머피의 법칙(Murphy )

잼 바른 빵은 왜 항상 잼 바른 쪽이 바닥으로 떨어질까? <출처: Topic/corbis>

‘머피의 법칙’은 1949년 미국의 에드워드 공군 기지에서 일하던 머피 대위가 처음 사용한 말이다. 어떤 실험에서 번번이 실패한 머피는 그 원인을 무척 사소한 곳에서 찾게 되었다. 그때 머피는 ‘어떤 일을 하는 방법에는 여러 가지가 있고, 그 중 하나가 문제를 일으킬 수 있다면 누군가는 꼭 그 방법을 사용한다’는 말을 했다. 안 좋은 일을 미리 대비해야 한다는 뜻으로 한 말이었지만, 사람들은 일이 잘 풀리지 않고 오히려 꼬이기만 할 때 ‘머피의 법칙’이란 말을 쓰게 됐다. 반대로 일이 자꾸 잘 풀리는 것은 ‘샐리의 법칙’이라고 한다. 머피의 법칙의 대표 사례들을 통해 머피의 법칙의 비밀을 캐보자.

왜 잼 바른 쪽이 바닥으로 떨어질까?

식탁 위에 놓은 잼 바른 토스트가 바닥에 떨어지면, 운이 없어서 그런걸까? 이와 같은 상황을 수학적으로 분석해 보자. 먼저 식탁 위에 놓인 토스트가 바닥에 떨어지면, 두 가지 경우가 생긴다. 잼을 바른 쪽이 바닥으로 떨어지는 경우와, 잼을 바른 쪽이 위를 향하는 경우다. 일어날 가능성이 같다면 확률은 똑같이 50%일 것이다. 그런데 토스트의 한쪽 면에는 잼을 발랐기 때문에 두 가지 경우의 확률이 똑같지 않다. 또 토스트가 잼 바른 쪽으로 떨어지는 요인으로는 다음과 같이 4가지를 생각할 수 있다.

❶ 잼 바른 토스트를 잡아당기는 중력
❷ 식탁의 평균 높이:사람의 키는 평균 1.5~2m사이다. 식탁은 사람의 앉은키에 맞춰 약1m 안팎으로 만들어진다.
❸ 빵의 크기
❹ 초기 위치에서 떨어지는 각도:빵이 바닥과 수평으로 고스란히 떨어지는 일은 거의 불가능하다. 어느 한쪽으로 기울어진 채로 떨어지며, 거의 반드시 회전하게 된다.

신문 칼럼니스트이자, 영국의 버밍엄에 있는 애스톤대 정보공학과에서 방문 교수로 일하고 있는 로버트 매튜. 머피의 법칙의 다양한 상황을 수학적으로 증명했다.

여기서 중력과 식탁의 평균 높이는 떨어지는 시간을 결정하고, 토스트의 크기와 초기 위치에서 떨어지는 각도는 토스트의 회전운동을 결정한다. 이때, 토스트가 회전해 잼 바른 쪽이 바닥에 닿을지, 위를 향할지는 토스트를 회전시키는 힘에 영향을 받는다. 그리고 그 힘은 중력과도 관련이 있다. 그렇다면 보통 식탁 위에서 떨어뜨린 토스트는 바닥에 닿을 때까지 몇 바퀴를 회전할까? 중력과 식탁의 높이를 고려해 실제로 계산해 보면, 대략 반 바퀴 돌고 바닥에 닿는다는 결론이 나온다. (고도의 물리학 공식을 적용해 계산하므로 생략한다.)

즉, 잼을 바른 토스트는 약 반 바퀴를 회전하고 떨어져, 잼 바른 쪽이 바닥에 닿도록 떨어진다는 결론을 얻을 수 있다. 이 상황을 증명하고 실험을 통해 확인한 사람이 있다. 영국의 수학자이자 과학자인 로버트 매튜는 토스트를 무려 9821번 식탁 위에서 떨어뜨려 보았다. 그 결과, 6101번이나 잼 바른 쪽이 바닥에 닿도록 떨어졌다. 즉, 잼 바른 쪽이 바닥으로 떨어질 확률이 62.1%로, 우연에 의한 확률인 50%보다 크게 나온 것이다. 이렇게 상당히 많은 횟수를 시행해 얻은 확률 값을 ‘경험적 확률’이라고 한다. 반대로 경험이 아닌 이론적인 확률은 ‘수학적 확률’이라고 한다.

양말을 뽑으면, 왜 항상 짝짝이일까?

양말이 뒤섞인 양말 뭉치에서 2개의 양말을 임의로 꺼내면, 대부분 짝짝이 양말이 나온다. 왜 그럴까? 수학의 조합 원리를 이용하면, 이런 상황의 확률 값을 구해 확인할 수 있다.

먼저 간단한 상황에서 확률 값을 구해 보자. 서랍 속에 완벽하게 짝이 맞는 6짝(3종류)의 양말이 있다. 양말은 마구 뒤섞여 있고, 이 양말 뭉치에서 2개의 양말을 꺼낸다고 가정해 보자. 짝짝이 양말을 뽑을 확률은 얼마일까?

먼저 6개의 양말에서 2개의 양말을 임의로 뽑는 경우의 수는 조합공식에 의해 6!÷(2!×4!) = 15가지다. 이 값이 전체 경우의 수가 된다. 이제 6개의 양말 중에서 2개를 뽑을 때, 그 2개가 서로 다른 양말일 경우를 생각해 보자.

3종류의 양말 중에서 서로 다른 2종류의 양말을 선택할 경우는 3가지다. 그런데 이 3가지에서 각각의 종류마다 양말이 2짝씩 있다. 예를 들어 A모양 양말과 B모양 양말을 뽑았을 때, 서랍 속에는 A모양 양말 2개, B모양 양말이 2개 있어 짝짝이 양말을 뽑는 경우의 수는 2×2=4(가지)가 된다. 그러므로 6개의 양말 중에서 2개를 뽑았을 때, 그 양말이 모두 짝짝이일 경우의 수는 4+4+4=12가지다.

전체 경우의 수는 15가지이므로, 6개의 양말 중에서 2개를 뽑았을 때 짝짝이 양말을 뽑을 확률은 12÷15로 80%다. 즉, 임의로 양말 2짝을 뽑았을 때 짝짝이가 나오는 것은 확률적으로 가능성이 큰 사건임을 알 수 있다.

게다가 여기서 구한 80%란 확률 값은 양말이 6개, 고작 3켤레인 경우의 값이다. 양말의 개수를 10개로 늘이면 확률 값은 약 88.89%, 양말의 개수를 20개로 늘이면 무려 94.74%로 커진다. 짝짝이 양말을 뽑은 게 불운이 아니라 짝짝이를 뽑지 않은 것이 행운임에 분명하다.

양말 뭉치에서 짝짝이를 선택할 확률을 구하는 공식을 만들 수 있다. n개의 양말 뭉치에서 2s개를 임의로 뽑았을 때, 나머지 양말 중에서 짝을 이루고 있는 것이 2d일 확률 P의 값은 다음과 같다.

지도에서 내가 찾는 곳은 왜 가장자리일까?

지도에서 내가 찾는 곳은 왜 가장자리 또는 접힌 곳에 있는지 수학적으로 접근해 보자. 왼쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 10인 정사각형 모양의 지도가 있다고 하자. 그리고 폭의 길이를 1이라고 정하자. 어두운 곳의 영역이 ‘머피의 영역(Murphy Zone)’이다. 지도의 가장자리 또는 접힌 곳을 뜻한다.

머피의 영역의 넓이는 정사각형의 넓이에서 2개의 직사각형의 넓이를 뺀 것과 같다. 계산하면 (머피의 영역의 넓이) = 100-(2×3×8)=52다. 전체 지도의 넓이인 100의 절반보다도 큰 값이다. 우연에 의한 임의의 가능성인 50%보다 크다는 것을 알 수 있다.

만약 가장자리를 정사각형의 길이의 1/10 보다 크게 둔다면, 가능성은 더 커진다. 가장자리 또는 접힌 곳의 넓이가 생각한 것보다 전체에서 큰 부분을 차지하기 때문에, 내가 찾는 곳이 가장자리 또는 접힌 곳이 나오는 것은 확률적으로 가능성이 높은 일이다.

직사각형 지도의 가로 길이를 m, 세로 길이를 n, 그리고 폭의 길이를 b라고 하자. 그러면 머피의 영역의 넓이 A는 다음과 같다.

전체 지도의 넓이는 mn이므로, 무작위로 지도 위의 한 점을 선택했을 때, 그 곳이 머피의 영역일 확률의 식은 다음과 같다.

내가 계산하려고 선 곳은 왜 느릴까?

슈퍼마켓에 가면 여러 개의 계산대가 있다. 우리는 계산을 하기 위해 줄이 가장 빨리 줄어들 것 같은 곳을 선택한다. 그런데 왜 꼭 내가 계산하려고 선 곳은 좀처럼 줄이 줄어들지 않는 걸까? 확률을 직접 구해 보면, 그 이유를 알 수 있다.

슈퍼마켓에 3개의 계산대가 있고, 그 중 하나의 계산대에 줄을 섰다고 가정해 보자. 계산대가 3개 있으므로, 내가 선 줄이 가장 빨리 줄어들 확률은 1/3이다. 반면, 나머지 줄이 빨리 줄어들 확률은 2/3이다. 내가 선 줄이 가장 빨리 줄어들 확률의 2배다.

확률 값은 계산대의 개수가 많아질수록, 그 차이가 더 커진다. 만약 계산대의 개수를 n이라고 하면, 내가 선 곳의 줄이 가장 빨리 줄어들 확률은 1/n 이고, 나머지 줄이 빨리 줄어들 확률은 (n−1)/n 으로 (n-1)배 커지는 것이다. 계산대의 개수가 많으면 많을수록, 내가 선 곳의 줄이 가장 먼저 줄어들 가능성이 작아진다는 뜻이다. 확률 값을 비교해 보면, 내가 서지 않은 줄이 빨리 줄어드는 것은 자연스럽고도 당연한 일이다.

머피의 법칙과 샐리의 법칙은 존재한다 – 군집현상.

두 개의 그림을 보자. 어느 것이 임의로 점을 찍었다고 볼 수 있을까? 그림❶은 골고루 점이 찍혀 있는 반면, 그림❷는 몰려 있는 곳과 드물게 찍힌 곳이 있다. 그림❶이 무작위로 점을 찍었다고 생각하기 쉽지만, 사실 이렇게 점을 찍으려면 신중하게 점을 골고루 떨어뜨려 찍어야 한다. 즉, 흔한 경우가 아닌 특별한 경우인 셈이다.

여기서 종이에 찍은 점을 우리 생활에서 일어나는 안 좋은 일이라고 생각해 보자. 그림❶은 안 좋은 일이 규칙적으로 골고루 일어나는 경우고, 그림❷는 안 좋은 일이 몰아서 일어나는 경우다. 어느 것이 더 자연스러운 상황일까? 당연히 그림❷다. 통계학자는 이러한 현상을 ‘군집현상’이라고 한다. 어떠한 사건이 여러 번 일어날 때, 골고루 분포하기보다는 몰려서 일어난다는 뜻이다.

예를 들어 동전을 10번 던진다고 해 보자. 동전이 규칙적으로 앞 한번, 뒤 한번 번갈아 나오는 경우가 많을까? 아니면 앞 또는 뒤가 몰려서 나오는 경우가 많을까? 당연히 앞 또는 뒤가 몰려서 나오는 경우가 훨씬 더 많다.

수학동아