꼬마 수학 천재가 알아야할 수학 이야기] 피보나치 수열

자연 속에 숨은 수학
냉장고에 사과가 있다면, 하나 꺼내 와. 자, 사과를 잘라 보자. 보통 엄마가 사과를 깎아 주실 때는 위에서 아래로 자르지만, 오늘은 옆으로 자르는 거야. 어때? 작고 예쁜 사과 씨 5개가 둥글게 별 모양으로 박혀 있는 것이 보이니? 냉장고에 배도 있다면, 마찬가지로 잘라 봐. 사과와 같다는 것을 알게 될 거야. 물론 아닌 경우도 있겠지. 그건 돌연변이라서 그래. 동물의 다리는 2개, 4개, 6개 등 짝수로 이루어져 있지만, 식물의 잎은 또다른 규칙에 따른단다. 클로버 잎은 3개이고, 대부분 많은 꽃들의 꽃잎 수를 세어 보면 3, 5, 8, 13, 21, … 등의 수로 이루어져 있어. 한번 여러 종류의 꽃들을 모아 놓고 꽃잎의 수를 세어 보렴. 정말인지 아닌지 알게 될 거야. 이렇게 자연 속에는 자주 등장하는 특별한 숫자 규칙이 있어. 자연 속에 또 어떤 숫자들이 숨어 있는지 계속 알아보자. 혹시 냉장고에 파인애플이 있니? 통조림 파인애플이 아니라 거칠거칠한 껍데기에 싸여 있는 진짜 파인애플 말이야. 파인애플이 없다면 솔방울도 괜찮아. 파인애플이나 솔방울을 자세히 들여다보면, 맨 위에서부터 아래로 내려오는 껍데기가 나선형으로 붙어 있다는 걸 알 수 있어. 나선형이란 용수철이나 스프링처럼 돌돌 감아 올라가는 모양을 말해. 그런데 파인애플이나 솔방울의 껍데기에 왼쪽으로 비스듬히 내려오는 나선과 오른쪽으로 비스듬히 내려오는 나선 두 가지가 함께 들어 있는 것을 알 수 있어.

파인애플의 경우 왼쪽으로 비스듬히 내려오는 나선이 8줄, 오른쪽으로 비스듬히 내려오는 나선이 13줄 있지. 대부분의 파인애플은 이 규칙을 지킨단다. 솔방울은 왼쪽으로 비스듬히 내려오는 나선이 보통 5~8줄 있고, 오른쪽으로 비스듬히 내려오는 나선은 8~13줄 있지. 도저히 파인애플도 솔방울도 구할 수 없다고? 그렇다면 국화꽃을 한 송이 구해 와. 작은 꽃잎이 촘촘하게 모여 있는 국화꽃을 잘 들여다 보렴. 국화꽃의 꽃잎이 나 있는 모양도 나선형인데, 보통 꽃잎의 숫자로 5, 8, 13, 21, 34, 55 등의 수가 많이 나온다는 것을 알 수 있어.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

바로 이 수들이 자연 속에 숨어 있는 수들이야. 일정한 규칙이 전혀 없는 숫자처럼 보이지? 하지만 저 숫자들 속에 깜짝 놀랄 만한 규칙이 숨어 있어. 바로 ‘피보나치 수열’이라고 불리는 규칙이야.

피보나치 수열

내 이름은 피보나치. 약 800년 전 이탈리아에서 살았다. 나는 신기한 숫자 규칙을 하나 발견했다. 그래서 내 이름을 붙여서‘피보나치 수열’이라고 불렀다. 다음 숫자들을 보라.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

일정한 규칙 없이 아무렇게나 모여 있는 숫자들처럼 보인다. 하지만 분명히 이 숫자들은 규칙에 따라 모인 숫자들이다. 알고 보면 아주 간단한 규칙이다. 하지만 내가 발견하기 전에는 아무도 알지 못했다.

이 수열에서는 1이 두 번 나온다. 그 이유가 뭘까? 1과 1을 더하면? 2가 된다. 그러면 1과 2를 더하면? 3이다. 너무 쉽다고? 계속 해 보자. 2와 3을 더하면 5이다. 3과 5를 더하면? 맞았다. 8이다. 5와 8을 더하면 13이다. 8과 13을 더하면 21이 된다. 나, 피보나치가 발견한 수열은‘두 개의 1로 시작해서, 앞에 있는 숫자 2개를 더하면 바로 뒤에 나오는 수가 되는 수들’이다.

내가 세상을 떠나고도 한참이 지난 뒤에야 이 수열이 단순한 숫자 계산이 아니라‘숨어 있는 자연의 규칙’이라는 것이 밝혀졌다. 피보나치 수열은 해바라기 꽃봉오리에 씨앗이 박혀 있는 모양에서도 찾을 수 있고, 피아노 건반에서도 찾을 수 있다. 한 변의 길이가 피보나치 수열인 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13인 정사각형을 그리고 곡선으로 연결해 봐. 나선형이 만들어지는데, 이런 나선형은 달팽이 껍데기나 소라 껍데기, 초식 동물의 뿔, 더 나아가 은하수의 형태에서도 찾아볼 수 있단다. 또 이 숫자들은 고대 이집트나 그리스 시대부터 신성하고 신비하게 여겼던‘황금비’하고도 관련이 있다. 황금비란 한 선분을 나눌 때 전체 길이를 긴 길이로 나눈 값이 긴 길이를 짧은 길이로 나눈 값과 같은 것인데, 이 값은 약 1.618이다.

황금비 1.618과 피보나치 수열, 자연의 규칙 등이 무슨 관련이 있을까? 좀전에 옆으로 잘랐던 사과를 다시 살

펴보자. 별 모양으로 박혀 있는 씨 5개 중에서 하나를 골라 첫 번째 씨라 하고, 첫 번째 씨에서부터 세 번째 씨 사이의 거리를 자로 재 본다. 그리고 첫 번째와 두 번째 씨, 두 번째와 세 번째 씨 사이의 거리도 재 본다. 그런 다음, 첫 번째와 세 번째 씨의 거리를 첫 번째와 두 번째 씨의 거리로 나눠 본다. 약 1.618배일 것이다. 첫 번째와 세 번째 씨의 거리를 두 번째와 세 번째 씨의 거리로 나눠 보아도 역시 약 1.618배라는 것을 알 수 있다. 피보나치 수열에서 나란히 서 있는 두 숫자를 나누어 보면 숫자가 커질수록 점점 황금비에 가까워진다.

3÷2=1.5, 5÷3=1.6, 8÷5=1.6, 13÷8=1.625, 21÷13=약 1.6153….

어때? 대단하지? 나, 피보나치는 위대한 수학자였다. 으하하!

/자료 제공: ‘리틀 수학 천재가 꼭 알아야 할 수학 이야기’(신경애 글ㆍ이민경 그림

황금비율의 원리 `피보나치 수열

가을 하면 가장 먼저 떠오르는 것은 바로 `단풍`이다. 기상청이 이달 초 발표한 가을 장기 예보에 따르면 늦더위 때문에 단풍 기간은 늦어지지만 단풍 빛깔은 그 어느 때보다 아름답다고 한다. 이런 단풍 속에도 수학적 법칙이 숨어 있다. 바로 피보나치 수열. 피보나치 수열은 단풍뿐만 아니라 식물 줄기의 가지 수, 가지 밑동에서 차례로 나는 잎의 수, 소라나 고둥의 나선 모양 등에서도 볼 수 있다.

이뿐만 아니라 솔방울, 파인애플이나 해바라기 씨앗의 나선 모양 배치뿐만 아니라 꽃잎 수에서도 찾을 수 있다. 

이 피보나치 수열은 사람이 가장 아름답게 느낀다는 황금비를 만들어 내기도 한다. 황금비는 피라미드, 파르테논 신전, 레오나르도 다빈치 인체 비례, 미켈란젤로 작품에서도 찾아볼 수 있다. 신용카드와 담뱃갑, A4용지 가로 세로 비율에서도 황금비를 찾아볼 수 있다. 

이뿐만 아니라 태풍과 은하수 형태, 바다의 파도, 배꼽을 기준으로 한 사람 상체와 하체, 목을 기준으로 머리와 상체 비율도 피보나치 수열에 따른 황금비가 나타나는 것을 볼 수 있다. 

피보나치 수열에 따른 사례들은 자연에서 무한하게 나타나고 있기 때문에 우주 전체가 피보나치 수열로 이뤄져 있다는 얘기가 나올 수도 있다. 

이렇듯 자연의 많은 부분에서 나타나는 피보나치 수열이란 무엇일까? 

피보나치 수열은 `0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…`과 같이 앞의 두 항을 합친 값이 다음 항이 되는 수열을 말한다. 이를 수학적으로 표시하면 수열의 n항을 Fn이라고 할 때 피보나치 수열은 Fo=0, F₁=1이고, Fn-₂+Fn-¹=Fn, n≥2를 만족하는 수열이다. 

이 수열이 처음으로 알려진 것은 기원전 500년께 핑갈라라는 인도 수학자가 쓴 `찬다 사트라`라는 운율에 관한 산스크리트 책에서다. 인도 학자들은 한 박자와 두 박자 음절에서 형성되는 리듬감 있는 형태에 관심이 있었는데, n박자를 갖는 이런 리듬의 수가 Fn+1이었다. 

서구에 이 수열이 유래된 것은 바로 레오나르도 피보나치가 1202년에 저술한 `주산서`에서다. 피보나치는 주산서 12장에서 "어떤 사람이 사방이 벽으로 둘러싸인 장소에 토끼 한 쌍을 놓았다. 만일 매달 각 쌍의 토끼가 두 번째 달부터 새로운 쌍의 새끼를 낳는다고 가정하자. 그럴 때 1년 동안에 한 쌍의 토끼가 낳을 수 있는 토끼는 몇 쌍인가"라는 질문을 던졌다. 

1170년 이탈리아 피사에서 태어나 어려서부터 수학에 관심이 많았던 피보나치는 북아프리카 연안을 비롯해 지중해 연안을 두루 여행하면서 쌓은 지식을 바탕으로 주산서, 실용기하학, 수론, 제곱근서 등 다양한 수학책을 저술했다. 

앞서 언급했듯이 피보나치 수열은 황금비와도 밀접한 관계가 있는데 이는 독일 천문학자 요하네스 케플러에 의해 지적됐다. 

피보나치 수열의 이웃한 두 수열의 비 Fn+₁/Fn은 n이 무한대로 갈 때 황금비 φ(phiㆍ파이)=1.618…로 수렴하고, 이 황금비 φ는 방정식 χ=1+1/χ의 양의 근으로 정의된다는 것이다. 

피보나치 수열이 가장 잘 나타나는 것은 식물 잎이 나는 차례다. 잎 차례는 줄기에서 잎이 나와 배열하는 방식인데, 보통 t/n으로 표시된다. t번 회전하는 동안 잎이 n개 나오는 비율이다. 참나무와 벚꽃은 2/5이고, 포플러 장미 버드나무는 3/8, 아몬드는 5/13이다. 식물 90% 이상이 이런 피보나치 수열을 따르고 있다. 

이런 신비함 때문에 추리소설 소재로도 자주 쓰였다. 영화로도 만들어진 댄 브라운의 소설 `다빈치 코드`에도 피보나치 수열이 등장했다. 

소설 첫 부분에 박물관장인 소니에르가 죽으면서 `13-3-2-21-1-1-8-5 O, Draconian devil! Oh, lame saint`라는 메시지를 남긴다. 소니에르 손녀인 암호 전문가 소피는 맨 윗줄 숫자가 재배열 피보나치 수열임을 알아차리고, 종교학 교수인 주인공 랭던은 이 수열 배치에서 힌트를 얻어 `Leonardo Da Vinci! The Mona Lisa`라는 것을 밝혀내고 사건의 중심으로 뛰어든다. 또 소피(Sophie)라는 이름에도 피보나치 수열로 나타나는 황금비 φ가 들어가 있다. 

피보나치 수열은 신호이론, 의학, 물리학, 통계학에 쓰이는 것은 물론 숫자와 상관없어 보이는 예술 분야에서도 응용되고 있다. 음악에서 튜닝을 하는 데 이용되고, 비주얼 아트에서는 길이나 콘텐츠, 형식요소를 결정하는 데도 이용된다. 벨라 바르토크의 `현악기, 타악기 그리고 첼리스트를 위한 음악`은 피보나치 수열이 나타나는 대표적인 예술작품이다. 

피보나치 수열은 주식시장에도 중요한 분석 도구로 쓰인다. 

1930년 미국 R N 엘리어트는 `우주의 비밀`이란 책에서 "철학적 관점에서 20세기 최대 발견은 상대성 이론, 양자역학 등이 아니라 우리가 아직 궁극적 실체에 도달하지 못했음을 깨달은 것이다. 우리는 다만 변화를 주재하는 법칙에 따라 진행되어 외부세계에 나타난 현상을 규정지을 뿐이다. 모든 생명체와 움직임은 진동으로 구성돼 있으며 주식시장도 예외일 수 없다"고 주장했다. 

엘리어트는 과거 75년 동안 주가 움직임에 대한 연간, 월간, 주간, 일간, 시간, 30분 단위 데이터까지 분석한 결과 인간 심리나 군중 행태를 반영한 증권시장도 자연법칙에 따라 움직인다고 설명했다.

 

 즉 증시는 강세장과 약세장으로 이뤄진 증가와 감소의 파동으로 이뤄져 있으며, 상승하는 주식가격과 하락하는 주식가격 시점이 피보나치 수열과 관련 있다는 것이다. 

엘리어트 파동이론은 1987년 미국 주식시장 폭락사태를 예견해 최상의 주식 예측도구로 각광받았다. 그러나 이 이론은 원래 다우지수와 같은 전체 주가지수 움직임을 바탕으로 연구했기 때문에 개별 종목 움직임에 적용하기는 무리가 있다. 이 때문에 증권가에서는 이 이론을 바탕으로 다양한 소프트웨어를 개발해 사용하고 있다. 

​ 매일경제 

피보나치도 울고 갈 파인애플 볶음밥

열대과일 파인애플에 피보나치 수열이 숨어 있다.게티이미지뱅크

달콤새콤한 열대과일 파인애플에도 피보나치 수열이 숨어있습니다. 

피보나치 수열은 이탈리아 수학자 레오나르도 피보나치의 이름을 딴 수열입니다. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…처럼 두 개의 1로 시작해서 연이은 두 수를 더해 다음 항을 만드는 수열입니다.

피보나치의 이름을 따르긴 했지만, 피보나치 수열을 처음 생각해낸 건 피보나치가 아닙니다. 피보나치 수열이 처음 문헌에 등장한 건 기원전 5세기 인도 수학자 핑갈라의 책에서였고, 그보다 훨씬 전부터 쓰였을 가능성이 높습니다. 하지만 피보나치가 자신의 책 ‘산술의 서’ 12장에서 토끼 번식에 관한 문제로 피보나치 수를 설명하면서 유명세를 타서 피보나치 수열이라 불리게 되었습니다.

피보나치 수열은 매우 간단하지만 수학 전반에 걸쳐 등장하는 중요한 개념입니다. 기하학, 대수학, 정수론 등 다양한 수학 분야에서 쓰일 뿐 아니라, 자연 속에서도 아주 쉽게 발견할 수 있습니다. 해바라기, 솔방울, 나뭇가지 배열, 수벌의 가계도 등 자연의 모습이나 식물의 생장을 설명할 때 피보나치 수열은 빼놓을 수 없습니다. 파인애플 역시 그 예시 중 하나입니다.

파인애플 껍질은 육각형 알맹이들이 서로 다른 3종류의 나선 방향으로 얽혀 이뤄져 있습니다. 피보나치 수열은 이 나선의 개수에서 찾을 수 있습니다. 같은 방향의 나선의 수가 꼭 5, 8, 13, 21 같은 피보나치 수가 되기 때문입니다. 아래 그림처럼 전체 껍질을 펼쳤을 때, 같은 육각형 알맹이를 기준으로 ①번 방향 나선은 5줄이 나오고, ②번 방향 나선은 8줄, ③번 방향 나선은 13줄이 나옵니다.  

수학동아 제공

이런 특징은 다른 식물에서도 관찰할 수 있습니다. 솔방울 역시 나선으로 이뤄져 있는데, 각 방향을 따라 생성된 나선의 개수는 대부분 연속한 피보나치 수고, 해바라기 씨의 나선도 피보나치 수를 따릅니다.

식물의 나선뿐만 아니라 꽃잎의 수나 잎사귀의 배열에서도 피보나치 수열을 발견할 수 있습니다. 식물의 줄기에 붙어있는 잎의 배열을 살펴봅시다. 한 줄기의 가장 낮은 위치에 있는 잎사귀에서 관찰을 시작합니다. 첫 번째 잎에서 시작해 줄기를 기준으로 회전하며 올라가 이 잎사귀와 완전히 똑같은 방향에 있는 잎사귀를 찾을 때까지 개수를 세는 겁니다. 그러면 신기하게도 같은 방향에 있는 잎사귀에 도착할 때까지 회전한 횟수가 피보나치 수가 되고 이 두 잎 사이의 잎사귀 개수 역시 피보나치 수가 됩니다! 특히 야자수에서 이와 같은 피보나치 수열을 흔히 발견할 수 있습니다. 

수학동아 제공

식물의 생장 비밀은 '피보나치 수열'

이 정도면 식물들이 그야말로 피보나치 수열을 바탕으로 자라고 있다고 말할 수 있겠습니다. 그러면 왜 이런 현상이 나타나는 걸까요? 식물 생장의 비밀을 찾기 위해 수학자, 식물학자 등 많은 사람이 연구를 해오고 있지만 아직 확실한 결론을 얻지는 못했습니다. 다만 식물의 씨앗을 고르게 배열하기 위한 최적의 분포가 피보나치 수열을 따르기 때문일 거라 추측하고 있습니다. 너무 중앙에만 몰려 있거나 가장자리로 갈수록 듬성듬성해지면 생장과 번식에 효율적이지 못하기 때문입니다.

알프레드 포사멘티어 미국 뉴욕시립대 수학교육과 교수와 잉그마 레만 독일 베를린 훔볼트대 수학과 교수는 도서 '피보나치 넘버스'에서 "야자수 각각의 잎사귀가 차지하는 공간이 최대한 충분하고 빛을 많이 받게끔 하는 배열과 관련이 있을 것"이라고 추측하며 "오랜 세대를 거치면서 생존에 유리한 방향으로 진화한 것이 아닐까"라고 덧붙였습니다. 이들은 식물의 기하학적 배열에 대한 가장 '괄목할 만한 결과'로 1992년 발표한 프랑스 수리물리학자 스테판 두아디와 이브 쿠더의 논문을 꼽았습니다.

두아디와 쿠더는 컴퓨터 모델링을 이용해 식물의 생장에 작용하는 이론을 발전시켰고, 피보나치 패턴과 관련된 실험을 진행했습니다. 그들은 식물에 숨겨진 황금각(137.5도)을 동역학으로 설명하기도 했습니다. 이 결과는 식물학만으로 설명하기 어려웠던 식물의 배열을 새로운 관점에서 바라보게 했고 이후로도 오랫동안 ‘두아디와 쿠더 방정식’은 식물 생장 연구의 모형으로 쓰였습니다. 

식물 생장 패턴까지 포함한 방정식 발견

그런데 최근 두아디와 쿠더의 방정식을 보완한 새로운 방정식이 등장했습니다. 2019년 6월 스기야마 무네타카 일본 도쿄대 교수팀은 두아디와 쿠더의 방정식으로 설명하지 못했던 식물까지 포함하는 변형된 방정식을 발표했습니다. 피보나치 수열을 따르지 않는 식물 종이 어떻게 배열 패턴을 나타내는지 알아낸 것입니다.

상산나무는 기존의 식물 생장 모델로는 배열 패턴을 만들지 못했던 식물입니다. 연구팀은 예외라고 여겨졌던 상산나무 역시 식물 생장 모형을 이용해 나타낼 수 있으리라 생각했고 기존에 쓰이던 모형에 새로운 변수를 추가해 상산나무가 어떻게 자랄지 예측했습니다. 결과는 실제 상산나무의 모습과 일치했습니다. 이 방정식은 상산나무 하나만이 아니라 상산나무와 비슷한 종류의 다른 식물에도 적용할 수 있습니다.

연구를 이끈 스기야마 교수는 “우리의 모형은 잎이 둘러서 나는 모든 주요 식물의 잎사귀 배열 패턴을 생성할 수 있다”며 “또한 다른 자연에서 나타나는 여러 종류의 패턴에도 잘 맞는다”고 새로운 방정식의 우수성을 설명했습니다. 

그러나 아직 과제는 남아있습니다. 기하학적 계산을 통해 식물이 어떻게 자랄지 예상할 수는 있지만, 왜 그런 모양으로 자라는지는 여전히 정확히 알지 못하기 때문입니다. 무작위로 자라는 것 같았던 식물들이 아주 정확한 규칙을 지키며 자라고 있다니 정말 놀랍습니다. 

수학동아

살 빼려면 미토콘드리아를 늘려라?

인간의 몸은 약 60조 개의 세포로 이루어져 있고, 그 세포 하나하나에는 100개에서 3000개 정도의 미토콘드리아가 존재한다. 미토콘드리아는 세포 안에서 가장 많은 부피를 차지하는 세포 내 기관으로 우리 몸에 있는 미토콘드리아의 총 무게는 우리 몸무게의 10%나 차지한다. 미토콘드리아는 세포가 사용할 에너지를 생산하는 세포 내 기관으로 주로 알려졌지만, 최근 연구에 의하면 미토콘드리아가 우리의 건강과 밀접하게 연결돼 있을 뿐 만 아니라 생물의 진화에도 중요한 역할을 한다.

다이어트를 하려면 미토콘드리아를 늘려라

우리 몸은 섭취한 음식물을 에너지로 쓰기 위해 복잡한 과정을 거친다. 우선 음식물을 분해하여 포도당이나 아미노산 등의 영양소로 바꿔 몸속에 흡수한다. 이 영양소는 혈관을 통해 온몸의 세포에 공급되는데, 세포는 이 영양소를 바로 에너지로 사용할 수가 없다. 세포의 에너지원은 ATP(아데노신3인산)이기 때문이다. 그래서 세포는 미토콘드리아를 통해 흡수한 영양소를 이용한 ATP 합성 과정을 한 번 더 거치게 된다.

세포는 미토콘드리아가 많을수록 더 많은 에너지를 만들어낸다. 그래서 심장 근육 세포나 신경 세포와 같이 에너지가 많이 필요한 세포일수록 미토콘드리아의 수가 많다.

특히 근육 세포는 미토콘드리아가 많을수록 오랫동안 지치지 않고 움직일 수 있어 지구력이 좋아진다. 또한 운동을 많이 할수록 근육 세포 안에 미토콘드리아의 수가 늘어난다. 근육을 많이 쓰면 근육 세포가 ATP를 많이 소비하여 ATP가 부족해진다. 그러면 ATP가 부족하다는 신호가 세포 핵 안의 유전자에 전달되고, 신호를 받은 유전자는 새로운 미토콘드리아를 만들기 위한 작업을 시작한다.

미토콘드리아는 다이어트와도 연관이 있다. 우리 몸에 미토콘드리아가 많을수록 기초대사량이 많기 때문이다. 기초대사량이 많을수록 흡수한 영양소를 에너지로 소비하는 양이 많기 때문에 많이 먹어도 상대적으로 살이 덜 찐다. 따라서 다이어트에 성공하려면 운동을 열심히 해서 근육 세포 안의 미토콘드리아 수를 많이 늘려야 한다.

미토콘드리아 수가 많을수록 많이 먹어도 상대적으로 살이 덜 찐다. ⓒ 윤상석

세균끼리 공생하는 과정에서 탄생한 미토콘드리아

미토콘드리아는 외막과 내막의 이중막과 DNA를 갖고 있다. 동물의 세포 기관 중에서 핵을 제외하고 미토콘드리아만이 자신만의 DNA를 갖는다. 게다가 미토콘드리아 DNA는 핵 DNA와 달리 세균의 DNA처럼 원형의 염색체를 이룬다. 그래서 과학자들은 미토콘드리아가 태초에는 원래 독립된 세균이었는데 다른 세균이 합쳐져 공생하면서 세포 내 기관으로 변했다는 가설을 내놓았다.

미토콘드리아는 동물 세포 기관 중 핵을 제외하고 유일하게 자신만의 DNA를 갖는다. ⓒ 윤상석

이 가설은 다음과 같다. 지구상에 처음으로 나타난 생명체는 원핵생물이었다. 원핵생물은 핵을 포함해 세포 내부에 막으로 둘러싸인 기관이 없는 생물이다.

미토콘드리아 조상 세균도 원핵생물이었는데, 산소를 이용해 당과 같은 유기물질을 에너지 형태인 ATP로 전환할 수 있는 능력이 있었다. 그런데 원핵생물 중에 DNA를 막으로 가둬 핵을 가지려는 원시 진핵생물이 생겼다.

이 원시 진핵생물 중 어떤 세균이 자신보다 덩치가 훨씬 작은 미토콘드리아의 조상 세균을 잡아먹었다. 그런데 미토콘드리아 조상 세균은 소화되지 않고 자신을 삼킨 세균 안에 그대로 살아남는 행운이 일어났다.

이때부터 미토콘드리아 조상 세균은 자신을 삼킨 세균에게 에너지를 주고 그 세균으로부터 안전한 장소와 에너지 생산에 필요한 당을 제공받으면서 서로 공생하게 된다. 미토콘드리아 조상 세균을 삼킨 세균은 세포 안에 에너지 생산 공장을 갖게 되면서 복잡한 생물로 발전할 수 있게 되었고, 미토콘드리아 조상 세균은 그 세균의 안에서 세포 기관으로 자리를 잡은 것이다.

결국 미토콘드리아 조상 세균을 삼킨 세균은 진핵생물로 발전하였고, 다시 비약적으로 진화하여 동물의 세포가 되었다. 이 가설이 처음 나왔을 때 많은 과학자들로부터 외면당했지만, 그 후 이 가설을 뒷받침하는 증거들이 계속 발견되면서 현재는 정설로 인정받고 있다.

미토콘드리아는 원래 독립된 세균이었으나 다른 세균과 공생하면서 세포 내 기관이 됐다. ⓒ 윤상석

미토콘드리아를 이용해 인류의 기원을 찾는다

대부분의 다세포생물의 경우, 아버지의 정자와 어머니의 난자가 수정될 때 정자의 미토콘드리아는 분해되어 없어진다. 따라서 우리 몸의 미토콘드리아는 모두 어머니로부터 물려받았고, 미토콘드리아 속의 DNA는 부모 유전자 재조합 과정을 겪지 않은 채 모계 단일 계통으로 전달된다.

이 때문에 미토콘드리아 DNA의 계보를 추적하여 비교하기가 쉽다. 게다가 미토콘드리아의 유전자는 핵 유전자와 달리 크기가 작아 분석하기도 쉽다. 그래서 미토콘드리아의 DNA를 이용하여 인류의 기원을 찾으려는 연구가 진행되었다.

이 연구를 통해 현생 인류가 약 20만 년 전에 아프리카에 살았던 한 여성의 자손이라는 주장이 발표되기도 하였다. 또한 미토콘드리아 DNA는 이러한 특성 때문에 인류 유전학의 연구에도 자주 활용되고 있다.

ScienceTime

과학이론에서 빠지기 쉬운 오류들

자연과학의 이론은 그 공헌이나 영향력이 단순히 자연과학이나 공학의 영역에만 머무르지 않고, 널리 인문사회과학 분야에까지 미치는 경우가 적지 않다. 특히 역사적으로 과학의 패러다임을 바꾸는 중요한 이론들은 인간의 신념체계 및 세계관 등에도 큰 변화를 몰고 오곤 하였다. 자연과학의 패러다임 자체가 어느 정도 세계관을 함축할 수 있으므로 이러한 영향력은 바람직하게 작용하기도 하였지만, 때로는 잘못된 이해와 오류에 빠지는 경우도 적지 않다.

대중들이 자연과학 이론을 이해하는 과정에서 빠지기 쉬운 대표적인 오류의 하나가 바로 자연주의적 오류이다. 자연주의적 오류(The naturalistic fallacy)란 현상과 당위를 혼동하는 데에서 생기는데, 윤리적 판단을 사실 판단과 동일시하는 오류를 의미한다. 즉 자연의 법칙 그 자체를 윤리적으로도 옳다고 여기는 잘못된 생각이다.

이러한 자연주의적 오류로 인하여 대중들의 오해를 자주 받는 대표적인 과학 이론이 바로 자연선택설에 기반을 둔 다윈(Charles Darwin, 1809-1882)의 진화론이다.

다윈의 이론에 따르면 강한 자만 살아남는 적자생존과 자연선택이 진화의 원리이므로, 인간 사회 역시 강자가 약자를 착취하고 약자는 도태되는 것이 당연하지 않으냐는 식으로 합리화하는 이들이 여전히 적지 않다.

그러나 다윈과 그의 후계자들은 도리어 자연상태에서나 발생하는 적자생존 경쟁을 인간 사회에서 정당화할 수 없으며, 이를 방지하는 것이 문명사회의 목표라고 역설한 바 있다.

특히 진화론에 반대하는 이들과 크게 싸우면서 다윈의 이론을 널리 알리고 발전시킨 토마스 헉슬리(Thomas Henry Huxley, 1825-1895)는 “자연에는 도덕적 목적이 없다. 도덕은 철저히 인간이 만들어낸 것이다.”라고 말한 바 있다.

개방적이며 진보적인 사고를 지녔던 헉슬리는 사회제도와 교육을 개선하고 올바른 윤리를 확립함으로써 사실과 당위를 구별하고 자연주의적 오류를 극복할 것을 역설하였다.

다윈의 진화론에서 자연주의적 오류를 경계한 토마스 헉슬리 ⓒ 위키미디어

자연주의적 오류를 역으로 적용한다면, 강한 사람이 약한 사람을 착취하는 약육강식의 생존경쟁이 ‘도덕적으로’ 옳지 않으므로, 다윈의 자연선택설 역시 잘못되었다고 주장한다거나, 그러한 진화의 원리를 발견한 다윈 역시 나쁜 사람이라는 어처구니없는 결론에 도달할 수도 있다.

이런 식의 사고를 약간 비약시킨다면, 마치 열차 충돌, 비행기 추락 등의 대형 교통사고나 건물의 붕괴로 인하여 수많은 인명이 희생되는 것도 뉴턴의 운동법칙과 만유인력 법칙 때문이니, 이들 법칙을 처음 발견한 뉴턴(Issac Newton, 1642-1727)의 책임이라는 황당한 얘기도 나오지 말라는 법이 없다.

정확히 자연주의적 오류로 보기는 어렵지만, 비슷한 맥락에서 대중들에게 가장 많은 오해를 불러일으킨 이론 중의 하나가 바로 아인슈타인(Albert Einstein, 1879-1955)의 상대성이론(Theory of relativity)이다.

상대성이론을 “시간과 공간마저 절대축이 없을진대 모든 것은 보는 사람의 주관에 따라 달라지는 상대적인 것일 뿐이다”고 해석하는 이들이 여전히 많다.

그러나 이는 시공간이 서로 연관되고 관측된 계에 따라서 길이와 시간이 달라 보인다는 상대성(Relativity)의 의미를 잘못 이해한 것이다.

상대성이론을 제대로 이해하기 위해서는 그 역사적 맥락을 함께 살펴볼 필요가 있는데, 놀랍게도 상대성이론, 혹은 운동의 상대성 원리를 처음으로 발견한 과학자는 아인슈타인이 아니라 ‘근대과학의 아버지’라 불리는 갈릴레이(Galileo Galilei, 1564-1642)이다.

운동의 상대성 원리를 처음 발견한 갈릴레이 ⓒ 위키미디어

즉 물체의 낙하 법칙을 밝히고 근대적 역학의 기초를 세운 갈릴레이는, 정지한 상태에서 보는 운동과 움직이는 상태에서 관찰하는 운동의 관계 등을 기술하는 운동의 상대성 원리를 알아내었던 것이다.

그러나 훗날인 19세기 이후, 패러데이(Michael Faraday), 맥스월(James C. Maxwell) 등에 의해 전기 및 자기의 성질, 전자기파의 실체 등을 설명하는 전자기학(Electromagnetism)이 발전한 후로는, 갈릴레이, 뉴턴의 고전역학과 전자기학 사이에 제대로 설명되지 않는 모순이 있는 것처럼 보였다. 아인슈타인의 상대성이론은 바로 이러한 문제를 해결하고, 역학과 전자기학을 하나의 통일된 체계로 기술하면서 운동의 상대성 원리가 잘 적용되도록 한 것이다.

시공간은 적지 않은 사람들이 오해하듯이 결코 사람의 주관에 따라 멋대로 달라 보이는 것이 아니라, 일정한 공식에 의해 그처럼 표현될 뿐이다. 상대성이론의 핵심은 ‘모든 물리법칙은 관측하는 사람의 상태와 무관하게 같다’라는 것이다.

즉 정지한 상태의 관찰자든, 등속 혹은 가속도로 운동하는 상태의 관찰자든, 동일한 물리법칙이 적용된다는 점을 보여준다.

상대성이론에서 시공간은 사람의 주관이 아니라 일정한 관계식에 의해 달라보인다 ⓒ Maschen

따라서 우주 어디에서나 물리법칙은 바뀌지 않으므로, 이름처럼 ‘상대적인’ 이론이 아니라 도리어 절대적인 이론에 가깝다고 해석할 수도 있다.

이런 측면을 고려하여 상대성이론을 우리말로는 ‘연관성이론’이라 번역하는 것이 더 타당하다고 주장하는 물리학자도 있다. 그럼에도 불구하고 일반 대중뿐 아니라 상당히 저명한 철학자나 경제학자들마저 상대성이론을 인문사회과학에 잘못 끌어들인 역사적 사례들이 적지 않았고, ‘상대성’에 대한 이러한 오해는 오늘날까지도 계속되고 있다.

 ScienceTimes

왜 자연은 피보나치 수열과 황금비를 택했을까

단풍의 계절이다. 꽃과 꽃잎 그리고 식물의 잎에서 피보나치 수열을 찾아보자. 이 수열은 식물뿐 아니라 고둥이나 소라의 나선 구조에도 나타난다. 그리고 이 수열은 운명적으로 가장 아름답다는 황금비를 만들어낸다. 황금비는 피라미드, 파르테논 신전이나 다빈치, 미켈란젤로의 작품에서 시작해 오늘날에는 신용카드와 담뱃갑, 종이의 가로 세로 비율에까지 광범위하게 쓰인다. 그러나 인간만 황금비를 아름답게 느끼는 것은 아니다.



황금비는 태풍과 은하수의 형태, 초식동물의 뿔, 바다의 파도에도 있다. 배꼽을 기준으로 한 사람의 상체와 하체, 목을 기준으로 머리와 상체의 비율도 황금비이다. 이런 사례를 찾다보면 우주가 피보나치 수열의 장난으로 만들어졌는지도 모른다는 생각까지 든다.

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이 수열은 12세기 말 이탈리아 천재 수학자 레오나르도 피보나치가 제안했다. 한 쌍의 토끼가 계속 새끼를 낳을 경우 몇 마리로 불어나는가를 숫자로 나타낸 것이 이 수열이다. 이 수열은 앞서 나오는 두 개의 숫자의 합이다. 1, 1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21, 13+21=34, 21+34=55, 34+55=89…이처럼 계속 수열을 만들어가는 것이다.



주변의 꽃잎을 세어보면 거의 모든 꽃잎이 3장, 5장, 8장, 13장…으로 되어 있다. 백합과 붓꽃은 꽃잎이 3장, 채송화·패랭이·동백·야생장미는 5장, 모란·코스모스는 8장, 금불초와 금잔화는 13장이다. 과꽃과 치코리는 21장, 질경이와 데이지는 34장, 쑥부쟁이는 종류에 따라 55장과 89장이다. 물론 이들은 모두 피보나치 숫자이다.




피보나치 수열은 해바라기나 데이지 꽃머리의 씨앗 배치에도 존재한다. 해바라기 씨앗이 촘촘히 박혀 있는 꽃머리를 유심히 보면 최소 공간에 최대의 씨앗을 배치하기 위한 ‘최적의 수학적 해법’으로 꽃이 피보나치 수열을 선택한다는 것을 알 수 있다. 씨앗은 꽃머리에서 왼쪽과 오른쪽 두 개의 방향으로 엇갈리게 나선 모양으로 자리 잡는다. 데이지 꽃머리에는 서로 다른 34개와 55개의 나선이 있고, 해바라기 꽃머리에는 55개와 89개의 나선이 있다.



피보나치 수열이 가장 잘 나타나는 것은 식물의 잎차례이다. 잎차례는 줄기에서 잎이 나와 배열하는 방식이다. 잎차례는 t/n로 표시한다. t번 회전하는 동안 잎이 n개 나오는 비율이 참나무·벚꽃· 사과는 2/5이고, 포플러·장미·배·버드나무는 3/8, 갯버들과 아몬드는 5/13이다. 모두 피보나치 숫자다. 전체 식물의 90%가 피보나치 수열의 잎차례를 따르고 있다.



피보나치 수열은 신비롭게도 가장 아름다운 기하학적 비율인 황금비를 만들어낸다. 피보나치 수열에서 앞뒤 숫자의 비율을 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55…식으로 무한대로 가면 1.618…이란 황금비에 수렴한다. 이처럼 잎차례가 피보나치 수열을 따르는 것은 이것이 잎이 바로 위의 잎에 가리지 않고 햇빛을 최대한 받을 수 있는 수학적 해법이기 때문이다.



예전에는 식물의 DNA가 피보나치 수열을 만들어낸다고 생각했다. 그러나 요즘에는 식물의 씨앗이나 잎이 먼저 나온 씨나 잎을 비집고 새로 자라면서 환경에 적응해 최적의 성장 방법을 찾아가는 과정에서 자연스럽게 피보나치 수열이 형성된다고 생각하는 학자들이 많아졌다.



최근 들어 생물뿐 아니라 전하를 입힌 기름방울을 순서대로 떨어뜨려도 해바라기 씨앗처럼 퍼진다는 사실이 밝혀졌다. 이처럼 피보나치 수열과 이 수열이 만들어내는 황금비는 생물은 물론 자연과 우주 어디에나 숨어 있다.

Science Times

수학의 재미 2005 AMC 8 문제 24 거꾸로 계산하기

문제

어떤 계산기에는 [ +1 ] 과 [ x2 ] 버튼밖에 없다.

이 버튼중 하나를 누르면 계산기가 자동적으로 결과를 보여준다.

예를들어, 만약 계산기에 " 9 " 가 표시되어 있었는데 

[ +1 ] 을 누르면 " 10 "을 나타낼 것이다.

그리고 [ x2 ] 를 누르면 " 20 "을  나타낼 것이다.

" 1 " 로 시작해서 " 200 "을 만들기 위해서는 

버튼을 최소 몇번 눌러야 하는가 ?

A) 8  B) 9  C) 10  D) 11  E) 12

A certain calculator has only two keys [+1] and [x2]. When you press one of the keys, the calculator automatically displays the result. For instance, if the calculator originally displayed "9" and you pressed [+1], it would display "10." If you then pressed [x2], it would display "20." Starting with the display "1," what is the fewest number of keystrokes you would need to reach "200"?

Solution

It is easier to work backwards from 200, and have keys that display [-1] and [x0.5]. Use the second key when the number is even, and the first key when the number is odd until you get one. We get:

This takes 

풀이)
숫자가 짝수이면 2 로 나누고 , 숫자가 홀수이면 1 을 빼면서 거꾸로 계산하면 된다.

200/2 ㅡ> 100/2 ㅡ> 50/2  ㅡ>   25 -1 ㅡ>  24/2  ㅡ>  12/2  ㅡ>  6/2
ㅡ> 3 -1  ㅡ> 2/2 ㅡ>1

200 ㅡ>100 ㅡ>50 ㅡ>25 ㅡ>24 ㅡ>12 ㅡ>6 ㅡ>3 ㅡ>2 ㅡ>1

따라서 만약   [ x2 ][ +1 ] [ x2 ] [ x2 ]  [ x2 ] [ +1 ] [ x2 ]  [ x2 ] [ x2 ] 를 누르면,
즉, 9번을 누르면 1에서 200을 만들수 있다.

해설)
" 1 " 로 시작해서 " 200 "을 만들기 위해서는
1 [ x2 ]=2
2 [ +1 ] =3
3 [ x2 ]=6
6 [ x2 ]=12
12 [ x2 ]=24
24 [ +1 ] =25
25 [ x2 ]=50
50 [ x2 ]=100
100 [ x2 ]=200
버턴을 이렇게 9번을 누르면 된다.

결과를 보면 쉬운데 " 1 " 로 시작해서 " 200 "을 만들기가
많은 시행착오를 거쳐야 답이 나올겁니다.
200에서 거꾸로 1을 만들면 쉽게 풀립니다.

010-3549-5206으로 연락 하세요