꼬마 수학 천재가 알아야할 수학 이야기] 피보나치 수열

자연 속에 숨은 수학
냉장고에 사과가 있다면, 하나 꺼내 와. 자, 사과를 잘라 보자. 보통 엄마가 사과를 깎아 주실 때는 위에서 아래로 자르지만, 오늘은 옆으로 자르는 거야. 어때? 작고 예쁜 사과 씨 5개가 둥글게 별 모양으로 박혀 있는 것이 보이니? 냉장고에 배도 있다면, 마찬가지로 잘라 봐. 사과와 같다는 것을 알게 될 거야. 물론 아닌 경우도 있겠지. 그건 돌연변이라서 그래. 동물의 다리는 2개, 4개, 6개 등 짝수로 이루어져 있지만, 식물의 잎은 또다른 규칙에 따른단다. 클로버 잎은 3개이고, 대부분 많은 꽃들의 꽃잎 수를 세어 보면 3, 5, 8, 13, 21, … 등의 수로 이루어져 있어. 한번 여러 종류의 꽃들을 모아 놓고 꽃잎의 수를 세어 보렴. 정말인지 아닌지 알게 될 거야. 이렇게 자연 속에는 자주 등장하는 특별한 숫자 규칙이 있어. 자연 속에 또 어떤 숫자들이 숨어 있는지 계속 알아보자. 혹시 냉장고에 파인애플이 있니? 통조림 파인애플이 아니라 거칠거칠한 껍데기에 싸여 있는 진짜 파인애플 말이야. 파인애플이 없다면 솔방울도 괜찮아. 파인애플이나 솔방울을 자세히 들여다보면, 맨 위에서부터 아래로 내려오는 껍데기가 나선형으로 붙어 있다는 걸 알 수 있어. 나선형이란 용수철이나 스프링처럼 돌돌 감아 올라가는 모양을 말해. 그런데 파인애플이나 솔방울의 껍데기에 왼쪽으로 비스듬히 내려오는 나선과 오른쪽으로 비스듬히 내려오는 나선 두 가지가 함께 들어 있는 것을 알 수 있어.

파인애플의 경우 왼쪽으로 비스듬히 내려오는 나선이 8줄, 오른쪽으로 비스듬히 내려오는 나선이 13줄 있지. 대부분의 파인애플은 이 규칙을 지킨단다. 솔방울은 왼쪽으로 비스듬히 내려오는 나선이 보통 5~8줄 있고, 오른쪽으로 비스듬히 내려오는 나선은 8~13줄 있지. 도저히 파인애플도 솔방울도 구할 수 없다고? 그렇다면 국화꽃을 한 송이 구해 와. 작은 꽃잎이 촘촘하게 모여 있는 국화꽃을 잘 들여다 보렴. 국화꽃의 꽃잎이 나 있는 모양도 나선형인데, 보통 꽃잎의 숫자로 5, 8, 13, 21, 34, 55 등의 수가 많이 나온다는 것을 알 수 있어.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

바로 이 수들이 자연 속에 숨어 있는 수들이야. 일정한 규칙이 전혀 없는 숫자처럼 보이지? 하지만 저 숫자들 속에 깜짝 놀랄 만한 규칙이 숨어 있어. 바로 ‘피보나치 수열’이라고 불리는 규칙이야.

피보나치 수열

내 이름은 피보나치. 약 800년 전 이탈리아에서 살았다. 나는 신기한 숫자 규칙을 하나 발견했다. 그래서 내 이름을 붙여서‘피보나치 수열’이라고 불렀다. 다음 숫자들을 보라.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

일정한 규칙 없이 아무렇게나 모여 있는 숫자들처럼 보인다. 하지만 분명히 이 숫자들은 규칙에 따라 모인 숫자들이다. 알고 보면 아주 간단한 규칙이다. 하지만 내가 발견하기 전에는 아무도 알지 못했다.

이 수열에서는 1이 두 번 나온다. 그 이유가 뭘까? 1과 1을 더하면? 2가 된다. 그러면 1과 2를 더하면? 3이다. 너무 쉽다고? 계속 해 보자. 2와 3을 더하면 5이다. 3과 5를 더하면? 맞았다. 8이다. 5와 8을 더하면 13이다. 8과 13을 더하면 21이 된다. 나, 피보나치가 발견한 수열은‘두 개의 1로 시작해서, 앞에 있는 숫자 2개를 더하면 바로 뒤에 나오는 수가 되는 수들’이다.

내가 세상을 떠나고도 한참이 지난 뒤에야 이 수열이 단순한 숫자 계산이 아니라‘숨어 있는 자연의 규칙’이라는 것이 밝혀졌다. 피보나치 수열은 해바라기 꽃봉오리에 씨앗이 박혀 있는 모양에서도 찾을 수 있고, 피아노 건반에서도 찾을 수 있다. 한 변의 길이가 피보나치 수열인 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13인 정사각형을 그리고 곡선으로 연결해 봐. 나선형이 만들어지는데, 이런 나선형은 달팽이 껍데기나 소라 껍데기, 초식 동물의 뿔, 더 나아가 은하수의 형태에서도 찾아볼 수 있단다. 또 이 숫자들은 고대 이집트나 그리스 시대부터 신성하고 신비하게 여겼던‘황금비’하고도 관련이 있다. 황금비란 한 선분을 나눌 때 전체 길이를 긴 길이로 나눈 값이 긴 길이를 짧은 길이로 나눈 값과 같은 것인데, 이 값은 약 1.618이다.

황금비 1.618과 피보나치 수열, 자연의 규칙 등이 무슨 관련이 있을까? 좀전에 옆으로 잘랐던 사과를 다시 살

펴보자. 별 모양으로 박혀 있는 씨 5개 중에서 하나를 골라 첫 번째 씨라 하고, 첫 번째 씨에서부터 세 번째 씨 사이의 거리를 자로 재 본다. 그리고 첫 번째와 두 번째 씨, 두 번째와 세 번째 씨 사이의 거리도 재 본다. 그런 다음, 첫 번째와 세 번째 씨의 거리를 첫 번째와 두 번째 씨의 거리로 나눠 본다. 약 1.618배일 것이다. 첫 번째와 세 번째 씨의 거리를 두 번째와 세 번째 씨의 거리로 나눠 보아도 역시 약 1.618배라는 것을 알 수 있다. 피보나치 수열에서 나란히 서 있는 두 숫자를 나누어 보면 숫자가 커질수록 점점 황금비에 가까워진다.

3÷2=1.5, 5÷3=1.6, 8÷5=1.6, 13÷8=1.625, 21÷13=약 1.6153….

어때? 대단하지? 나, 피보나치는 위대한 수학자였다. 으하하!

/자료 제공: ‘리틀 수학 천재가 꼭 알아야 할 수학 이야기’(신경애 글ㆍ이민경 그림