코흐 곡선과 코흐 눈송이

'코흐 곡선'은 1904년에 스웨덴의 수학자인 코흐(Koch, 1870~1924)가 1904년에 고안한 가장 대표적인 프랙탈(fractal) 곡선 중의 하나이다. 코흐 곡선을 그리는 방법은 다음과 같다. 코흐 곡선을 그리는 방법 1. 먼저 한 개의 선분를 그려 3등분하고, 가운데의 부분을 삭제한 다음 삭제한 부분에 길이가 인 두 변을 정삼각형의 두 변처럼 바깥쪽으로 연결하여 그린다. (처음 선분의 한 변의 길이가 1이라고 한다.) 2. 1의 과정을 계속 반복한다. <코흐 곡선> 코흐 눈송이를 그리는 방법 '코흐 눈송이'도 정삼각형에서부터 출발하여 이와 같은 방법으로 그릴 수 있다. 코흐 눈송이는 눈송이 곡선이라고도 하는데 그리는 방법은 다음과 같다. 1. 먼저 정삼각형을 그린다. (이 정삼각형의 한 변의 길이가 1이라고 한다.) 2. 정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데의 부분을 삭제하고, 삭제한 부분에 길이가 인 두 변을 정삼각형의 두 변처럼 바깥쪽으로 연결하여 그린다. 3. 2의 과정을 계속 반복한다. <코흐 눈송이>

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코흐 곡선의 길이와 차원

코흐 곡선에서 처음 선분의 길이가 1이라고 하면 이 때 만들어진 모양인 의 길이는 길이가 인 선분이 4개 있으므로 가 된다. 또 이 과정을 한 번 반복해서 만든 모양인 의 길이는 길이가 인 선분이 16개 있으므로 이 된다. 결국 이 과정을 반복할 때마다 변의 길이는 배로 늘어나게 된다. 결국 코흐 곡선은 1차원인 둘레의 길이는 무한히 늘어나면서 2차원인 일정한 공간(처음 삼각형에 외접하는 원)은 벗어나지 않는다. 따라서 코흐 곡선의 차원은 1차원보다는 크고, 2차원보다는 작다. 실제로 코흐 곡선의 차원을 프랙탈 차원으로 계산하면 1.2618이 된다고 한다.

주요용어정리

프랙탈(fractal)

코흐 곡선과 같이 부분이 전체와 비슷한 모양으로 끝없이 되풀이되는 형태, 즉 '자기 유사성'과 '순환성'을 갖는 도형을 말하는 것으로 만델브로트에 의해 창시되었다. 눈높이백과