자연수 vs. 정수

 글을 쓰며 내심 우려한 대로 자연수 중 짝수의 개수가 전체 자연수의 개수보다 ‘작다’고 철석같이 믿는 분들이 여전히 많았다. 아무래도 한 번의 설명만으로는 부족하다는 생각이 들어서, 다시 한 번 무한개의 개수에 대해 복습(?)부터 하기로 하자.

짝수의 개수와 자연수의 개수는 같다!

이런 비유를 들면 이해가 쉬울지 모르겠다. 짝수(이 글에서는 자연수 중 짝수만을 말한다.)로 번호가 매겨진 구슬이 있다고 치자. 각각 2, 4, 6, 8 …이 적혀 있는 구슬이 있다고 상상해보자는 것이다. 네이처가 지나가던 네이버를 붙잡고 구슬이 몇 개인지 세어 보라고 시키면 어떨까? 구슬에 적힌 숫자가 2, 4, 6, 8 …이라고 해서, 구슬을 세면서 2개, 4개, 6개…라고 세는 게 옳을까? 당연히 아니다. 1개, 2개, 3개, 4개 …라고 셀 것이다. 슬슬 짝수의 개수가 자연수의 개수와 같다는 조짐이 보인다.

몇 개일까? 번호가 바뀐다고 개수가 변하지 않는다.

네이버는 세어 보다가 꾀가 난다. 네이처가 화장실에 간 사이 구슬에 붙은 숫자를 몽땅 절반으로 낮춰서 다시 붙여놨다고 하자. 예를 들어 번호가 58이라고 붙어 있던 구슬은 29라고 써서 다시 붙인 것이다. 화장실에 다녀온 네이처는 구슬이 갑자기 두 배로 늘어났다고 좋아해야 하는 걸까? 여러분은 진실을 안다. 구슬에 붙은 번호만 바뀐 것뿐이며, 구슬의 개수는 변하지 않았다는 것을 말이다. 내친 김에 구슬에 탐이 난 네이버가 자기가 바꿔 붙인 번호 중에서 홀수 번호가 붙은 것을 몽땅 자기 주머니에 챙기고 사라졌다고 하자. 네이버가 절반이나 집어갔건만, 네이처는 화장실 가기 전과 갔다 온 후가 달라졌다고 느끼지 않을 것이다.

이처럼 번호(이름)를 바꿔 붙이는 것을 수학 용어로 설명한 것이 대응이다. 2, 4, 6, 8 … 이라는 이름 대신 1, 2, 3, 4 …로 이름만 바꾼 것이다. 개수라는 것은 이름을 바꾸어도 유지되는 개념이어야 할 것이다. 이름을 바꾸는 행위 중 가장 정직한 것이 일대일 대응이다. 원래 달랐던 이름은 바꿔 붙여도 이름이 다르며, 바꿔 붙인 이름을 원래대로 복원할 수도 있기 때문이다. 일대일 대응하는 것이 개수가 같아야 하는 것은 당연하다 하겠다.

전체와 부분의 개수가 같을 수도 있다

사실 짝수의 개수가 자연수 개수보다 작다고 생각하는 것도 무리는 아니다. 유한 집합이었다면 A가 B의 진부분집합일 경우, A가 B보다 개수가 모자란 것은 상식이다. 갈릴레오 이전에는 거의 모든 사람이 무한일 경우에도 당연히 그럴 것으로 생각했으니 말이다. 하지만 무한집합일 때에는 사정이 다르다. 짝수와 자연수의 경우처럼 부분과 전체의 개수가 같을 수도 있다.

"전체와 부분의 개수가 같을 수도 있다!"

이쯤에서 개수 세는 것과 포함 관계는 조금 동떨어진 개념이라는 것을 따져볼 필요가 있다. 예를 들어 구슬 세 개와 동전 다섯 개가 있다고 하자. 구슬 집합이 동전 집합에 포함되지는 않지만, 개수는 비교할 수 있다. 집합 사이에 포함 관계가 없어도, 대응을 이용하여 어느 쪽이 많은가를 따질 수 있다. 유한에서도 포함 관계가 없어도 대응을 이용하여 개수를 비교했던 것처럼 무한에서도 대응을 이용하여 개수를 비교하는 것이 자연스럽다. 이름을 바꿔 붙이면 개수가 변한다고 느끼는 사람에게는 자연스럽지 않겠지만 말이다.

자연수 집합의 기수를 표현하는 용어 알레프 영

알레프 영(Aleph zero), 자연수 집합의 기수

앞서 보았듯이 짝수의 집합처럼 자연수에 포함되는 집합이라도, 무한집합이라면 자연수 집합과 기수가 같아진다. 예를 들어, 소수(prime number)의 집합도 자연수 집합과 기수가 같다. 자연수 n에 대해, ‘n번째로 큰 소수’를 대응하면 일대일로 대응한다. 이처럼 자연수의 집합과 기수가 같은 집합은 ‘기수가 (aleph zero 혹은 aleph null, aleph naught)이다’로 말하고, 그러한 집합을 ‘가산집합’(countableset) 혹은 ‘셀 수 있는 집합’이라 부른다. 예를 들어, 짝수의 집합 E의 기수는 알레프 영이다. 즉, 짝수의 집합은 셀 수 있는 집합이다. 홀수의 집합의 기수도 알레프 영이라는 것은 두말할 나위 없다. 그런데, 자연수 집합보다 기수가 작으면서도 무한한 집합이 있을까? 자연수의 부분집합 중에는 그런 집합이 없다는 것은 이른바 ‘자연수의 정렬성’을 이용해 보일 수 있지만, 일반적으로는 ‘선택의 공리’(Axiom of Choice)가 개입돼 있어 머리를 아프게 한다. 따라서 훗날로 설명을 미루기로 하자.

정수의 집합과 자연수의 집합은 기수가 같다

그럼 자연수의 집합보다 더 기수가 큰 집합은 없을까? 일단 자연수보다는 원소가 많은 집합인 ‘정수의 집합’이 떠오른다. 느낌으로만 보자면 자연수보다 기수가 두 배쯤 될 것 같다. 하지만 이미 짝수와 자연수에서, 무한일 경우 기수를 두 배 해봐야 기수가 같아지는 경험을 했다. 실제로도 자연수의 집합 N과 정수의 집합 Z는 기수가 같다. 대표적인 일대일 대응은 다음과 같다.

홀수 자연수 n에 대해서는 (n-1)/2를 대응하고, 짝수 자연수 n에 대해서는 -n/2를 대응하는 규칙인데, 일대일 대응함을 확인할 수 있다.

힐베르트의 호텔, 무한 개의 방을 가진 호텔

무한개의 방이 있는 힐베르트의 호텔은 이런 느낌? 이 호텔은 방이 꽉 차 있어도 얼마든지 손님을 더 받을 수 있다.

무한 집합의 개수에 관해 ‘힐베르트의 호텔’이라 불리는 재미있는 비유가 있어 소개해볼까 한다. 힐베르트는 ‘무한 호텔’의 관리인이다. 이 호텔은 1호실, 2호실, 3호실 … 등 무한개의 방을 갖춘 어마어마한 호텔이다. 얼마나 멋진 호텔인지 손님이 가득 차 있어 빈 방이 없다. 이 때 손님 한 명이 찾아온다.

손님 : 빈 방 있나요?
힐베르트 : 없습니다.
손님 : 소문 듣고 왔는데, 빈 방이 없다니 유감이군요.
힐베르트 : 잠깐만요. 손님들에게 양해를 구하고, 빈 방을 구해드릴 수 있습니다.

대체 힐베르트는 무슨 배짱으로, 없는 빈 방을 만들려는 걸까?

힐베르트 : 저희 호텔을 찾아주신 손님 여러분께 양해 말씀 드립니다. 손님이 한 분 찾아오셔서 방을 내드리고자 하니, 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 3호실로, 3호실 손님은 4호실로 … n호실 손님은 (n+1)호실로 옮겨 주시면 감사하겠습니다.

그 많은 손님에게 방을 옮기라고 하다니, 서비스가 영 아니다. 하지만 멋진 호텔에 묵다 보니 마음이 너그러워진 손님들은 기꺼이 방을 옮겨 준다. 이제 1호실이 비었다. 새로 온 손님에게 빈 방을 내어줄 수 있게 됐다! 모든 손님에게 방을 옮기라고 하다니 괘씸한가?

그러면 1호실 손님은 10호실로, 10호실 손님은 100호실로, 100호실 손님은 1000호실로 … 10n호실 손님들만 10n+1호실로 옮기라고 하면 좀 덜 옮겨도 되지 않을까? (그래도 여전히 무한 명의 손님이 방을 옮겨야 한다). 손님이 1,000명 몰려 와도 빈 방을 내줄 수 있다. 하나를 알려주면 천을 아는 독자들에게 일일이 방법을 설명할 필요는 없을 것 같다.

매번 방을 옮겨달라고 하니 짜증이 난 기존 투숙객들이 호텔을 골탕 먹이려고, 각자 친구 한 명씩 같은 날 초대해버렸다. 기존 투숙객만큼의 (무한 명의) 사람이 한꺼번에 찾아와 자신들에게도 빈 방을 내달라고 요구했다. 그래도 힐베르트는 눈 하나 깜짝하지 않는다. 호텔 건립자 칸토어의 비법을 전수받았기 때문이다.

힐베르트 : 저희 호텔을 찾아주신 손님 여러분께 양해 말씀 드립니다. 찾아오신 손님들에게 방을 내드리고자 하니, 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 4호실로, 3호실 손님은 6호실로 … n호실 손님은 2n호실로 옮겨 주시면 감사하겠습니다.

이제 1호실, 3호실, 5호실, 7호실 …이 비었다. 이제 찾아온 무한 명의 손님을 투숙시키는 것은 아무 것도 아니다! 투숙객들은 호텔의 솜씨에 혀를 내두르며 옮겨갈 수밖에 없었다.

힐베르트의 호텔은 언제나 빈 방을 내어줄 수 있는 무적의 호텔일까? 호텔 투숙객들이 각자 무한 명의 사람을 초대하면 어떻게 될까? 힐베르트의 호텔이 어떻게 명성을 이어갈지 혹은 명성이 무너질지 차차 살펴보기로 하자.

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