펜토미노

정사각형을 이어 붙이면 다양한 평면도형을 만들 수 있다. 두 개만 붙여 만들 수 있는 간단한 직사각형부터 다섯 개를 붙여 만드는 십이각형까지 다양하다. 만약 이어 붙이는 개수에 제한이 없다면 만들 수 있는 도형의 가짓수는 더 많아진다. 오늘은 정사각형 다섯 개만 이어 붙인 펜토미노에 대해 알아보자.

다섯 개만 이어 붙인 펜토미노.

20세기 이전부터 사랑받던 정사각형 퍼즐

펜토미노를 이해하려면 먼저 폴리오미노에 대해 잘 알아야 한다. 폴리오미노란 정사각형을 이어 붙여 만든 새로운 도형을 통틀어 말한다. 이때 이어 붙인 정사각형의 변과 변이 정확히 맞닿은 도형만 폴리오미노라 한다. 또한 회전·대칭 이동해 같은 모양이 되면 두 폴리오미노는 같은 조각으로 간주한다.

헨리 듀드니.

폴리오미노는 이어 붙이는 정사각형의 개수에 따라 종류를 나눈다. 1개는 모노미노, 2개는 도미노, 3개는 트리오미노, 4개는 테트라미노, 5개는 펜토미노라고 한다. 이는 고대 그리스어에서 수를 나타내는 단위에 ‘조각’ 또는 ‘덩어리’라는 뜻을 가진 미노(mino)를 붙여 만든 단어다.

펜토미노는 20세기 이전에도 많은 사람들의 입에 오르내리며 흥미로운 퍼즐의 한 종류로 관심을 받았다. 그러다 영국의 퍼즐 연구가 헨리 듀드니(Henry Dudeney, 1857~1930)가 1907년에 다양한 퍼즐의 해법을 담은 저서에 이 퍼즐을 소개하면서부터 더욱 널리 알려졌다. 하지만 이 퍼즐을 부르는 정확한 이름이 없었다. 1953년 미국의 솔로몬 골룸(Solomon Golomb, 1932~)박사가 하버드대 수학클럽에서 강의 도중 최초로 ‘펜토미노’라는 용어를 사용하면서 오늘날까지 ‘펜토미노’라 불리게 됐다.

펜토미노는 입체도형과 평면도형으로 나눠 생각해 볼 수 있다. 그 종류는 정육면체 5개를 이어 붙여 만든 펜토미노 블록(입체)은 29가지, 정사각형 5개를 이어 붙여 만든 펜토미노 퍼즐(평면)은 12가지다. 오늘은 펜토미노 퍼즐(평면)을 직접 색종이로 접어보자.

색종이로 12가지 펜토미노를 만들려면?

정사각형 모양인 색종이를 간단히 접어 4등분하면 적당한 크기의 정사각형을 쉽게 만들 수 있다. 그렇다면 펜토미노는 색종이를 자르기만 하면 될까? 하지만 이렇게 만드는 펜토미노는 조각과 조각을 연결할 때 테이프를 사용해야 하는 번거로움이 있다. 그래서 이번엔 연결 부분까지 한 번에 만들 수 있는 방법을 소개하려고 한다. 다음 순서에 따라 정사각형을 접어, 연결하기 쉬운 펜토미노 조각을 만들어보자.

펜토미노를 만들 수 있는 정사각형 접기.

앞서 만든 정사각형 조각의 뒷면을 살펴보면, 네 방향에 모두 끼울 수 있는 공간이 마련돼 있다. 연결 부분을 앞뒤,좌우로 돌려 조각을 서로 끼우면 펜토미노 조각을 쉽게 만들 수 있다. 다음과 같이 12개의 펜토미노 조각을 따라 만들어 보자.

펜토미노 조각 만들기.

퍼즐 연구가 듀드니의 퍼즐은 소개한 방법 외에도 풀이법이 다양하다. 직접 만든 펜토미노 조각을 이용해 새로운 풀이법을 생각해보자. 이 밖에도 10×6, 12×5, 15×4 직사각형을 채우는 퍼즐도 있다. 이제 여러분의 손에 달렸다.

우리가 잘 알고 있는 폴리오미노

우리가 종종 즐기는 ‘도미노 게임’은 정사각형을 2개씩 이어 붙인 직사각형 조각을 이용해 즐기는데, 도미노가 바로 폴리오미노의 한 종류다. 또한 ‘테트리스’라는 이름으로 잘 알려진 게임 역시, 정사각형을 4개 이어 붙인 테트라미노를 이용해 만든 것이다.

도미노. <출처: (CC)aussiegall at Wikipedia.org>

테트리스.

수학동아