프랙탈 기하학의 발달

프랙탈(fractal)이란 '자기 유사성(self-similar)' 과 '순환성(recursiveness)'을 갖는 도형을 말한다. 여기에서 자기 유사성이란 도형의 일부분을 확대한 것이 전체와 같은 모양이 되는 성질을 말하는 것이다. 즉, 프랙탈은 부분이 전체와 비슷한 모양으로 끝없이 되풀이되는 형태를 말하는 것이다. 프랙탈은 만델브로트에 의해 창시되었다. 만델브로트는 당시 영국 서부의 해안선의 길이는 얼마나 되는지에 대해서 고민하다가 처음에는 해안선의 길이가 완만한 곡선으로 보이지만 좀더 확대하면 완만하게 보이던 곡선이 울퉁불퉁하게 보이고, 또 계속해서 확대해보면 점점 더 울퉁불퉁하게 보인다는 사실을 발견했다. 그는 이와 같이 같은 모양이 계속 반복되는 구조를 프랙탈이라고 부르기 시작했는데 프랙탈이란 어원은 '쪼개다'라는 뜻을 가진 그리스어 'fractus' 또는 분수를 나타내는 'fraction'에서 따온 것으로 알려지고 있다. 이것은 프랙탈의 차원(次元, dimension)이 정수가 아니 분수 차원을 가진다는 의미를 지니고 있다. 만델브로트는 자의 눈금 크기에 따라 전체 해안선의 길이가 달라졌기 때문에 결과적으로 아주 작은 자를 이용하면 해안선의 길이는 무한대로 늘어나게 된다는 사실도 발견하게 되었다. 프랙탈은 1970년대 말부터 주목을 받기 시작하여 경제학, 물리학, 건축학, 컴퓨터 공학, 음악, 미술 등에 영향을 끼치게 되었다. 자연 속에서도 프랙탈의 예를 얼마든지 찾아볼 수 있는데 나뭇가지의 모양, 동물의 혈관 분포 형태, 창문에 성에가 자라는 모습 등이다. 또 오늘날은 컴퓨터 그래픽을 이용하여 아무리 복잡한 자연현상도 간단한 기본 모양에서 전체를 생성하는 규칙을 이용하여 순식간에 재현해 낼 수 있기 때문에 프랙탈은 많은 사람들의 관심의 대상이 되고 있다.

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프랙탈의 차원

유클리드 기하학에서는 정수로 표시되는 차원을 가진다. 즉, 점은 0차원, 직선이나 곡선은 1차원, 정사각형이나 삼각형과 같은 평면은 2차원, 구면이나 정육면체와 간은 공간은 현재 3차원이며 이것은 현재 우리가 살고 있는 공간의 차원과 같다. 그러나 프랙탈은 얼마나 많이 구부러져 있느냐에 따라 1차원과 2차원 사이의 어느 차원이나 될 수 있고, 얼마나 많은 공간을 채우고 있느냐에 따라 2차원과 3차원 사이의 어느 차원이나 될 수 있다. 즉, 곡선이 완만할수록 직선과 유사해지므로 1차원에 가까운 차원이 되고, 거칠게 울퉁불퉁하여 거의 평면에 가까워질수록 2차원에 가까운 차원이 되는 것이다. 이것은 2차원과 3차원 사이에도 마찬가지이다. 이와 같이 프랙탈의 차원은 유클리드의 차원과 비교하자면 유클리드의 차원보다 크지 않으며, 유클리드의 정수 차원 사이의 공간을 채우고 있는 소수 차원인 셈이다.

주요용어정리

차원(次元, dimension)

공간 내의 각 점을 지정하는 데 필요한 독립 좌표의 수를 말한다. 즉, 직선 위의 점은 적당한 좌표계를 정하면 하나의 실수 x로 표시되고, 평면 위의 점은 2개의 실수의 짝(x, y)으로, 공간의 점은 3개의 실수의 짝(x, y, z)으로 각각 표시된다. 이 때 직선을 1차원, 평면을 2차원, 공간을 3차원이라 한다. 상대성 이론에서는 시공간을 4차원으로 보고 있으며 일반적으로 n차원 또는 무한차원의 공간도 생각할 수 있다. 눈높이백과