군이 뭘까?
수학에도 여러 가지 분야가 있어. 도형을 다루는 기하학, 함수를 분석하는 해석학, 그리고 수를 대신해 문자로 수나 방정식의 체계를 연구하는 대수학이 있지. 군은 대수학의 기본이 되는 개념이야. 군은 이렇게 약속해.
집합 A가 연산 *에 대해 다음 세 가지 조건을 만족하면 군이라고 한다.
우선 집합 A의 어떤 원소끼리 연산 *을 하더라도 그 값은 다시 A의 원소여야 한다. 또 a, b, c는 집합 A의 원소다.
➊ 결합법칙 (a*b)*c=a*(b*c)을 만족시킨다.
➋ 항등원이 있다.
➌ 역원이 있다.
여기서 항등원은 어떤 원소에 연산을 해도 그 원소가 되게 하는 원소를 뜻해. 예를들어 덧셈을 할 때 0은 어떤 수에 더해도 원래 자기 자신이 되지? 그래서 0을 덧셈의 항등원이라고 해.
두 번째로 역원은 어떤 원소에 연산을 했을 때 항등원이 되는 원소지. 1에 어떤값을 더해야 0이 될까?
1+(-1)=0이 되니까 -1은 덧셈에 대한 1의 역원인 거야.
군은 우리가 이미 쓰고 있는 수 집합에서 쉽게 찾을 수 있어. 정수는 덧셈(+)에 대해 군이 돼. 우선 정수끼리 덧셈은 (2+3)+5=2+(3+5)이므로 결합법칙을 만족시키지.
그리고 어떤 정수라도 0을 더하면 자기 자신이 되기 때문에 0은 정수의 덧셈 항등원이야. 또 어떤 정수라도 음의 부호를 붙인 값을 더하면 항등원 0이 되니까 모든 정수는 역원을 가져.
하지만 군이 되지 않는 것도 있어. 자연수는 덧셈에 대해 군이 되지 않아. 왜냐하면 자연수 1의 덧셈 역원은 -1인데, 자연수에 음수는 없기 때문이지.
이렇듯 군이란 용어는 낯설지만, 우리가자주 쓰는 수 집합에서 쉽게 찾을 수 있어.
정다각형을 군으로, 정이면체군
군에도 종류가 많아. 그중 정다각형을 이용해 만든 군이 있는데, 바로 ‘정이면체군’ 이라고 해. 정이면체군은 정다각형에 대칭요소인 회전과 반사를 통해 만든 군이야. 정이면체군 중에서 가장 간단한 정삼각형으로 만든 군을 보자~!
군을 처음 만든 갈루아
에바리스트 갈루아는 ‘군’이라는 수학적 개념을 처음 만든 프랑스 수학자다. 아벨이 5차 방정식의 일반적인 근을 구하는 공식이 없다는 것을 증명했는데, 갈루아는 더 나아가 어떤 방정식의 근의 공식이 있는지 없는지는 군의 구조를 보면 알 수 있다고 했다.
뱅글뱅글 돌리는 큐브도 군!
뱅글뱅글 돌리는 큐브도 군!큐브를 가로방향, 세로방향으로 돌리는 것을 연산으로 생각하자. 루빅스 큐브는 3가지 조건을 모두 만족시키기 때문에 군이다.
➊ 큐브를 돌리는 연산은 결합법칙을 만족시킨다.
➋ 큐브를 전혀 돌리지 않는 것은 항등원이 된다.
➌ 큐브를 돌린 후 다시 반대방향으로 돌리면 원래 모습으로 돌아온다. 반대방향으로 돌리는 것은 역원이 된다.
✚정삼각형으로 만든 군
정삼각형으로 만든 군G = {A0, A1, A2, B1, B2, B3}라 하자.
A1*B1 은 삼각형을 120˚회전한 다음 ❶번 대칭축으로 반사한 것을 뜻하는데, 그 결과는 원래 삼각형을 ❷번 대칭축에 반사한 B2와 같다(오른쪽 표 참고). A0부터 B3까지 모든 원소에 A0와 *연산을 하면 원래 그 원소가 되므로 A0는 항등원이다.
두 번째로, 모든 원소는 역원을 갖는다. 한 예로 A1의 역원은 A2다. A1*A2=A0이기 때문이다.
마지막으로 모든 원소는 결합법칙을 만족시킨다. 한 예로 (A1*A2) *B1=A0*B1=A1*B3=A1*(A2*B1)이다. 따라서 G는 군이다.
G는 군이다.
수학동아
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