만델브로트 집합

부분이 전체와 비슷한 모양으로 계속 되풀이되는 끝없는 '프랙탈'의 형태는 우리가 살고 있는 물리적 세계에는 존재하지 않는다. 그러나 컴퓨터의 디지털 세계에는 얼마든지 존재할 수 있다. 프랙탈 이론을 창시한 만델브로트는 컴퓨터를 이용하여 프랙탈 도형을 만드는 방정식을 만들어 냈다. 그 방정식은 다음과 같이 변수가 Z와 C, 두 개뿐인 아주 간단한 방정식이다. ( Z와 C는 복소수(complex number), 즉 실수와 허수의 합으로 이루어지는 수) 만델브로트는 어떤 C값에서는 이 방정식에서 나오는 허수의 값이 계속 증가하지만 또 다른 어떤 C값에서는 그 허수의 값이 아주 작은 두 허수 사이를 왕복한다는 것을 알아내고, 컴퓨터를 이용하여 허수의 값이 무한히 발산하지 않는 각각의 C값을 화면 위에 점으로 표현했다. 그 결과 사각형, 삼각형, 원 같은 순수한 기하학적 도형과는 거리가 먼 형태가 나왔다. 이것을 우리는 '만델브로트 집합'이라고 한다. 즉 만델브로트 집합을 수학적으로 정의하면 ''라는 식으로 정의된 수열이 발산하지 않는 성질을 갖도록 하는 복소수 C의 집합을 말한다. 만델브로트는 그림을 계속 확대해 보았지만 세부적인 형태가 끝없이 계속되는 처음의 모양과 똑같은 구조가 계속 나왔다. 이것은 영원히 확대해도 같은 모양과 구조가 계속 나올 것이다. 또 만델브로트의 집합은 색을 입히는 방법에 따라서 예술적인 그림이 나올 수 있다. 오늘날 이 만델브로트의 집합은 화려한 프랙탈 예술로 발전해서 과학과 예술의 결정체로 인정받고 있다.

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줄리아 집합

줄리아 집합은 만델브로트 집합이 나타나기 훨씬 전인 1918년 프랑스의 수학자인 줄리아에 의해 발표되었다. 만일 줄리아 집합이 발표될 당시 이것을 표현할 만한 컴퓨터가 있었다면 줄리아 집합은 만델브로트 집합보다 먼저 인정을 받았을 것이다. 줄리아 집합을 수학적으로 정의하면 ''라는 식으로 정의된 수열이 발산하지 않는 성질을 갖도록 하는 복소수 Z의 집합을 말한다. 즉 만델브로트의 집합에서 즉, Z와 C의 역할이 뒤바뀐 셈이다.

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발산(發散, divergence]

무한수열 {}(n=1, 2, …)이 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. 무한수열이 발산하는 경우는 극한값이 양의 무한대로 되는 경우, 음의 무한대로 되는 경우, 진동하는 경우가 있다. 한편, 수렴(收斂, convergence)은 수열 {}(n=1, 2, …)에서 n이 한없이 커짐에 따라서 이 일정한 값 α에 한없이 가까워지는 것을 말한다. 눈높이백과

멩거 스펀지(Menger sponge)

멩거 스펀지(Menger sponge)는 오스트리아의 수학자 멩거가 고안한 프랙탈(fractal) 도형이다. 멩거는 일반적인 공간에서의 차원론을 확립한 사람이기도 하다. 시어핀스키가 고안한 '시어핀스키 삼각형'이 2차원 공간인 삼각형에서부터 출발하는 데 비하여 멩거 스펀지는 3차원 공간인 정육면체로부터 시작한다. 멩거 스펀지를 만드는 방법은 시어핀스키 삼각형을 만드는 방법과 유사하다. 멩거 스펀지 만드는 방법 1. 먼저 정육면체을 27개의 작은 정육면체로 나눈다. 2. 1의 정육면체 중에서 중앙의 정육면체 한 개와 각 면의 중앙에 있는 정육면체 6개를 빼낸다. 3. 2에서 남은 정육면체(20개)를 가지고 1, 2의 과정을 반복한다. 4. 3의 과정을 계속 반복한다. <멩거 스펀지> 위와 같은 방법을 무한히 되풀이하면 도형의 각 구멍을 감싸는 겉넓이의 총합은 무한히 늘어나고, 전체 부피는 0에 가까워지는 신기한 도형을 얻게 되는데 이것을 멩거 스펀지라고 한다. 멩거 스펀지는 매끄러운 곡선보다는 종이를 불규칙하게 구긴듯한 입체에 더 가깝다. 따라서 멩거 스펀지의 차원은 2차원보다 크고, 3차원보다는 작다. 실제로 멩거 스펀지의 차원을 프랙탈 차원으로 계산하면 2.7이 된다고 한다.

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멩거 스펀지는 빛을 가두는 프랙탈 도형

2004년 일본에서는 세계 최초로 '블랙홀'처럼 빛을 가두는 기술이 개발됐다. 이 기술은 일정한 주파수의 전자기파를 '멩거 스펀지' 모양의 작은 입방체 안에 1000만분의 1초 동안 잡아 두는 것이라고 한다. 이것은 우주에서 블랙홀이 빛을 잡아 두는 것과 규모만 차이가 날뿐 효과는 비슷하다고 한다. 비록 이 기술은 아직 초보 단계에 불과하여, 빛을 잡아 두는 시간은 매우 짧지만 원치 않는 휴대전화 발신을 차단하는 데 이용될 수 있으며 군사용 장비나 광베이스 컴퓨터 등에 응용될 수 있을 것으로 기대하고 있다.

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블랙홀(black hole)

물질이 극단적인 수축을 일으키면 그 안의 중력은 무한대가 되어 그 속에서는 빛이나 에너지, 물질의 입자 등 그 어느 것도 탈출하지 못하는데, 이것을 블랙홀 또는 검은 구멍이라고 한다. 눈높이백과

프랙탈 기하학의 발달

프랙탈(fractal)이란 '자기 유사성(self-similar)' 과 '순환성(recursiveness)'을 갖는 도형을 말한다. 여기에서 자기 유사성이란 도형의 일부분을 확대한 것이 전체와 같은 모양이 되는 성질을 말하는 것이다. 즉, 프랙탈은 부분이 전체와 비슷한 모양으로 끝없이 되풀이되는 형태를 말하는 것이다. 프랙탈은 만델브로트에 의해 창시되었다. 만델브로트는 당시 영국 서부의 해안선의 길이는 얼마나 되는지에 대해서 고민하다가 처음에는 해안선의 길이가 완만한 곡선으로 보이지만 좀더 확대하면 완만하게 보이던 곡선이 울퉁불퉁하게 보이고, 또 계속해서 확대해보면 점점 더 울퉁불퉁하게 보인다는 사실을 발견했다. 그는 이와 같이 같은 모양이 계속 반복되는 구조를 프랙탈이라고 부르기 시작했는데 프랙탈이란 어원은 '쪼개다'라는 뜻을 가진 그리스어 'fractus' 또는 분수를 나타내는 'fraction'에서 따온 것으로 알려지고 있다. 이것은 프랙탈의 차원(次元, dimension)이 정수가 아니 분수 차원을 가진다는 의미를 지니고 있다. 만델브로트는 자의 눈금 크기에 따라 전체 해안선의 길이가 달라졌기 때문에 결과적으로 아주 작은 자를 이용하면 해안선의 길이는 무한대로 늘어나게 된다는 사실도 발견하게 되었다. 프랙탈은 1970년대 말부터 주목을 받기 시작하여 경제학, 물리학, 건축학, 컴퓨터 공학, 음악, 미술 등에 영향을 끼치게 되었다. 자연 속에서도 프랙탈의 예를 얼마든지 찾아볼 수 있는데 나뭇가지의 모양, 동물의 혈관 분포 형태, 창문에 성에가 자라는 모습 등이다. 또 오늘날은 컴퓨터 그래픽을 이용하여 아무리 복잡한 자연현상도 간단한 기본 모양에서 전체를 생성하는 규칙을 이용하여 순식간에 재현해 낼 수 있기 때문에 프랙탈은 많은 사람들의 관심의 대상이 되고 있다.

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프랙탈의 차원

유클리드 기하학에서는 정수로 표시되는 차원을 가진다. 즉, 점은 0차원, 직선이나 곡선은 1차원, 정사각형이나 삼각형과 같은 평면은 2차원, 구면이나 정육면체와 간은 공간은 현재 3차원이며 이것은 현재 우리가 살고 있는 공간의 차원과 같다. 그러나 프랙탈은 얼마나 많이 구부러져 있느냐에 따라 1차원과 2차원 사이의 어느 차원이나 될 수 있고, 얼마나 많은 공간을 채우고 있느냐에 따라 2차원과 3차원 사이의 어느 차원이나 될 수 있다. 즉, 곡선이 완만할수록 직선과 유사해지므로 1차원에 가까운 차원이 되고, 거칠게 울퉁불퉁하여 거의 평면에 가까워질수록 2차원에 가까운 차원이 되는 것이다. 이것은 2차원과 3차원 사이에도 마찬가지이다. 이와 같이 프랙탈의 차원은 유클리드의 차원과 비교하자면 유클리드의 차원보다 크지 않으며, 유클리드의 정수 차원 사이의 공간을 채우고 있는 소수 차원인 셈이다.

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차원(次元, dimension)

공간 내의 각 점을 지정하는 데 필요한 독립 좌표의 수를 말한다. 즉, 직선 위의 점은 적당한 좌표계를 정하면 하나의 실수 x로 표시되고, 평면 위의 점은 2개의 실수의 짝(x, y)으로, 공간의 점은 3개의 실수의 짝(x, y, z)으로 각각 표시된다. 이 때 직선을 1차원, 평면을 2차원, 공간을 3차원이라 한다. 상대성 이론에서는 시공간을 4차원으로 보고 있으며 일반적으로 n차원 또는 무한차원의 공간도 생각할 수 있다. 눈높이백과

코흐 곡선과 코흐 눈송이

'코흐 곡선'은 1904년에 스웨덴의 수학자인 코흐(Koch, 1870~1924)가 1904년에 고안한 가장 대표적인 프랙탈(fractal) 곡선 중의 하나이다. 코흐 곡선을 그리는 방법은 다음과 같다. 코흐 곡선을 그리는 방법 1. 먼저 한 개의 선분를 그려 3등분하고, 가운데의 부분을 삭제한 다음 삭제한 부분에 길이가 인 두 변을 정삼각형의 두 변처럼 바깥쪽으로 연결하여 그린다. (처음 선분의 한 변의 길이가 1이라고 한다.) 2. 1의 과정을 계속 반복한다. <코흐 곡선> 코흐 눈송이를 그리는 방법 '코흐 눈송이'도 정삼각형에서부터 출발하여 이와 같은 방법으로 그릴 수 있다. 코흐 눈송이는 눈송이 곡선이라고도 하는데 그리는 방법은 다음과 같다. 1. 먼저 정삼각형을 그린다. (이 정삼각형의 한 변의 길이가 1이라고 한다.) 2. 정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데의 부분을 삭제하고, 삭제한 부분에 길이가 인 두 변을 정삼각형의 두 변처럼 바깥쪽으로 연결하여 그린다. 3. 2의 과정을 계속 반복한다. <코흐 눈송이>

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코흐 곡선의 길이와 차원

코흐 곡선에서 처음 선분의 길이가 1이라고 하면 이 때 만들어진 모양인 의 길이는 길이가 인 선분이 4개 있으므로 가 된다. 또 이 과정을 한 번 반복해서 만든 모양인 의 길이는 길이가 인 선분이 16개 있으므로 이 된다. 결국 이 과정을 반복할 때마다 변의 길이는 배로 늘어나게 된다. 결국 코흐 곡선은 1차원인 둘레의 길이는 무한히 늘어나면서 2차원인 일정한 공간(처음 삼각형에 외접하는 원)은 벗어나지 않는다. 따라서 코흐 곡선의 차원은 1차원보다는 크고, 2차원보다는 작다. 실제로 코흐 곡선의 차원을 프랙탈 차원으로 계산하면 1.2618이 된다고 한다.

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프랙탈(fractal)

코흐 곡선과 같이 부분이 전체와 비슷한 모양으로 끝없이 되풀이되는 형태, 즉 '자기 유사성'과 '순환성'을 갖는 도형을 말하는 것으로 만델브로트에 의해 창시되었다. 눈높이백과

시어핀스키 삼각형 시어핀스키 카펫(Sierpinski carpet)

'시어핀스키 삼각형'은 1917년경 폴란드의 수학자인 와크로 시어핀스키가 고안한 것으로 코흐 곡선과 함께 가장 대표적인 프랙탈 곡선 중의 하나이다. 이 삼각형은 '시어핀스키 개스킷'이라고도 하는데, 그리는 방법은 다음과 같다. 시어핀스키 삼각형을 그리는 방법 1. 먼저 삼각형을 그린다. (이 정삼각형의 한 변의 길이가 1이라고 한다.) 2. 처음의 삼각형에서 각 변의 중점을 연결한 삼각형을 그린다. (작은 삼각형이 4개 만들어진다.) 3. 2의 4개의 삼각형 중에서 가운데 삼각형을 떼어 내고, 다른 세 개의 삼각형에서 각 변의 중점을 연결한 삼각형을 그린다. 4. 3의 과정을 계속 반복한다. <시어핀스키 삼각형> 위의 그림을 잘 살펴보면 각 단계별로 삼각형의 수는1개 → 3개 → 9개 → 27개 → 81개, …로 늘어나고, 삼각형의 한 변의 길이는 처음 삼각형의 변의 길이와 비교했을 때, 1 → → → →, …로 줄어든다. 또 위의 과정을 반복하면 할수록 처음 삼각형에서 남는 부분의 넓이(색칠된 부분)는 점점 0에 가까워진다는 사실을 할 수 있다. 이런 과정을 무한히 되풀이하여 만들어진 결과를 시어핀스키 삼각형이라고 한다. 시어핀스키 삼각형은 언뜻 보면 2차원 같지만 시어핀스키 삼각형을 만드는 과정을 무한히 되풀이하면 평면상에 점들의 집합으로 나타난다. 즉 시어핀스키 삼각형은 2차원이 아니다. 실제로 시어핀스키 삼각형에서 선분의 길이의 합은 무한히 늘어나지만, 삼각형의 넓이는 무한히 계속하면 0에 가까워진다. 따라서 시어핀스키 삼각형의 차원은 1차원보다는 크고, 2차원보다는 작다. 실제로 시어핀스키 삼각형의 차원을 프랙탈 차원으로 계산하면 1.58이 된다고 한다.

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시어핀스키 카펫(Sierpinski carpet)

시어핀스키 삼각형을 만드는 방법과 똑 같은 방법을 사각형에도 적용할 수 있는데, 이것을 '시어핀스키 카펫'이라고 한다. 시어핀스키 카펫은 사각형의 한 변을 삼등분하여 9개의 정사각형을 만들고, 그 중 가운데에 있는 사각형을 떼어 낸 후, 나머지 정사각형을 다시 삼등분하여 똑같은 과정을 계속 되풀이하여 만든다. 이 시어핀스키 카펫 역시 선분의 길이의 합은 무한히 늘어나지만, 사각형의 넓이는 무한히 계속하면 0에 가까워진다. 따라서 시어핀스키 카펫의 차원도 1차원보다는 크고, 2차원보다는 작은데, 실제로 시어핀스키 카펫의 차원을 프랙탈 차원으로 계산하면 1.8928라고 한다. <시어핀스키 카펫>

눈높이백과

프랙털(Fractal) 이론

정의

프랙털은 수학, 기하학 연구 분야 중 하나로서, 자기유사성을 갖는 기하학적 구조를 뜻한다. 자기 닮음 도형이라고도 표현한다. 쉽게 말하면 어떤 도형의 작은 일부를 확대해 봤을 때 그 도형의 전체 모습이 똑같이 반복되는 도형에 관한 연구이다.

2. 역사 및 의의

프랙털(Fractal)이라는 용어는 1975년 브누아 만델브로트(Benoit Mandelbrot)의 The Fractal Geometry of Nature에서 처음으로 이 단어를 사용하면서 명명되었다. 다만 프랙털의 개념 자체는 이전부터 인지되고 있었다. 그 어원은 라틴어 frangere에서 유래 되었으며 그 뜻은 "부수기 위한"이다.[1]

프랙털 이론은 1975년 만델브로 집합(최초로 발견된 프랙털 도형)을 연구하면서 시작되었으며, 그 이후로 많은 사례들이 발견되었다. 그 후 자연계가 통계적인 프랙털[2] 모양을 하고 있다는 사실이 밝혀지면서 카오스 이론과 접목시켜서 자연을 모델링 하는데에 굉장히 유용하게 사용된다.

고사리의 잎 윤곽이나 나무가 가지를 뻗는 양상, 리아스식 해안선의 모양 등 많은 것들이 자기유사성을 가지고 있다. 심지어 주식의 변동곡선도 하루 동안의 변화, 한 주 사이의 변화, 한 달, 1년 사이의 변화가 비슷한 형태로 나타나는 자기유사성을 띠고 있으며 프랙털 공간은 정수 차원이 아닌 소수 차원을 갖는다.

이러한 프랙털의 자기복제적인 특징들은 아주 간단한 법칙도 되먹임하면 복잡한 양상을 이끌어낼 수 있음을 보여주고 있다. 이것은 전술한 대로 혼돈 이론을 묘사하는 도구 중 하나일 뿐 아니라, 진화론상의 빈틈을 메꿔줄 도구로 사용될 수도 있다. 즉, 생물이 나타내는 복잡한 구조가 반드시 기적적인 우연을 필요로 하는 것은 아닐 수 있다는 주장이다.


<프랙털 항구>

컴퓨터상으로 몇 가지 간단한 재귀함수를 통해 구현할 수 있다. 예를 들면 이런 것.


<프랙털 이론을 응용하여 산의 모습을 만드는 과정>

어디서 많이 보던 형상이 아닌가? 바로 3D 모델링 방법 중 그 유명한 테셀레이션이다. 기술발전이 미미하던 과거에는 프리렌더링용 기법이었지만 다이렉트X11 이후 리얼타임으로도 구현이 되어 간단한 도형가지고도 복잡한 모델을 구현할 수 있게 되었다.

프랙털 도형의 면적을 구하는 문제가 매년 대학수학능력시험에 출제되고 있으며, 이 경우 무한등비급수의 성질을 이용해 계산하는 문제로 나온다.

3. 차원

프랙털 이론에서는 차원이라는 단어를 약간 다른 의미로 쓴다.

프랙털 이론에서 말하는 차원은 자기복제를 하는데 필요한 도형의 숫자로 정의된다.

수식(...)을 동원하면, 어느 도형의 길이를 x배 크게 만들었을 때 그 도형의 면적(혹은 부피)이 n배 증가한다고 가정하면, $log_x n$ 이 그 도형의 차원인 것이다.[3] 예를 들면, 정사각형을 모아서 길이가 두 배인 정사각형을 만들면 정사각형의 면적이 4배로 증가한다. 고로 정사각형의 차원을 수식으로 구하려면 4 = 2의 d제곱 -> 따라서 2차원이라고 할 수 있다.

몇 가지 예를 더 들면,

정사각형의 길이를 3배로 만들면 면적은 9배가 되기 때문에 9 = 3의 d제곱 -> 역시 2차원 정육면체의 한 변의 길이를 2배 크게 만들면 부피는 8배가 되기 때문에 8 = 2의 d제곱 -> d=3이므로 3차원 직선을 5배 크게(=길게) 만들면 길이는 5배가 되기 때문에 5 = 5의 d제곱 -> 1차원

...이와 같이 정의된다.


이 정의로는 정수가 아닌 소숫점 차원이 존재할 수 있으며, 위 그림이 그 예이다. 이 도형은 정삼각형을 정삼각형 4개로 나누고, 중간 부분을 제거한 후 또 새로 생긴 작은 정삼각형을 나누고 중간 부분을 제거하는 것을 무한히 반복한 도형으로 '시에르핀스키의 삼각형(시어핀스키 삼각형)' 이라 한다.


이 도형의 길이를 2배로 만들면 위와 같이 3개의 기존 도형으로 이루어진다.(빨간색, 노란색, 파란색의 3개.)

따라서 이 도형의 차원은 log3 / log2 = 대략 1.585차원(...) 이 된다.

또한 이 시에르핀스키의 삼각형은 어느 부분을 무한히 확대하더라도 처음 모습과 같은 도형이 등장하며, 외곽선의 길이는 무한하지만 면적은 0이기 때문에[4] 기존의 기하학 이론으로는 설명하기 힘든 특성이 있다. 이러한 것을 설명하기 위해 등장한 것이 바로 이 프랙털 이론이다.

4. 프랙털 도형의 종류

• 프랙털
• 코흐 곡선 / 눈송이
• 시에르핀스키 삼각형 / 양탄자 / 피라미드
• 드래곤 커브
• 멩거 스펀지
• BLIT
• 시리악 해리스의 몇몇 영상
• 리아스식 해안선
• 뉴턴 프랙탈
• 칸토어 집합
• 줄리아 집합[5]
• 만델브로 집합[6]
• 
  

• 관련 영상

  5.1. 2D 프랙탈

  프랙털 도형은 특정한 과정을 무한히 반복해서 만들어지는 도형이고, 넓이는 유한하지만 표면적-2차원에서는 둘레-이 무한하기 때문에 특정 부분을 확대하면 특정 패턴이 무한히 반복된다.
  
  아래는 인터넷에 한때 유행했던 프랙털 도형 확대 영상.
  
  
  
  
  만델브로 집합.
  
  
  줄리아 집합. 보는 사람에 따라서 어지러울 수도 있다.
  

  5.2. 3D 프랙탈

  이하는 3D 애니메이션으로 구현한 프랙털 도형들. 잘 만들어진 영상은 그 특유의 장엄함으로 인해 인기를 끌기도 한다.
  
  
  동영상 제목은 '꿈만같은'. 이미 꿈의 스케일을 벗어난 듯한 동영상이지만.
  
  
  시에르핀스키 삼각형. ...삼각형?
  
  
  위의 2D 프랙털 영상과 합쳐놓은 듯한 컨셉의 영상. 처음에는 장엄하게 가다가 확대를 시작한다.
  
  
  시에르핀스키. 이번에는 축소하는 동영상이다. 동영상을 보면 재미있는 착시현상을 볼 수 있는데 동영상을 몰입해서 보다가 동영상 화면 옆에 있는 글자를 쳐다보자. 글자가 움직인다.
  

  5.3. 4D 프랙탈

  
  만델브로 집합을 4D에 구현한 영상.
  
  [1] Sue E. Goodman. Beginning Topology. Belmont: Thomson Brooks/Cole, 2005. 7pg[2] 완벽한 프랙털은 아니지만 대충 프랙털처럼 생긴 것 .[3] 이 정의는 독일의 수학자인 펠릭스 하우스도르프가 처음 생각해 낸 것이다. 그래서 이 차원 정의를 '하우스도르프의 차원'이라고 하기도 한다.[4] 면적이 0보다 크면 차원이 2보다 작을 수 없다.[5] 만델브로 집합의 일부분이기도 하다. http://www.youtube.com/watch?v=px4mqU9ZTSA[6] 가끔 사상 최악의 방사능 오염치를 보였다는 미스테리 서클 사진으로 올라오고는 하는데 믿지 말자. 말했다시피 이건 프랙털 이미지일 뿐이다.[7] 전주 부분에서 프랙탈이 나온다 

나무위키

시에르핀스키 삼각형(Sierpiński triangle)

시에르핀스키 삼각형(Sierpiński triangle)은 바츠와프 시에르핀스키의 이름이 붙은 프랙탈 도형이다. 시에르핀스키 가스켓(Sierpiński gasket)으로도 불린다.
시에르핀스키 삼각형은 다음과 같은 방법을 통해 얻을 수 있다.

1. 정삼각형 하나에서 시작한다.
2. 정삼각형의 세 변의 중점을 이으면 원래의 정삼각형 안에 작은 정삼각형이 만들어진다. 이 작은 정삼각형을 제거한다.
3. 남은 정삼각형들에 대해서도 2.를 실행한다.
4. 3.을 무한히 반복한다.

이것을 반복하면 다음과 같은 도형이 얻어진다.(무한반복)

시에르핀스키 삼각형 3개를 이용하여 원래의 2배의 크기인 시에르핀스키 삼각형을 만들 수 있으므로, 이 도형의 하우스도르프 차원은 ${\displaystyle {\log 3 \over \log 2}\approx 1.585}$ 이다.

성질

다음의 두 성질은 일반적인 시에르핀스키 도형의 성질이다.

• 시에르핀스키 삼각형의 변의 길이의 합은 무한대이다. 처음 정삼각형의 둘레의 길이를 ${\displaystyle l}$이라 할 때, step 2의 변의 길이는 1.5배가 된다. 이를 무한대 반복하면 길이는 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}=\infty }$ (무한대)가 된다.

• 시에르핀스키 삼각형의 넓이는 0이다. 처음 정삼각형의 넓이를 ${\displaystyle S}$라 할 때, 두 번째 과정에서는 ${\displaystyle {\frac {3}{4}}S}$가 된다. 따라서 이를 무한대 반복하면 넓이는 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}=0}$ 0이 된다.
• Wikipedia