도미노 이론, 하나가 쓰러지면 다른 것들이 연이어 쓰러진다
늘어선 도미노의 패,주사위와 비슷한 모양이 새겨져 있다.
도미노 게임은 여러 가지 종류가 있지만 잘 알려져 있는 편이 아니며, 게임보다는 도미노 패를 일정한 모양으로 세워 놓고 쓰러뜨리는 놀이가 더 유명하다. 최근에 도미노를 쓰러뜨리는 것을 즐기는 사람들을 중심으로 도미노 데이(Domino Day)를 정하기도 했는데, 네덜란드에서 시작된 도미노 데이는 11월 가운데 하루를 택하여 일정한 모양으로 쌓거나 늘어놓은 도미노를 쓰러뜨리는 날이다.
2009년으로 11회를 맞이한 11월 13일 도미노 데이에 모두 4,800,000개의 도미노 패를 설치하여 4,491,863개의 패가 쓰러지는 신기록을 세웠다. 이날 14개국에서 모인 90명의 사람이 총 두 달간 도미노를 세웠으며, 도미노가 넘어지면서 미국 사우스다코타 주의 러시모어산에 있는 미국 대통령 얼굴의 조각상이 나타나는 등 화려한 볼거리가 준비되었다.
그보다 앞서 2007년 11월 16일에는 12개국에서 85명이 참가하여 도미노 쓰러뜨리기가 성황리에 개최되었지만, 4,500,000개 가운데 3,671,465개가 쓰러져 처음으로 공식적인 실패로 기록되었다. 2008년 11월 14일에 열린 10번째 도미노 데이에서는 다시 4,500,000개를 설치하여 4,345,027개가 쓰러지는 기록을 세웠으며, 다음과 같은 몇 가지 세계 신기록이 수립되었다.
1. 가장 긴 도미노 소용돌이 : 200m
2. 가장 높은 도미노 오르막길 : 12m
3. 가장 작은 도미노 패 : 7mm
4. 가장 긴 도미노 패 : 4.8m
5. 가장 긴 도미노 벽 : 16m
6. 가장 큰 도미노 건축물 : 25000개의 패가 사용됨
7. 가장 빨리 도미노 패를 쓰러뜨린 시간 : 30m에 4.21초
8. 가장 큰 직사각형 모양의 도미노 : 1백만 개의 패가 사용됨
도미노 패 하나를 쓰러뜨리면 다른 도미노들이 차례로 쓰러지게 되는 현상을 빗대어 도미노 이론이라고 하는데, 이 용어는 미국의 아이젠하워 대통령이 베트남에 이은 동남아시아 전역의 공산화 위험을 설명한 데서 비롯되었다. 그리고 이와 같은 도미노 이론은 수학에서 명제의 증명법 가운데 하나인 수학적 귀납법과 유사하다.
수학적 귀납법은 수학의 도미노 놀이?수학적 귀납법(數學的歸納法, mathematical induction)은 수학에서 어떤 명제가 모든 자연수에 대해참임을 증명할 때 사용하는 방법이다. 일반적인 수학적 귀납법의 형태는 무한개의 명제를 함께 증명하기 위해, 먼저 첫 번째 명제가 참임을 증명하고,다음으로 명제 중에서 어떤 하나가 참이면 언제나 그다음 명제도 참임을 증명하는 방법으로 이루어진다. 즉, 자연수n에 관한 명제 p(n)에 대하여 다음 두 조건이 성립하면 모든 자연수n에 대하여p(n)은 참이다.
수학적 귀납법 이미지 1
수학적 귀납법은 일반적인 귀납법과 다르다여기서 주의해야 할 것은 수학적 귀납법은 일반적인 귀납법과는 약간 다르다는 점이다. 논리에서 사용하는 귀납법은 여러 구체적인 사례를 조사하여결론을 얻는 방법이다. 하지만 수학에서는 이런 귀납법을 사용하지 않는다.
예를 들어n번째 삼각수Tn은 1부터n까지의 합으로 다음이 성립한다.
수학적 귀납법 이미지 2
이식에n=1을 대입하면 1=1(1+1)/2이므로 공식이 참이고,n=2를 대입하면 3=2(2+1)/2이 되어 식은 참이다. 또n=3,4,5를 차례로 대입해도 역시 식은 참이다. 마찬가지 방법으로 n=100일 때까지 대입해도 식은 참이다. 그렇다면 100개의 자연수에 대해서 위의 식이 참이라고 해서 모든 자연수에 대해서도 이식이 참이라고 할 수 있을까? 즉,n=1,000일 때도 참이냐고 하면n=1000을 식에 대입하여 1부터 차례로 1000까지 더한 합이 500500임을 확인해야 한다. 결국 구체적인 사례를 조사하는 것은 문제를 확인하는 방법일 뿐, 주어진 명제가 참임을 증명하는 것은 아니다.
수학적 귀납법의 원리는 도미노의 원리와 같다
수학적 귀납법의 원리는 도미노의 원리와 비추어보면 이해하기 쉽다.
그렇다면 과연 도미노는 수학적 귀납법과 무엇이 유사할까? 도미노 패 100개를 차례로 배열했을 때, 이 100개의 패가 모두 쓰러진다는 것을 알기 위해서는 첫 번째 패를 쓰러지면서 반드시 두 번째 패를 쓰러뜨려야 한다는 것을 알아야 한다. 또 두 번째 패가 쓰러지면서 반드시 세 번째 패를 쓰러뜨려야 한다는 것을 알아야 한다. 계속해서 99번째 패가 쓰러지면서 반드시 100번째 패를 쓰러뜨려야 한다는 99가지 사실을 알 수 있어야 한다. 마찬가지 이유로 1,000개의 패가 배열되어 있을 때 999가지의 사실을 알아야 하나도 남김없이 쓰러진다는 것을 알 수 있다. 그리고 여기까지는 실험을 통해서도 확인할 수 있다. 그러나 도미노의 패가 무한개라면 어떨까?
우리는 일정한 간격을 유지하며 일렬로 배열한 도미노로부터 ‘어떤 패가 쓰러지면 반드시 다음 패가 쓰러진다’라는 사실을 알 수 있다. 이것을 수학적으로 나타내면 ‘k번째 패가 쓰러지면 반드시k+1번째 패가 쓰러진다’와 같다.
우리는 이 사실로부터 첫 번째 도미노 패만 쓰러뜨리면 일정하게 배열된 도미노가 모두 쓰러진다는 것을 알 수 있다. 즉, 첫 번째 도미노 패가 쓰러지면 두 번째 패도 반드시 쓰러지고, 다시 세 번째 패도 쓰러진다. 이런 방법을 계속하면 무한개의 도미노 패가 모두 쓰러진다는 것을 알 수 있다. 이것이 바로 도미노의 원리와 수학적 귀납법의 원리가 같은 점이다.
수학적 귀납법의 사례, 삼각수에 관한 명제 증명이제 수학적 귀납법을 사용하여 앞에서 예를 들었던 삼각수에 관한 명제인 모든 자연수n에 대하여1+2+…+n=n(n+1)/2이 참임을 증명해 보자.
명제
모든 자연수n에 대하여1+2+…+n=n(n+1)/2이 성립한다.
증명
n=1이면 좌변과 우변이 모두 1이므로 이식은n=1일 때 성립한다. 이제 수학적 귀납법의 원리에 의하여 ‘n=k일 때 이 공식이 성립한다면n=k+1일 때도 이 공식이 성립한다.’라는 사실만 증명하면 된다. 이 사실을 증명하기 위하여n=k일 때 이 공식이 성립한다고 가정했으므로 다음 사실을 이용한다.
수학적 귀납법 이미지 3
즉, 위 식의 양변에(k+1)을 더하여 아래가 성립함을 보이면 된다.
수학적 귀납법 이미지 4
실제로 1+2+…+k=k(k+1)/2의 양변에 (k+1)을 더해 보면, 다음과 같다.
수학적 귀납법 이미지 5
따라서, n=k+1일 때도 위의 명제가 참임을 알 수 있다. 그러므로 주어진 명제는 모든 자연수 n에 대하여 참이다. (증명 끝)
수학적 귀납법에 대한 간략한 역사유클리드는 자신의 책 [원론(Elements)]에서 최초로 수학적 귀납법을 사용하여 소수의 개수가 무한히 많음을 증명하였다. 그 이후 여러 수학자가 수학적 귀납법을 사용했으나 완전한 형태는 아니었으며 처음으로 귀납법에 대한 엄밀한 서술을 한 사람은 프란체스코 마우롤리코(Francesco Maurolico)이다. 그는 1575년에 발표한 책 [산술의 두 책(Arithmeticorum libri duo)]에서 1부터 (2n-1)까지의 홀수를 모두 더하면n2이 됨을 수학적 귀납법을 사용하여 증명하였다. 즉, 1+3+5+…+(2n-1)=n2이다.
수학적 귀납법은 매우 중요한 수학의 기초증명의 한 가지 방법으로 이용되고 있는 수학적 귀납법은 페아노의 공리(Peano’s Axiom) 가운데 다섯 번째이다. 다섯 가지 페아노의 공리는 차례로 아래와 같다.
1. 1은 자연수이다.
2. 각 자연수 n에는 그 후자라 칭하는 자연수 n’가 단 하나 대응한다.
3. 자연수 n에 대하여 n’≠1
4. m’=n’이면 m=n
5. S가 자연수 전체의 집합의 어떤 부분집합으로 (i) 1∈S, (ii) n∈S이면 반드시 n’∈S이다.
이들 5가지 공리로부터 자연수의 성질이 모두 논리적으로 유도된다. 따라서 수학적 귀납법이 없었다면 우리는 오늘날과 같이 자연수를 자유자재로 사용할 수 없었을지도 모른다. 여러분도 자연수와 밀접한 관련이 있는 수학적 귀납법을 사용하여 자연수에 관한 여러 가지 명제를 증명해보기 바란다
네이버캐스트
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