 얼마나 작은지 가장 생생하게 비유한 사람은 진화생물학자 리처드 도킨스다. 양팔을 벌려 왼쪽 손끝에서 생명체가 태어나고 오른쪽 손끝이 현재라고 했을 때, 오른 팔뚝 이두박근까지 생명체라곤 박테리아뿐이었다. 공룡은 오른 손바닥에서 생겨나 가운뎃손가락 끝마디에서 멸종한다. 호모 에렉투스와 사피엔스는 손톱 안에 들어 있다. 역사 인류, 즉 수메르인부터 석가모니·예수, 나폴레옹과 히틀러, 비틀스부터 방탄소년단까지는, 손톱 끝에 줄칼을 갖다 대는 순간 모두 먼지가 되어 사라진다. 그리고 이 모든 것은 블랙홀 입장에서 봤을 때 지름 1㎝짜리 별에서 벌어진 일이다. 생각이 여기까지 미치자 모든 일이 헛되고 헛되어서, 세상만사가 지극히 하찮고 가벼워졌다. 밥벌이를 하고 비타민을 챙겨 먹고 거울을 보는 것이 다 무슨 소용이란 말인가!

지난 주말 국립중앙박물관의 '영월 창령사 터 오백나한' 전시를 보고 마음을 고쳐먹었다. 2001년 강원 영월군 야산에서 발굴된 나한상 317점 중 일부다. 수행으로 번뇌를 완전히 소멸시킨 사람을 나한이라고 한다. 돌에 새겨진 그 얼굴들이 하나같이 고요하고 평안했다. 족히 600년은 된 조각인데, 그 옛날 석공이 정으로 쪼고 끌로 깎아 만든 표정이 그대로 살아 있었다.

절에 있는 부처들은 인위적으로 인자한 표정을 짓고 있지만 영월 산기슭에 몇 백 년 묻혀 있던 수행자들은 요즘도 거리에서 흔히 볼 수 있는 얼굴이었다. 어떤 나한은 입술이 도톰하고 다른 나한은 볼이 통통하거나 이마 주름이 가득했다. 얼굴 생김생김이 제각각인 걸 보면 실제 인물들의 얼굴인 것 같다. 석공은 자신이 쪼아낸 얼굴이 훗날 스마트폰 쥔 사람들과 만나리라고 상상이나 했을까. 그저 당대의 일과 삶에 최선을 다했을 뿐이다. 그 결과 600년을 건너뛰어 현재의 관객들에게 깊은 영감을 주고 있다.나한들의 얼굴을 가만히 들여다보는 것만으로도 잡념과 번뇌가 씻겨 나가는 것 같았다. 그 얼굴들은 몇 천만 광년 떨어진 블랙홀부터 줄칼질 한 번에 사라질 인류사까지 꿰뚫은 듯한 표정을 하고 있었다. 박물관에서 나오는 길에 바람이 불었다. 저녁에 뭘 먹을까 궁리하기 시작했다

조선일보

단순한 계산을 넘는 수학적 발견의 즐거움

일본인 독립연구자인 모리타 마사오가 한국 수학교육의 장을 뜨겁게 달궜다. 그는 지난 22일24일까지 청소년, 학부모, (수학)교사 등에게 가톨릭청년회관, 광주하남교육청, 강명초등학교에서 수학콘서트를 펼쳤다. 모리타 마사오는 “무의미한 알고리즘의 훈련을 견딜 수 있는 강인함과 그 속에서 의미를 창조할 수 있는 섬세함이 필요하다”고 강조했다.

모리타 마사오는 일본에서 수학을 주제로 수학연주회를 열며 많은 관심을 받고 있는 대중강연자이다. 도쿄에서 태어나 미국 시카고에서 자라나 일본어와 영어에 능통하고, 도쿄대 문과에 입학했다가 다시 수학과로 편입해 졸업했다. 그는 2010년부터 수학도장을 설립해 대중들과 소통하며, 일본 전역에서 ‘어른을 위한 수학 강좌’를 열고 있다. 음악에 작곡가와 연주가가 있듯이, 수학에도 연구자와 대중강연자(연주자)가 필요하다는 인식에서 토크 콘서트는 시작됐다.

이번 대중 수학콘서트는 수학교사들이 주축이 되어 활동 중인 ‘수어빌(수학으로 어깨 빌려주기. 팟캐스트와 페이스북 참조)’에서 주최했다. 이 모임에선 모리타 마사오의 『수학하는 신체』(에듀니티, 박동섭 옮김, 2016)를 읽고 감동을 받아 저자를 불러오기로 했다. 이번 수학콘서트는 역자인 박동섭 독립연구자가 맡아, 한국과 일본의 대표적인 독립연구자의 만남이라는 의미를 더했다.

수학 대중화의 가능성 확인

모리타 마사오는 수학이 단지 계산에 대한 학문만은 아니라고 한다. 수학은 숫자보다는 마음과 정서에 의한 발견의 기쁨에 더욱 가깝다는 뜻이다. 일본에서 아라비아 숫자를 쓰기 시작한 것은 1800년대 후반이다. 그런데 ‘mathematics’를 ‘數學’으로 번역함으로써 마치 계산만이 전부인 것처럼 오도됐다.
모리타 마사오는 하이데거의 개념을 인용해 수학은 인간이 원래 가지고 있던 것을, 이미 알고 있던 것을 끄집어내는 것이라고 설명한다. 더욱이 수학은 마음과 정서로서 “끝없는, 열린 결말의, 창조적 행위”인 것이다. 정서란 자신의 내면을 들여다보는 것이다.

계산을 의미하는 ‘calculate’는 원래 기록하다는 의미였다. 실제 의미의 세계에서 사과 2개에 1개가 더해지면, 기호인 2+1로 기록을 했던 것이다. 그런데 이제 기록 자체만으로도 거기에서 의미를 발견하기 시작한다. 사칙연산으로 확장되고, 마이너스 개념, 마이너스 곱하기 마이너스 개념들이 나타나기 시작한 것이다.
무의미한 계산(기호조작·syntax)을 반복하더라도 그 안에서 의미(semantics)의 세계를 만들고, 다시 창조된 의미가 기호조작으로 반복되는 캐치볼 같은 순환이 바로 수학의 역사라고 모리타 마사오는 설명했다. 예를 들어, 17세기 수학자 파스칼은 “2-4=0”이라는 걸 당연하게 생각했다. 특히 파스칼은 이걸 모르는 수학자들이 많다고 비웃을 정도였다고 한다.

숫자는 양을 나타내는 개념이었다. 그러나 여기서 숫자에 위치의 개념을 창조해 수직선이 탄생한다. +는 오른쪽으로, -는 왼쪽으로 위치를 정해주는 것이다. 그런데 수학은 여기서 멈추지 않는다. 숫자는 이제 공간의 개념으로 확장된다. (-1)×(-1)=1이 되는 것은 180도 회전을 두 번 하여 제자리로 돌아온다고 설명된다. 의미의 세계에서 기호조작으로, 기호조작에서 다시 의미의 세계가 만들어졌다.

무의미한 기호조작에서 의미의 세계를 창조

모리타 마사오는 초등학생을 위한 수학교재를 집필한 바가 있다고 한다. 그런데 거기엔 숫자가 하나도 나오지 않는다. “너희들이 가장 멀리 가본 곳은 어디였을까요?”, “우리가 가장 멀리 상상해볼 수 있는 곳은 어디일까요?” 등의 방식으로 질문을 제기한다는 것이다. 그러면서 구체적으로 내가 실제 가본 곳과 가장 멀리 상상할 수 있는 세계의 간극을 조금씩 좁혀보고, 내 마음을 들여다보면서 사고를 확장하고 의미를 발견해내며 기뻐하자는 것이다.

수학콘서트에 참가한 관객들은 어떻게 하면 학생들이 ‘수포자(수학을 포기하는 자)’가 되지 않고 수학에 흥미를 느낄 수 있는지 질문했다. 모리타 마사오는 계산의 극단화인 알고리즘 훈련의 계산이 학교에서 이뤄지는 것이 전혀 나쁘거나 중요하지 않다고 말하지 않는다. 오히려 그 고된 훈련을 견뎌내는 강인함이 중요하고 그 안에서 의미를 일궈낼 수 있는 섬세함이 중요하다고 피력한다. 그건 비단 학교 안에서만 발생하는 차원이 아니라 삶의 다양성과 살아있음 그 자체에서 가능하다.

모리타 마사오는 학생들과 만나 교육의 방법 차원에서 구체적인 걸, 즉 실천의 차원에서 흔히 생각하는 결과물을 만들어낸 바가 없다고 한다. 학생들과 만나서 대화하고 정서를 이끌어내는 게 중요하며 우리가 왜 수학을 공부하는지, 신체를 토대로 했던 수학이 어떻게 다시 신체를 이탈하며 우리 몸으로 돌아오는지 보아야 한다고 강조한다. 어쩌면 무의미한 것처럼 보이는 알고리즘의 세계에 제대로 푹 빠져보는 게 필요한지 모른다.

모리타 마사오가 수학에 관심을 갖게 된 계기는 일본의 대표적인 수학자 오카 기요시가 쓴 수학책에 숫자가 하나도 없다는 사실을 발견한 것으로부터였다. 국내에는 『수학자의 공부』(사람과나무사이, 2018)로 번역되기도 했다. 오카 기요시는 다변수 복소 해석학에서 눈부신 업적을 남겼다. 오카 기요시는 ‘비판’보단 ‘정서’를 강조한다. 수학 문제를 못 푼다고 평가하고 지적하기 보단 따뜻한 마음과 발견의 기쁨을 알아차릴 수 있도록 정서를 키워가는 게 필요하다는 것이다.

모리타 마사오에 따르면, 오카 기요시는 제자들에게 수학을 가르칠 때 흔한 수학 수업처럼 매번 계산과 증명을 하지 않았다고 한다. 그림 하나를 매일 보여주고 온전히 화가의 마음에 닿을 수 있도록 했다는 것이다. 그런 순간이 오면 화가의 마음을 제대로 이해하고 정서가 확장되는 경험을 할 수 있다. 이때 수학의 세계에서도 그런 깊이와 넓이로 다가갈 수 있길 바란 건 아닌가 짐작해본다. 높은 산의 정상에 올라가본 사람만이 또 다른 준험한 산을 오를 수 있기 때문이다.

모리타 마사오는 초등학생들에게 숫자가 어디서 탄생했는지 물어보면, 나무에서 열매로 맺어졌다거나 수학교과서에서 만들어진 것이라는 답변을 종종 들었다고 한다. 귀여운 답변이지만, 숫자라는 건 인류가 발명한지 얼마 되지 않았다. 숫자는 인간이 만들어낸 발명품이며 절대성을 지니지 않는다. 역사성과 소통, 상황과 맥락 속에서 탄생한 수학, 이 수학에서 수학적 발견의 즐거움을 느끼길 바란다고 모리타 마사오는 강조했다.

 교수신문

KMC [본선] 한국수학경시대회 시행요강

시행일자

• 고사일 : 2019년 6월 23일 (일)
• 시 간 : 오후 2:00 ~ 4:00 - 입실완료 오후 1:40분까지

참가자격

• 예선 성적 전국 또는 지역 학년별 상위 15% 이내의 학생

응시학년

• 초3 ~ 고3 (고3은 인문/자연 구분)

출제문항

• 학년별 6문항

평가방법

• 1. 전과정에서 계산능력, 이해능력, 적용능력, 문제해결력의 4개 평가영역으로 나뉘어 서술형 주관식으로 출제
• 2. 1차, 2차, 3차 채점에 의한 입상자 선발

준비물

• 본선수험표(홈페이지에서 출력 사용), 필기구(서술형답안 작성)

수상발표

• 수상발표일시 : 일정 추후 공지
• 동상이상 수상자 대상 시상식 개최 : 일정 추후 공지
• 상장 및 상패 발송 : 지원서에 기재한 학교로 발송합
• (변동사항이 있을 경우 반드시 고사진행본부로 연락바람)

대회주체

• 주 최 : 한국수학교육학회
• 주 관 : 한국수학교육평가원
• 후 원 : 동아일보社

AMC 8/10/12 미국수학경시대회 AIME
SCAT SSAT PSAT GED SATmath ACT​ 

    국제학교영어원서 강의 수학과학올림피아드
    

   수학과학경시대회 성대 KMC KMO
 
   교육청영재원 교대영재원 경대영재원 준비반 모집    

  상담 환영합니다 
  

053-765-8233   010-3549-5206

KMC 한국수학인증시험 시행요강

시행일자

• 고사일 : 2019년 5월 26일 (일)
• 시 간 : 오후 2:00 ~ 4:00 - 입실완료 오후 1:40분까지

원서접수

• 2019년 4월 1일(월)~ 2019년 5월 12일(월)
• 취소는 2019년 5월 12일 까지만 가능

응시학년 (본인 학년만 응시가능)

• 초3 ~ 고3 (※ 고3은 인문/자연 구분)

참가비

• 45,000원 [ 본선:무료 ]

접수방법

• 인터넷접수 : 회원가입 -> 응시정보입력 -> 카드결제 -> 수험표출력
• (응시생 사진은 증명사진 스캔하여 업로드 또는 디지털카메라로 찍은 사진을 PC에 저장하여 업로드 가능하며 전신 사진의 경우 얼굴 부분만 이미지 절단하여 업로드할 것)
• 지정접수처 접수방법 : 전국 각 접수처에 방문하여 비치된 지원서를 작성 후 제출
• (지정 접수처 조회)
• 우편 접수방법 : 단체 접수는 홈페이지에서 지원서 다운로드하여 작성한 후
• 고사진행본부로 우편발송(응시료 결재는 추후 개별 안내)

제출서류

• 지원서(지원서에 반드시 사진(3x4)1매 부착요망)
• 뒷면 개인정보취급방침 서명 필수
• 응시료(45,000원)

성적발표

• 성적발표일시 : 2019년 6월 13일(목) 오전 10시
• 개인접수는 지원서에 기재한 주소로 개별 발송함
• 단체접수는 단체(학교 등)로 발송 함
• 변동사항이 있을 경우 반드시 고사진행본부로 연락바람.
• (주소, 연락처 변경시 홈페이지에 수정 등록해야함. 미 등록시 성적처리 및 등급인정 불가)

응시자 유의사항

• 지원서 기재 내용이 사실과 다를 경우에는 해당 시험을 0점 처리하며 응시자는
• 향후 2년간 본 대회 출전 자격을 제한합니다.
• 접수 취소 및 환불은 접수기간에만 가능하며, 고객지원센터의 ‘문의사항’에
• 취소환불요청 또는 메일발송을 통해 신청합니다.
• 접수 마감 후 고사장 이동은 불가능 하므로 고사장 선택을 신중히 해야 합니다
• 고사 당일 입실 시간은 시험시작 20분 전 까지 이며, 개인사정에 의하여 고사장에
• 늦게 도착해 발생하는 문제는 본인이 책임을 져야 합니다.
• 시험 당일 수험표, 컴퓨터용 수성싸인펜(흑색)은 고사본부에서 제공하지 않으며
• 반드시 개인이 지참해야 합니다.

본선진출 지역구분

• 전국 시/도별로 개설된 고사장에서 예선 실시
•   예선 성적 학년별 및 전국/지역별 상위 15%이내 본선 진출권 부여
•   본선은 전국 지역별 주요 고사장에서 개최(서울/대전/대구/부산/광주/제주)
• 본선진출 지역구분: 총 16개 시도로 구분(기준: 학교 소재 지역)

• 제1지역	서울특별시	제5지역	광주광역시	제9지역	강원도	제13지역	전라남도
  제2지역	부산광역시	제6지역	대전광역시	제10지역	충청북도	제14지역	경상북도
  제3지역	대구광역시	제7지역	울산광역시	제11지역	충남,세종	제15지역	경상남도
  제4지역	인천광역시	제8지역	경기도	제12지역	전라북도	제16지역	제주도

대회주체

• 주 최 : 한국수학교육학회
• 주 관 : 한국수학교육평가원
• 후 원 : 동아일보社
• 
  

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053-765-8233   010-3549-5206