만델브로트 집합

부분이 전체와 비슷한 모양으로 계속 되풀이되는 끝없는 '프랙탈'의 형태는 우리가 살고 있는 물리적 세계에는 존재하지 않는다. 그러나 컴퓨터의 디지털 세계에는 얼마든지 존재할 수 있다. 프랙탈 이론을 창시한 만델브로트는 컴퓨터를 이용하여 프랙탈 도형을 만드는 방정식을 만들어 냈다. 그 방정식은 다음과 같이 변수가 Z와 C, 두 개뿐인 아주 간단한 방정식이다. ( Z와 C는 복소수(complex number), 즉 실수와 허수의 합으로 이루어지는 수) 만델브로트는 어떤 C값에서는 이 방정식에서 나오는 허수의 값이 계속 증가하지만 또 다른 어떤 C값에서는 그 허수의 값이 아주 작은 두 허수 사이를 왕복한다는 것을 알아내고, 컴퓨터를 이용하여 허수의 값이 무한히 발산하지 않는 각각의 C값을 화면 위에 점으로 표현했다. 그 결과 사각형, 삼각형, 원 같은 순수한 기하학적 도형과는 거리가 먼 형태가 나왔다. 이것을 우리는 '만델브로트 집합'이라고 한다. 즉 만델브로트 집합을 수학적으로 정의하면 ''라는 식으로 정의된 수열이 발산하지 않는 성질을 갖도록 하는 복소수 C의 집합을 말한다. 만델브로트는 그림을 계속 확대해 보았지만 세부적인 형태가 끝없이 계속되는 처음의 모양과 똑같은 구조가 계속 나왔다. 이것은 영원히 확대해도 같은 모양과 구조가 계속 나올 것이다. 또 만델브로트의 집합은 색을 입히는 방법에 따라서 예술적인 그림이 나올 수 있다. 오늘날 이 만델브로트의 집합은 화려한 프랙탈 예술로 발전해서 과학과 예술의 결정체로 인정받고 있다.

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줄리아 집합

줄리아 집합은 만델브로트 집합이 나타나기 훨씬 전인 1918년 프랑스의 수학자인 줄리아에 의해 발표되었다. 만일 줄리아 집합이 발표될 당시 이것을 표현할 만한 컴퓨터가 있었다면 줄리아 집합은 만델브로트 집합보다 먼저 인정을 받았을 것이다. 줄리아 집합을 수학적으로 정의하면 ''라는 식으로 정의된 수열이 발산하지 않는 성질을 갖도록 하는 복소수 Z의 집합을 말한다. 즉 만델브로트의 집합에서 즉, Z와 C의 역할이 뒤바뀐 셈이다.

주요용어정리

발산(發散, divergence]

무한수열 {}(n=1, 2, …)이 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. 무한수열이 발산하는 경우는 극한값이 양의 무한대로 되는 경우, 음의 무한대로 되는 경우, 진동하는 경우가 있다. 한편, 수렴(收斂, convergence)은 수열 {}(n=1, 2, …)에서 n이 한없이 커짐에 따라서 이 일정한 값 α에 한없이 가까워지는 것을 말한다. 눈높이백과