구면상의 거리

2차원 혹은 3차원 공간에서 두 지점 사이의 거리 공식을 학교에서 공부하지만, 정작 우리가 살고 있는 지구의 어느 두 지점 사이의 거리를 구하는 방법에는 익숙하지 않다. 지구의 임의의 두 점 사이의 거리를 어떻게 구할 수 있는지 알아보자.

직교좌표에서 두 점 사이의 거리 - 피타고라스 정리로 구한다

중학교 3학년에서 배우는 피타고라스 정리를 이용하여 좌표평면 위에 존재하는 임의의 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 살펴보자.

좌표평면 위의 두 점P( x ₁, y ₁), Q( x ₂, y ₂)가 주어져 있으면, 두 점 사이의 거리 d 는 피타고라스 정리를 이용하여 구할 수 있다. 실제로 삼각형 PQH가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 거리 d 는 다음과 같다.

두 축이 직교하지 않는 경우? 코사인 법칙으로 구한다

평면좌표의 두 축은 원점에서 직교하지만, 두 축이 직교하지 않는 좌표도 존재한다. 아래 그림과 같이 가로 축과 세로 축이 θ 의 각으로 만나는 경우, 좌표평면 위에 존재하는 임의의 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 살펴보자.

두 축이 직교하지 않는 좌표평면 위의 두 점P( x ₁, y ₁), Q( x ₂, y ₂)가 주어져 있으면, 두 점 사이의 거리 d 는 코사인 법칙을 이용하여 구할 수 있다. 실제로 삼각형 PQH의 한 내각의 크기가 π - θ 이므로, 코사인 법칙에 의해서 거리 d 는 다음과 같다.

구면에서의 코사인 법칙은?

지구본 위에서 두 지점 사이의 거리를 구하기에 앞서, 앞에서 살펴본 두 지점 사이의 거리 공식을 다시 한 번 살펴보자. 고대 그리스 시대 이후 피타고라스의 정리를 일반화한 것이 코사인 법칙이고, 코사인 법칙의 특수한 경우가 피타고라스 정리이다. 따라서 앞에서 소개한 두 지점 사이의 거리는 결국 코사인 법칙을 이용하여 구한 것임을 알 수 있다. 그렇다면, 지구본에서 임의의 두 점 사이의 거리를 구하기 위해서는 지구본이 구면이므로 구면에서 성립하는 코사인 법칙이 필요함을 알 수 있다. 이제 구체적으로 구면에서의 코사인 법칙에 대해 살펴보자.

고대 그리스 시대의 경우, 우주는 지구를 중심으로 천구 상에서 움직이는 것처럼 보였기 때문에 실제로 그렇다고 생각하였다. 모든 천체는 이 천구 상에 한 개의 점으로 나타나는데, 매일 이러한 점들이 지구를 회전하고 그 위치를 조금씩 다르게 하고 있다. 천구 상에서 이러한 점들의 관계를 살피기 위해 코사인 법칙은 매우 유용한 도구로 인식하였다. 그 이후 구면 코사인 법칙에 대한 주제는 8세기부터 14세기까지에 걸쳐 이슬람 인들이 세계 각 지역에서 메카의 위치를 찾기 위한 고민의 결과로 구체적인 발전을 이룩하였다.

구면에 세 점 A, B, C가 결정이 되면 선분AB는 구의 중심을 원의 중심으로 하는 대원의 일부분이 된다. 이렇게 만들어진 삼각형을 구면 삼각형이라고 하는데, 이를 이용하여 구면에서의 코사인 법칙을 이슬람 수학자들이 발견한 것이다. 중세 이슬람에 의한 구면에서의 코사인 법칙의 발견은 역사적으로 매우 가치 있는 발견이었다는 것을 명심하고, 구면 코사인 법칙에 대해 살펴보자.

구면 코사인 법칙은 그림과 같은 구면 삼각형 ABC에서 다음이 성립한다는 것이다.

지구 상의 두 지점 사이의 거리 구하기

구면 코사인 법칙의 증명은 부록을 참고하도록 하고, 구면 코사인 법칙을 이용해, 지구 상의 두 지점 사이의 거리를 구해 보자.

그림에서 점 B를 러시아의 수도 모스크바라 하고, 점 C를 경상북도 대구라 하자. 지구본의 경도와 위도를 통해, 모스크바는 동경37.42, 북위55.45에 위치하고, 대구는 동경128.35, 북위35.52에 위치함을 알 수 있다. 정확한 수치는 인터넷 검색을 활용해보자. 두 점 B, C사이의 최단거리는 두 점을 지나는 대원의 호 BC의 길이가 된다. 점 A를 북극점, 직선AB가 적도와 만나는 점을 B', 직선 AC가 적도와 만나는 점을 C'이라고 하자. 이제 구면 삼각형ABC가 생겼고, 이 삼각형의 세 변의 길이를 a , b , c 라고 하자. 구면 코사인 법칙을 이용하기 위해 ∠A, 변b 와 변 c 의 중심각 β , γ 를 각각 구해야 한다. 편의상 지구본의 반지름을 1로 보고 계산해 보자.

첫째, ∠A의 크기는 대구의 경도에서 모스크바의 경도를 빼면 되므로,128.35-37.42=90.93°이다.
둘째, 선분 AB의 중심각 γ 는 90도에서 모스크바의 위도를 빼면 되므로, 34.55°이다.
셋째, 선분AC의 중심각 β 는 역시 90도에서 대구의 위도를 빼면 되므로, 54.48°이다.
이제 이 세 값을 구면의 코사인 법칙에 적용하면, cos α =0.4710을 얻을 수 있다. 계산결과는 아래와 같다.

따라서, α 의 크기는 삼각표에 의해서 61.90°임을 근사적으로 구할 수 있다.

마지막으로, 모스크바로부터 대구 사이의 거리는 지구의 둘레 40076km에 대한 비례식 360:40076=61.90: d 에 의해서, 6890.84km를 얻을 수 있다.

구면에서의 거리는 구면 코사인 법칙으로 구한다

두 점 사이의 거리는 기하학에서 가장 기본적인 개념 중의 하나이다. 평면의 직교좌표에서는 피타고라스 정리가 두 점 사이의 거리를 보장해 주지만, 직교하지 않는 좌표에서는 코사인 법칙이 두 점 사이의 거리를 구하게 해 준다는 사실을 알 수 있었다. 모두가 다 알고 있듯이 우리가 살고 있는 지구는 구면이다. 구면에서 두 점 사이의 거리를 구하기 위해서는 구면에서 성립하는 구면 코사인 법칙이 필요하다. 다행히 중세 이슬람인들에 의해 그것에 대한 공식화가 이루어져, 우리가 지구본에 있는 임의의 두 지점(혹은 위도와 경도를 아는 두 지점) 사이의 거리를 구할 수 있는 것이다. 각자 여행해 보고 싶은 곳과 지금 살고 있는 곳의 거리를 구해보길 바란다.

구면 코사인 법칙의 증명

(서보억(2008)의 ‘코사인 법칙의 발달과정 분석 및 논증을 통한 확장에 대한 연구’참조)

구면삼각형ABC에서 꼭짓점 A를 임의의 한 평면에 접하게 하고 두 점 B, C를 지나는 대원을 그린다. 선분 OB와 선분 OC의 연장선이 접평면과 만나는 점을 각각 B', C'이라고 하고, 구면삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c라 하자. 세 변들의 대원에 대한 중심각의 크기를 α, β, γ라고 하면, 다음이 성립한다.

이 때, 두 삼각형 OB'C'과 AB'C'의 공통변 B'C'로부터 코사인 법칙을 적용하여 보자. 먼저, 네 변의 길이 OB', OC', AB', AC'을 구해 보자. 결과는 다음과 같다.

이제, 두 삼각형에 코사인법칙을 적용하면 다음 두 식을 얻을 수 있다.

②식을 정리하면 아래를 얻는다.

양변에 cosγ×cosβ를 곱하여 cosα에 대해 정리하면, 구면 코사인 법칙이 나온다(증명 끝).

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