수학의재미 AMC 8 문제 양의 정수

문제

다음 특징을 가지는 양의 정수들이 있다.

1. 어떤 수의 각 자릿수를 제곱하여 합하면 50 이다.

2. 어떤 수의 각 자릿수는 왼쪽에 있는 수 보다 크다.

두 특징을 모두 가지는 가장 큰 정수의 각 자릿수 곱은 얼마인가?

(A) 7  (B) 25  (C) 36  (D) 48  (E) 60

풀이

(1)

첫 번째 조건을 만족시키기 위해서는 제곱수의 집합 

{ 1 , 4 , 9 , 16 ,25 ,36 ,49 } 에서 합해서 50이 되는 숫자들을 선택해야 한다.

두 번째 조건을 만족시키기 위해서는 서로 다른 제곱수를 선택해야 한다.

결과적으로, 여기에는 다음과 같이 세 가지 가능성이 있다.

1 + 49

1 + 4 + 9 + 36

9 + 16 +25 이다.

이것은 각각 정수 17 , 1236 , 345 를 나타낸다.

이들 중 가장 큰 것은 1236 으로 각 자릿수의 곱은 

1 * 2 * 3 * 6 = 36 이다.

답은 (C) 36  이다.

There are positive integers that have these properties:

• the sum of the squares of their digits is 50, and
• each digit is larger than the one to its left.

The product of the digits of the largest integer with both properties is
(A) 7  (B) 25  (C) 36  (D) 48  (E) 60

Solution

Five digit numbers will have a minimum of  as the sum of their squares if the five digits are distinct and non-zero. If there is a zero, it will be forced to the left by rule #2.

No digit will be greater than , as .

Trying four digit numbers , we have  with 

 will not work, since the other digits must be at least , and the sum of the squares would be over .

 will give .  will work, giving the number . No other number with  will work, as  and  would each have to be greater.

 will give .  forces  and , which has a leading zero. Smaller  will force all the numbers to the smallest values, and  will give a sum of squares that is too small.

 can only give the number , which does not satisfy the condition of the problem.

Thus, the number in question is , and the product of the digits is , giving  as the answer.