뉴욕타임스(NYT)는 하버드 학자들로 구성된 '오퍼튜니티 인사이트'의 연구 결과를 인용해 "부모의 소득에 따라 '아이비리그'로 불리는 명문 사립대에 합격할 확률이 높아진다"고 보도했다. 연구에 따르면 연 소득 61만1000달러(7억8000만원) 이상인 상위 1% 부모를 둔 학생이 아이비리그에 합격할 확률은 같은 SAT 점수를 받은 학생에 비해 34% 높았다. 소득 상위 0.1%인 가정은 합격률이 2.2배까지 올랐다. 반면 공립대는 소득에 따른 차이가 크게 나타나지 않았다.
오퍼튜니티 인사이트는 불평등 문제를 연구하는 하버드대 경제학자들 모임이다. 이들은 1999년부터 2015년까지 대부분의 미국 대학 입학생 부모의 소득세 정보와 2001~2015년 SAT 성적 등을 분석했다. NYT는 "대법원이 소수 인종 대입 우대 조치가 위헌이라는 판결을 내린 후 나온 연구 결과"라며 "미국 명문대를 통해 부와 기회를 자식들에게 물려주는 노골적인 방식을 보여준다"고 평가했다.
특히 '아이비 플러스'로 불리는 하버드, 예일, 프린스턴, 펜실베이나, 컬럼비아, 브라운, 다트머스, 코넬 등 8개 학교와 스탠퍼드, 듀크, 매사추세츠공대(MIT), 시카고 등 기타 12학교를 중점 분석한 결과, 학생의 6명 중 1명꼴로 소득 상위 1% 가정 출신으로 나타났다. 일반적으로 부유층 자녀들이 유리한 교육환경 때문에 SAT 점수 등 학력이 높다는 점을 감안하더라도, 이같은 합격률은 인구 구성 비율상 불균형적인 결과라고 NYT는 지적했다.
명문대(초록색) 입학비율. 부모의 소득수준이 높아질수록 입학률이 높아딘다./사진=하버드대 '오퍼튜니티 인사이트' 연구결과보고서
연구에 참여한 하버드대 경제학자 수산 다이나르스키는 "이 연구를 통해 제가 내린 결론은 아이비리그가 저소득 학생을 원하지 않기 때문에 저소득 학생이 없다는 것"이라고 말했다.
NYT는 이런 현상의 원인들 중에 동문 우대와 기부금 입학이 가능한 '레거시 입학'이 가장 크다고 지적했다. 소득 상위 0.1% 가구 학생이 자신의 부모가 졸업한 명문대에 지원해 받는 '레거시' 혜택까지 받으면 합격률이 다른 지원자의 8배까지 올라갔다.
이밖에 운동 특기생 우대정책과 사립고등학교가 있다고 전했다. 다른 조건이 같을 때 소득 상위 1% 가정의 자녀는 명문대에 들어갈 확률이 4배가량 높았다. 명문대 입학하는 1% 부유층 자녀의 8명 가운데 1명이 '운동 특기'를 인정받았지만, 소득 하위 60% 가정의 자녀는 20명 중 1명만 인정돼서다.
NYT는 명문대가 인정하는 운동 특기 종목이 펜싱이나 조정과 같은 부유층에 유리한 종목이기 때문이라고 분석했다. 연구에 참여한 바스테도 교수는 "농구나 미식축구와 같은 종목에서 저소득층 자녀들이 열심히 하면 대학에 갈 수 있을 거라는 잘못된 인식이 퍼져있다"며 "하지만 (대학의) 입학담당자들은 좀 더 부유한 스포츠 종목으로 기울고 있다. 서로 '윈윈(win-win)'이라서다"고 말했다.
또 비싼 등록금을 받는 사립고등학교 출신이 명문대 합격률이 2배 이상 높았다. 사립학교들이 추천서를 잘 꾸며주고, 진학 담당자들이 대학과 적극적으로 접촉하며 학생들을 돕기 때문이라고 분석된다. 대학들은 '비학업 활동'도 입학 평가에 넣는데 주로 과외활동이나 자원봉사 등에 점수를 부여한다. NYT는 "한 명문대에서는 상위 0.1%의 학생이 중산층 학생보다 높은 '비학점 평가' 점수를 받을 가능성이 1.5배 높다고 밝혔다"며 "대학별로 비학업 평가 방식의 차이가 있겠지만, 유사한 패턴이 발견된다"고 설명했다.
빅 보이는 1940년대에서 1950년대 사이에 미국에서 사용되었던 증기 기관차이다. 그 무게만 무려 567톤에 달하는데, 3600톤의 화물을 싣고도 100km/h의 속력으로 달릴 수 있는 엄청난 힘을 자랑했다. 이 증기 기관차를 움직이는 힘은 어디에서 기인할까?
학습 목표
이상 기체 상태 방정식으로 이상 기체의 특성을 설명할 수 있다.
기체의 내부 에너지와 온도, 압력 등을 분자 운동 모형으로 설명할 수 있다.
등분배 정리를 이용하여 내부 에너지를 계산할 수 있다.
열과 일의 출입과 관련한 열역학 제1법칙을 이해하고 다양한 열역학 과정을 설명할 수 있다.
물리학 전개도
증기 기관은 석탄 등의 연료를 태워 여기서 발생하는 열을 이용해 물을 고온 고압의 수증기로 변화시킨다. 이 수증기가 팽창하여 피스톤을 밀어내고 피스톤이 움직이는 힘과 에너지로 증기 기관이 작동하는 것이다.
이와 같이 열과 온도와 관련된 현상을 다루는 열역학에 대해 공부할 것이며 이상 기체 계를 상정하여 열과 에너지의 관계를 다루는 열역학 제1법칙과 온도와 열 출입에 의해 결정되는 엔트로피와 관련된 열역학 제2법칙을 이해해보자.
1. 이상 기체 상태 방정식
기체의 상태는 부피, 압력, 온도에 의해 특정된다. 이때 기체 분자들끼리 어떠한 상호 작용을 하지 않는 가상의 기체를 '이상 기체'라 하고 이상 기체의 상태, '부피-압력-온도' 는 다음과 같은 관계를 만족한다.
[좌] N=기체 분자수, k= 볼츠만 상수, [우] n= 기체 몰수 ,R=아보가드로 상수
위의 식을 '이상기체의 상태 방정식'이라 한다. 이를 통해서 온도가 일정한 상태에서 부피와 압력의 반비례 관계(=보일의 법칙), 압력이 일정할 때 온도와 부피의 비례 관계(=샤를의 법칙)를 확인할 수 있다.
실온과 대기압 하에서 공기 분자들의 평균 거리는 대략 분자 크기의 열 배쯤 된다. 기체 분자 간의 거리가 충분히 멀면 분자들끼리 상호작용 하는 효과가 미미하기 때문에 일상의 공기를 이상 기체로 간주할 수 있다.
2. 기체 운동론
온도, 압력, 부피는 기체 분자들의 디테일한 움직임을 평균값으로 치환하여 표현한 거시적인 물리량이다.
개별 분자들의 디테일한 운동이 에너지, 온도, 압력에 어떻게 영향을 미치는지 간단한 모형을 이용하여 살펴보자.
케틀레의 통계 이론에 영감을 받은 맥스웰; 낯선 것에서 낯익은 것을 창조하는 융합적 구조 접속
오래전부터 사람들은 공기, 즉 기체가 어떻게 움직이는지 상상해왔다. 그러나 기체에는 너무나 많은 기체 알갱이들이 포함되어 있을 것이기 때문에, 기체 알갱이 몇 개의 운동을 안다고 해도 그 기체들이 어마어마하게 모였을 때 나타나는 효과를 계산하기는 어려웠다. 그렇다면 어떻게 해야 수많은 기체 알갱이들의 운동을 계산할 수 있을까?
케틀레의 정상 분포 곡선
맥스웰은 벨기에의 통계학자이자 천문학자인 케틀레가 발전시킨 통계적 방법에서 아이디어를 얻었다. 케틀레는 수많은 인간들의 집단이라 볼 수 있는 사회에서 나타나는 여러 현상들이 매우 복잡해 보이지만, 그 안에 규칙성이 있을 것이라고 생각했다. 그 결과는 정상분포 곡선을 그릴 것이며 그것을 통해 곡선의 평균값에 해당하는 '평균적 인간'의 특성을 포착해낼 수 있을 것이라고 생각했다.
전자기학에 나오는 그 맥스웰임
맥스웰은 기체 입자 각각은 0에 가까운 아주 느린 속도부터 엄청 빠른 속도까지 매우 다양한 속도를 갖겠지만 기체 입자들의 속도 전체를 모아놓고 보면 정상분포 곡선을 그릴 것이라는 가정하에 기체 입자들의 속도 분포 곡선으로부터 그 기체의 물리적 특성을 찾아내는 방법을 개척해나갔다. 이를 통해 기체 입자의 운동을 다루는 통계적이고 확률적인 방법을 세운 것이다.
맥스웰이 기체를 다루는 창조적인 방법을 찾아낸 것은 인간과 사회를 대상으로 한 분석을 통해서였다. 케틀레의 통계적 분석 방법 자체는 이미 천문학에서 사용되고 있었던 것이지만 그것으로 집단의 특성을 분석한다는 구상은 케틀레를 통해 얻었다. 한마디로 '맥스웰의 분자'는 '케틀레의 사회'에서 영감을 얻은 것이다. 맥스웰은 정상분포곡선 개념을 차용하여 기체 입자의 운동을 다루는 통계적이고 확률적인 방법을 세운 것이다.
3. 내부 에너지
내부 에너지는 계를 이루는 분자들이 가질 수 있는 총 에너지를 의미한다. 따라서 기체 분자의 운동 에너지 이외에도 기체 분자 간의 화학 결합 에너지나 입자들의 질량에 의한 정지 에너지 등도 따져봐야 한다. 하지만 이상 기체의 내부 에너지는 오로지 기체 분자의 운동 에너지만을 의미한다.
등분배 정리
앞서 구했듯이 단원자 분자 이상 기체의 병진 운동에너지는 K=3/2NkT이다. 이는 계의 내부 에너지 U가 3/2 NkT라는 뜻이다. 이처럼 이상 기체의 내부 에너지는 온도에만 의존하는 함수이다. 한편 한 방향의 병진 운동에 대한 분자당 평균 운동 에너지는 1/2kT이고, 입자는 세 방향(x, y, z)으로 움직이므로 각 방향당 1/2kT만큼의 에너지가 균등하게 분배된다고 볼 수 있다. 이를 '등분배 정리'라고 한다. 운동 에너지처럼 2차 함수 형태로 표현되는 에너지는 회전 운동 에너지, 탄성에 의한 진동 에너지가 있는데 이들도 각각 1/2kT만큼의 에너지 값을 갖는다. 만약 N개의 분자들로 이루어진 계에서 분자들이 2차 함수 형태로 표현되는 f개의 에너지를 갖고 있다면 이 계의 내부 에너지는 등분배 정리에 의해 U= f/2NkT가 된다.
운동 상황
f(자유도)
3차원 병진 운동만 하는 경우
3
3차원 병진 운동 + 회전
3+1
3차원 병진 운동 + 탄성 진동
3+1
3차원 병진 운동 + 회전 + 탄성 진동
3+1+1
4. 열과 일
물체에 열 Q를 가하면 물체의 온도가 △T 만큼 변화하게 된다. 이것을 정량적으로 표현하면
Q = C △T (= △U + W)
한 물체의 온도를 △T 만큼 변화시키는 데 필요한 열의 양을 Q라 하면 물체에 따라 필요한 열의 양이 다를 것이므로 물체의 특성을 반영한 물리량이 필요하다. 이것을 물체의 열용량 C라 하고, 열용량 C은 물체의 온도 1도 올리는 데 필요한 열의 양으로 정의한다.
열의 일당량
줄의 실험 장치
줄은 그림과 같이 회전할 수 있는 날개가 있는 용기에 물을 담고 외부에서 일을 하여 날개를 회전시키는 실험을 하였다. 그 결과 물의 온도가 올라가는 것을 확인하였고 날개를 돌리는 데 해준 일과 물의 온도 증가로부터 열과 일 사이에 정량적으로 1cal = 4.18J의 관계가 성립한다는 것을 알아냈다. 줄은 계에 에너지를 전달한다는 면에서 일(W)과 열(Q)이 동등하다는 사실을 알아냈고, 그 관계를 '열의 일당량'이라 했다.
열역학 제0법칙
열은 계에 에너지를 전달하는 한 방식으로, 온도가 다른 두 물체를 접촉시키면 자발적으로 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 전달되는 에너지이며, 두 계의 온도가 같아질 때까지 열 에너지는 이동한다. 이때 두 계는 열평형 상태에 도달한다고 정의한다.
5. 열역학 제 1법칙
Q: 계에 가한 열, △U: 내부 에너지 변화량, W: 기체가 하는 일
밥을 먹고(Q) 몸을 움직이면(W) 그 차이만큼의 에너지(△U)가 남는다. 그때 세 변수의 관계는 다음과 같다.
△U = Q - W
이제 오른쪽 그림을 보자. 어떤 계의 내부 에너지 변화량(△U)은 외부에서 계에 공급된 열(Q)에서 계가 외부에 한 일(W)을 뺀 양과 일치함을 알 수 있다. 이 관계를 설명하는 법칙이 '열역학 제1법칙'이다.
열역학 제1법칙: Q=△U+W
사실 열역학 제1법칙은 열 에너지와 역학적 에너지를 포함한 보다 일반화된 '에너지 보존 법칙'이다.
부호 규칙
Q>0 계가 열을 흡수
Q<0 계의 열이 방출
△U>0 계의 온도 증가
△U<0 계의 온도 감소
W>0 기체가 외부에 일을 함
W<0 기체가 외부로부터 일을 받음
6. 열역학 과정
기체가 팽창을 하는 경우, 기체가 하는 일은 힘과 이동 거리로 나타내기보다 압력과 부피로 나타내는 것이 편리하다. 기체가 처음 부피에서 나중 부피로 변할 때 기체가 한 일 W는
그림을 보면 처음 상태와 나중 상태가 같더라도 다른 열역학 과정을 따르는 경우 기체가 한 일은 달라진다.
1) 등압 과정
등압 과정시 압력 P가 변하지 않는다. 열역학 제1법칙 Q = △U + W(P△V) 에 의해서 열 출입이 내부 에너지와 부피의 변화에 기여하는 과정이다.
반대의 과정에서는 (압력이 일정하지만 부피가 줄어드는 경우) △V<0 이므로 W<0 이고, 온도가 감소하므로 △U<0이어서 Q<0 이게 된다. 이 경우는 계가 열을 방출한다.
2) 정적 과정
정적 과정시 부피 V가 변하지 않는다. 열역학 제1법칙 Q = △U + W(P△V) , 즉 W=0이 된다.
이 과정에서는 열 출입이 내부 에너지 변화에만 기여한다.
반대의 과정엔 온도가 감소하므로 계가 방출한 열만큼 내부 에너지가 감소한다.
3) 등온 과정
등온 과정시 온도 T가 일정하다. 열역학 제1법칙 Q = △U + W(P△V) 에 의해서 △U=0이 됨을 알 수 있다.
따라서 열 출입이 기체의 일에만 기여한다. 이때 일의 양을 구해보자. 이때는 압력이 부피에 따라 변하므로
등온과정시 기체가 하는(받는) 일의 양
4) 단열 과정
단열 과정은 외부로의 열출입이 없는 열역학 과정이다 따라서 Q=0이다. 열역학 제1법칙 Q = △U + W(P△V) 에 의해서 △U = - W 이다. 즉 기체가 외부에 일을 하면 (부피가 팽창하면) 계의 온도는 낮아지고, 기체가 외부로부터 일을 받으면 (부피가 수축하면) 계의 온도는 높아진다.
그림을 보면 단열선은 등온선보다 훨씬 가파르다. 등온선에 한해서는 PV=NkT(T가 상수)에 의해 PV=상수, 즉 부피와 압력이 반비례한다. 단열선도 얼핏 볼 때, 부피와 압력이 반비례하는 것처럼 보이지만, 부피와 압력의 정량적인 관계는 다음과 같이 정의된다.
단원자 이상 기체의 등적 몰비열, 등압 몰비열을 구해보고 단열선에 적용되는 부피, 압력 관계를 증명하겠다.
시간은 변화에 대한 관념이자 변화를 기술하기 위한 가상적 개념에 지나지 않는다. 자연에서 시간의 방향을 정해주는 것이 '엔트로피'이다. 시간은 변화에 있어서 '무질서'를 지향한다. 이처럼 자연의 모든 것은 무질서로 귀결된다는 법칙이 '열역학 제2법칙'이다. '열역학 제2법칙'이 성립하지 않는 것은 운동량이나 에너지 보존 법칙이 성립하지 않는 것보다 더 이상한 일이다.
뜨거운 물체가 식어가는 건 열이 고온에서 저온으로 이동하기 때문이며 너무나 자연스러운 반응이다. 그러나 열이 저온에서 고온으로 이동하여 뜨거운 물체가 더 뜨거워지는 것은 너무나 부자연스럽다. 이처럼 엔트로피는 열의 이동 방향을 고온에서 저온으로 결정한다.
2. 열기관
열은 고온에서 저온으로 이동하는 에너지다. 열기관은 이 흐름을 이용해서 열의 일부를 일로 전환한다. 이때 열기관의 열효율은 다음과 같다.
1) 열효율
e:열효율 W:열기관이 한 일 Q1:열기관이 흡수한 열 Q2:열기관이 방출한 열
열기관이 한 번의 순환 과정 동안 한 일 W가 Q1-Q2로 정의되는 이유는 다음과 같다.
열기관의 순환 사이클의 한 예시
열기관은 한 번의 순환 과정을 거치면 다시 원래의 상태로 되돌아오므로, 한 번의 순환 과정 동안 열기관의 내부 에너지는 변화가 없다.
열효율 100%와 엔트로피
열효율이 100%인 열기관을 만들 수 있을까? 이론상은 가능하다. 열 Q2를 0으로 만들면 된다. 버려지는 열(Q2)을 0으로 만들어서 투입한 열을 모두 일로 전환하겠다는 건 에너지 보존 법칙에도 위배되지 않는다. 그러나 열기관이 지속적으로 일하기 위해선 순환 과정을 거쳐야 한다. 이를 위해선 버려지는 열이 꼭 있어야 함을 의미한다. P-V그래프를 통해 이를 확인할 수 있다.
(가) 그래프와 같이 처음 상태로 되돌아오면 한 일의 양이 0이 되어버린다. 그렇기 때문에 (나) 그래프처럼 면적이 생기는 순환 과정을 거쳐야 열기관이 의미 있는 일(W)을 할 수 있다.
검은색 선 과정은 전체적으로 보면 부피도 늘어나고 온도도 증가하고 있으니 열 Q1를 흡수하는 과정이다.
빨간색 선 과정은 전체적으로 보면 부피가 줄어들고 온도가 감소하고 있으니 열 Q2를 방출하는 과정이다.
이처럼 순환 과정을 거쳐 그래프 면적(=열기관이 하는 일)이 생기려면 어쩔 수 없이 열 Q2를 방출해야 한다.
어쨌든 열기관이 순환 과정을 거쳐 일을 하기 위해서는 흡수한 열의 일부가 버려져야만 한다는 사실을 알겠다. 열기관에서는 버려지는 열이 저열원으로 이동한다. 그렇다면 버려지는 열이 저열원으로 가지 않고 자동으로 고열원으로 간다면 어떤가. 하지만 이런 일은 발생하기 어렵다. 열은 스스로 저온에서 고온으로 이동하지 않기 때문이다. 뭔가 추가적인 일을 해준다면 고온에서 저온으로 열이 이동할 수는 있다. 그러나 열효율을 최대화하기 위해 쓸데없는 일을 한다는 것 자체가 효율을 떨어뜨리는 모순이 되어버린다.
즉, 열효율 100%인 열기관은 열역학 제1법칙을 위배하지 않더라도 존재할 수가 없다. 에너지가 보존되는 큰 틀 안에서의 에너지의 흐름에도 일련의 법칙이 정해져 있기 때문이고, '열역학 제2법칙'이 그 흐름 방향을 결정한다.
열기관에서 표현되는 열역학 제2법칙
①열은 자연스러운 이동 방향은 고온에서 저온으로
②열을 모두 일로 바꾸는 것은 불가능하다.
③열효율이 1인 열기관은 없다.
④버려지는 열은 0이 될 수 없다.
2) 카르노기관
카르노기관은 이론적으로 열효율이 제일 높은, 굉장히 이상적인 열기관이다. 열효율은 다음과 같다.
저열원의 절대 온도가 0K 또는 고열원의 절대 온도가 ∞가 될 수 없으므로, 카르노기관의 열효율 역시 100%가 될 수 없다.
카르노기관 열효율 증명
각 단계를 살펴보면 등온 팽창 과정 (1→2) 동안 기체가 팽창하면서 온도가 T1인 고열원으로부터 열 QH를 흡수하고 단열 팽창 과정 (2→3)에서 외부와의 열 접촉이 차단된 상태로 기체의 온도가 T2가 될 때까지 팽창한다. 다음 등온 압축 과정 (3→4)을 통해 온도가 T2인 저열원으로 열 QC를 방출하면서 압축되고 마지막으로 단열 압축 과정 (4→1)을 통해 외부와의 열 접촉이 차단된 상태로 기체의 온도가 T1가 될 때까지 압축되어 처음 1번 상태로 되돌아간다.
3. 엔트로피의 정량적 접근
카르노 순환에서 내부 에너지처럼 처음 값과 나중 값이 같게 정의되는 물리량이 있다.
위의 식을 일반화하면
변수를 더욱 미소 단계로 나누면 다음과 같이 적분으로 나타낼 수 있다.
이것은 선 적분이 경로에 무관하다는 것을 나타낸다. 스토크스 정리를 연상하지 않는가?
경로에 상관없는 보존력과 스토크스 정리
따라서 Q/T의 변화량은 어떤 열역학 과정을 거치든 간에 처음 상태와 나중 상태가 같다면 같은 값으로 정의된다. 이 새롭게 정의된 상태함수 Q/T를 '엔트로피'라 한다.
S(엔트로피) = Q/T
엔트로피는 계에 열이 출입함에 따라 수반되는 양으로 계가 열을 흡수하면(Q>0) 증가하고(S>0) 열을 방출하면(Q<0) 감소하는(S<0) 양이다. 엔트로피를 이용하여 온도가 높은 물체에서 낮은 물체로 열이 이동하는 자연적인 현상을 분석해 보자.
높은 온도 TH인 물체에서 낮은 온도 TC인 물체로 열 Q가 이동할 때 엔트로피 변화는
△S = -Q/TH + Q/TC
TH > TC 이므로 위 식에 의거하면 항상 계의 엔트로피 변화량은 양수값이고 이는 엔트로피는 증가하는 방향으로 전개됨을 뜻한다.
모든 것은 엔트로피가 증가하는 방향으로 진행한다.
이 세상 모든 시스템은 총 엔트로피가 증가하는 방향으로 작동한다.
엔트로피 변화가 0인 것은 카르노 기관과 같은 이상적인 상황에 해당된다.
열기관에서 버려지는 열이 있어야 함을 엔트로피로 설명하기
열효율이 1인 열기관은 열역학 제1법칙을 만족하지만, 열역학 제2법칙을 만족하지 못한다. 버려지는 열이 0이 되면 열효율이 1이 될 수 있지만, 그렇게 돼버리면 전체 계의 엔트로피가 음의 값을 가져버린다. 전체 계 엔트로피의 변화는 항상 양의 값을 가져야만 하므로 버려지는 열은 0이 되어선 안된다.
