매듭이론

날씨를 예상하기 어려웠던 옛날에는 동물들의 습성을 관찰하여 날씨를 가늠하는 경우가 많았다. 그 가운데 하나는 ‘아침에 거미줄에 이슬이 맺히면 그날은 맑다’는 것이다. 거미는 습도가 약간 높을 때 거미줄을 치는 경향이 있다고 하는데, 습도가 다소 높고 날씨가 좋은 날은 야간 복사로 인한 이슬이 맺히기 쉽기 때문에 이와 같은 속설이 탄생한 것이다. 실제로 거미줄에 이슬이 맺히는 것과 날씨와의 관계를 조사한 어떤 결과에 의하면 맑은 날 56%, 구름 낀 날 28%, 비오는 날 16%라고 하니 역시 맑을 확률이 높다.

거미줄에 이슬이 맺히는 이유는 매듭 때문

전통 매듭 공예품.

그렇다면 머리카락의 100분의 1에 불과한 거미줄에 어떻게 이슬이 미끄러지지 않고 방울져 매달릴 수 있을까? 2010년 2월 <네이처>(Nature, vol.463)지는 표지에 ‘거미줄에 걸리다’라는 제목과 함께 그 비밀을 공개했다. 중국의 과학자들이 이 비밀을 밝혔는데, 그들은 ‘유럽응달거미(Uloborus walckenaerius)’의 거미줄을 분석한 결과 거미줄이 물에 젖으면 일정 간격으로 가닥의 일부가 꼬이며 200μm(마이크로미터·1μm는 100만분의 1m) 크기의 마름모꼴 매듭이 지어지고, 이 매듭 때문에 물방울이 맺힌다는 것을 밝혔다.

매듭은 젖은 거미줄과 같이 자연에서 찾을 수도 있지만 실생활에서도 흔히 사용되고 있다. 특히 우리나라는 매우 다양한 매듭 방법이 전해 내려오고 있다. 우리나라의 전통매듭의 특징은 완성된 매듭 모양이 앞면과 뒷면이 똑같고, 좌우는 대칭이 되며, 아무리 복잡한 매듭이라도 중심에서 시작하여 중심에서 끝난다는 것이다. 오랜 역사를 가지고 있는 전통매듭은 조선시대에 가장 융성하였으며, 지금까지 전승되어 온 매듭의 종류만도 기본적인 것이 약 30여 종이고, 각 지방의 특유의 매듭까지를 합치면 헤아릴 수 없을 정도로 많다고 한다.

수학의 매듭

수학에서도 매듭을 다루는데 거미줄에 생기는 매듭과 실생활에서 사용하는 매듭은 일반적으로 긴 줄을 꼬아 묶은 것을 말하지만, 수학에서는 이 줄의 양쪽 끝을 붙인 것을 매듭이라고 한다. 수학에서 매듭을 학문적으로 시작하게 된 계기는 ‘분자의 화학적 성질이 이를 구성하는 원자들이 어떻게 꼬여서 매듭을 이루고 있는가에 달려 있다’는 켈빈(Kelvin)의 볼텍스(vortex)이론으로부터 기인하였다.

수학에서의 매듭이론은 간단히 말하면 매듭의 교차점의 수에 따라 매듭을 분류하는 것이다. 그런데 교차점의 수가 9개인 매듭은 수십 개 정도이지만 교차점의 수가 10개인 매듭은 수백 개가 되기 때문에 단순한 방법으로 이들을 분류하는 것은 불가능하다. 매듭을 분류하기 위해서 가장 먼저 해야 할 일은 두 매듭이 어떤 경우에 같은 매듭인지 정의를 하는 것이다. 즉, 어떤 매듭이 3차원 실공간 3 안에서 자기 자신을 통과하거나 중간을 자르지 않고 조금씩 움직여서 다른 매듭으로 바뀔 수 있을 때, 처음 매듭과 나중에 만들어진 매듭은 같은 것으로 생각한다.

가장 간단한 원형매듭

매듭이론에서 가장 간단한 매듭은 꼬인 곳이 없는 매듭으로 아래의 왼쪽 그림과 같은 원형매듭(또는 풀린 매듭)이다. 아래 그림에서 원형매듭 이외의 나머지 매듭은 모두 끈을 조금씩 움직이면 원형매듭과 같은 매듭이 되므로 사실 이들은 모두 원형매듭이다.

3차원 공간에서 꼬아 놓은 상태를 조금씩 움직이면 왼쪽의 원형매듭이 된다.

왼세잎매듭과 오른세잎매듭은 서로 다르다

세잎매듭, 한번 묶은 형태이다. 위 그림의 줄 양 끝이 서로 연결되어 있다고 상상하면 된다.

매듭에서 두 번째로 쉽게 생각할 수 있는 것은 일반적으로 한 번 묶었을 때 나타나는 모양의 매듭의 양 끝을 연결한 매듭이다.

그런데 이 매듭은 다음 그림과 같은 왼세잎매듭과 오른세잎매듭 두 종류가 있다. 얼핏 보기에는 단순해 보이는 두 매듭이 같은 매듭인 것처럼 보이지만 두 매듭은 서로 다르다는 것이 이미 증명되어 있다.

왼세잎매듭과 오른세잎매듭이 서로 다르다는 것을 알기 위해서는 매듭의 모양에 따라 변하지 않는 어떤 수학적인 수가 필요하다. 이것을 매듭의 불변량이라고 하는데, 불변량을 구하는 방법은 매듭의 교차점의 수, 매듭의 대수적인 구조와 더불어 점화식으로 계산이 가능한 것까지 매우 다양하다.

왼세잎매듭(좌) 오른세잎매듭(우)는 서로 다르다.

매듭을 구별하는 방법 - 라이데마이스터 변형

우리는 앞에서 그린 것과 같이 매듭을 평면에 그릴 때 교차점을 위와 아래로 표시한 폐곡선으로 그린다. 이와 같이 평면 위에 그려진 매듭이 언제 같아질지를 알아내는 풀이가 독일의 수학자인 라이데마이스터(KurtReidemeister, October 13, 1893 – July 8, 1971)에 의하여 알려졌다. 그는 같은 두 매듭은 다음 그림과 같이 세 종류의 변형에 의하여 하나로부터 반드시 다른 하나가 얻어진다는 것을 알았다. 그러나 매우 간단해 보이는 이 변형을 사용하여 매듭을 구별하는 것은 어렵다. 하지만 매듭으로부터 정의된 양이 불변량임을 증명하는데 유용하게 사용된다.

라이데마이스터 변형. 같은 매듭은 위의 과정을 통해서 같다는 것을 확인할 수 있다.
<출처: (cc) YAMASHITA Makoto>

매듭의 분류

여러 가지 방법으로 분류된 매듭은 교차점의 개수에 따라 다음 그림과 같이 분류하는데, 예를 들어 그림에서6₃은 교차점이 6개인 매듭의 3번째 모양이라는 뜻이다. 분류된 매듭의 이름은3₁은 세잎매듭,4₁은 8자 매듭,5₁은 오엽매듭 등과 같이 보통 그들의 모양에 따라서 붙여진다.

매듭의 분류.

만들어본 매듭. 줄의 양끝이 붙어 있다고 상상하면 된다.

매듭은 DNA의 구조 등을 연구하는 데 사용된다

오늘날 매듭은 DNA의 구조나 바이러스의 행동방식을 연구하는 데 중요하게 사용되고 있을 뿐만 아니라 마술과 어린 아이의 지적 발달을 돕는 도구로도 사용되고 있다. 특히 매듭이론은 선진국을 중심으로 지난 30년간 대단한 발전을 이루었으며 매듭을 연구하는 많은 수학자들이 필즈상을 받기도 했다.

매듭의 역사는 매우 오래되었는데, 역사적으로 가장 오래된 매듭은 아마도 알렉산더 대왕이 자른 것으로 알려진 고르디우스의 매듭(Gordian knot)일 것이다. 고르디우스의 매듭은 ‘대담한 방법을 써야만 풀 수 있는 문제’라는 뜻으로 쓰이고 있는데, 여러분도 수학에서 고르디우스의 매듭을 사용하여 필즈상에 도전해 보는 것은 어떨까?

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