2019년 8월 24일 토요일

수학의 재미 2005 AMC 8 문제 24 거꾸로 계산하기

문제

어떤 계산기에는 [ +1 ] 과 [ x2 ] 버튼밖에 없다.
이 버튼중 하나를 누르면 계산기가 자동적으로 결과를 보여준다.
예를들어, 만약 계산기에 " 9 " 가 표시되어 있었는데 
[ +1 ] 을 누르면 " 10 "을 나타낼 것이다.
그리고 [ x2 ] 를 누르면 " 20 "을  나타낼 것이다.
" 1 " 로 시작해서 " 200 "을 만들기 위해서는 
버튼을 최소 몇번 눌러야 하는가 ?

A) 8  B) 9  C) 10  D) 11  E) 12

A certain calculator has only two keys [+1] and [x2]. When you press one of the keys, the calculator automatically displays the result. For instance, if the calculator originally displayed "9" and you pressed [+1], it would display "10." If you then pressed [x2], it would display "20." Starting with the display "1," what is the fewest number of keystrokes you would need to reach "200"?
$\textbf{(A)}\ 8\qquad\textbf{(B)}\ 9\qquad\textbf{(C)}\ 10\qquad\textbf{(D)}\ 11\qquad\textbf{(E)}\ 12$

Solution

It is easier to work backwards from 200, and have keys that display [-1] and [x0.5]. Use the second key when the number is even, and the first key when the number is odd until you get one. We get:
\[200, 100, 50, 25, 24, 12, 6, 3, 2, 1\]
This takes $\boxed{\textbf{(B)}\ 9}$

풀이)
숫자가 짝수이면 2 로 나누고 , 숫자가 홀수이면 1 을 빼면서 거꾸로 계산하면 된다.

200/2 ㅡ> 100/2 ㅡ> 50/2  ㅡ>   25 -1 ㅡ>  24/2  ㅡ>  12/2  ㅡ>  6/2
ㅡ> 3 -1  ㅡ> 2/2 ㅡ>1

200 ㅡ>100 ㅡ>50 ㅡ>25 ㅡ>24 ㅡ>12 ㅡ>6 ㅡ>3 ㅡ>2 ㅡ>1

따라서 만약   [ x2 ][ +1 ] [ x2 ] [ x2 ]  [ x2 ] [ +1 ] [ x2 ]  [ x2 ] [ x2 ] 를 누르면,
즉, 9번을 누르면 1에서 200을 만들수 있다.

해설)
" 1 " 로 시작해서 " 200 "을 만들기 위해서는
1 [ x2 ]=2
2 [ +1 ] =3
3 [ x2 ]=6
6 [ x2 ]=12
12 [ x2 ]=24
24 [ +1 ] =25
25 [ x2 ]=50
50 [ x2 ]=100
100 [ x2 ]=200
버턴을 이렇게 9번을 누르면 된다.

결과를 보면 쉬운데 " 1 " 로 시작해서 " 200 "을 만들기가
많은 시행착오를 거쳐야 답이 나올겁니다.
200에서 거꾸로 1을 만들면 쉽게 풀립니다.

010-3549-5206으로 연락 하세요

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