2019 AMC 10B Problem 23 KMO 대비문제

평면상의 원 W 위 에 점 A(6,13) 와 점 B(12,11)이 있다.

점 A 와 점 B 에서의 두접선이 X축위의 한점에서 만난다.

원 W의 넓이는 얼마냐?

Points  and  lie on circle w in the plane. Suppose that the tangent lines to w at A and B intersect at a point on the x-axis. What is the area of w?

Solution 1.

일단 그림을 그려보세요.

좌표 평면상 에 점 A(6,13) 와 점 B(12,11)을 표시하고, A(6,13) 와 점 B(12,11)을

지나는 원을 그려보세요.

큰원이 될수도 있고 작은 원도 나올수 있어요.

원위의 두점 A(6,13) 와 점 B(12,11)에서 접선을 그어 두접선이 X축위에서

만나게 해 보세요.

그림이 그려지나요?

조건에 맞는 그림이 나올때 까지 그려보세요.

두 접선의 길이는 같다. 두접선이 C(a,0) 에서 만난다.

한점에서 원에 그은 두접선 길이가 같으니, 그림1 에서 AC=BC ,

A(6,13) ,  B(12,11), C(a,0)

피타고라스 정리를 쓰면 C(5.0)이 나온다.

 접선과 원 W의 반지름이 직각을 이루니, 원의 중심, 점A , B , C(5,0)은 한 원안에 있다.

그림 2에서 각A 와 각B 는 직각이니까, 사각형 AOBC 는 원의 원주상에 있다.

OC 는 지름 이니 중심각이 90도.

                                                            (Ptolemy's theorem)

톨레미의 정리를 이용하면 그림3 에서   식이 나온다.

여기서 d는 원의 중심과 C(5,0)사이 의 거리다.

  

점C(5,0)과 점A 나 점 B 중 한점 , 원의 중심이 직각삼각형을 이룬다.

피타고라스 정리를 이용하면  ,   

원의 넓이는 .이다.

Solution 2

​ 두 접선의 길이가 같으니 점 C(5,0) 의 좌표를 구했다.

​선분 AB의 중점은 M(9,12).

​원의 중심이 점C 와 점M 을 통과하는 선상에 있다 (그림1).

​​원의 중심이 y = 3x - 15 선상에 있다.

​선분 AC는 y = 13x-65 이다.

​선분 AC에 수직인 선분 AO는 기울기가 - 1/13 이다.

​선분 AO는 y = - x/13 + 175/13 이다.

​이 직선이 A(6,13) 과 (x, 3x-15) 를 지난다.

​.

​원의 중심이 (37/4 , 51/4) 이다.

​원의 중심 (37/4 , 51/4) 과 점 A(6,13) 사이의 거리는  이다.

원의 반지름 이니 ​원의 넓이는 .

​

Solution 3

​AB의 중점은  M(9,12) .

​점 A 와 점 B 에서의 두접선이 X축위의 한점에서 만난다 C(a,0).

​CM은 AB의 수직 이등분선이다.

원의 중심을 O 라 하자.

​삼각형 AOC 와 삼각형 MAC 는 닮음꼴이다 .

​

AB의 기울기는 ​

CM의 기울기는 3.​

​CM은 y = 3x -15

​y=0 , x=5

​C = (5,0)

 

원의 넓이는 

  원의 넓이를 3가지로 구해 보았는데 ,다른 방법을 이용해서도 풀수 있겠지요.

여러가지 방식으로 풀어보면서 사고력과 창의력을 길러보세요.

궁금한게 있으면 연락하세요.

010-3549-5206

원장의 고백 "자존감 떨어진 아이들…남은 건 무반응"

부산에 딱 하나 있던 영재고가 2008년 전국 8개로 늘어나면서 영재고 입시를 위한 사교육 시장도 폭발적으로 성장합니다.

앞서 초등학생들 선행 학습 실태를 보셨는데요.

정부가 나랏돈으로 인재를 키우겠다는 건데 정작 부모 돈으로 학원에서 영재고 입시생을 키우고 있는 기이한 현상, 학원 원장 마저도 "국가적 낭비"라고 말할 정도입니다.

직접 들어보겠습니다.

◀ 리포트 ▶

한 해 영재고 선발인원 8백명에 1만 2천명 응시한다는데?

[대치동 입시학원 원장]
"그건 중3때 이야기고, 그 학생들이 초4-초6 시절에는 대략 한 5만 명 정도 학생들이 영재고를 생각하면서 선행학습을 시작을 해요."

영재고 준비하는 학생이 그렇게 많은가?

[대치동 입시학원 원장]
"전국 평균 10% 정도를 말씀드린 거고, 대치동에 거주하는 초등학생들의 거의 한 30% 수준은 과도한 선행학습에 사로잡혀 있다, 라고 보시면 됩니다."

얼마나 선행학습을 하나?

[대치동 입시학원 원장]
"초등학교 4학년때 중학교 과정을 시작을 해요. 빠른 학생은 초등학교 6학년 때 고등학교 과정을 들어가고요. 6학년때 이미 고등학교 1학년 수학이 완료된 학생들이 많아요."

초등학생 수준에서 그게 가능한가?

[대치동 입시학원 원장]
"영재고를 준비할 수 있는 수준의 학생은 1%, 정말 많이 잡아도 2%에요. 2%를 벗어나는 학생인지는 대략 3개월 정도 가르쳐보면 선생님들은 압니다. (적합하지 않다) 조언을 학부모한테 드리면, 학부모님들께서는 학원을 옮깁니다."

못따라가는 아이들은 어떤가?

[대치동 입시학원 원장]
"굉장히 수업을 따라가는 것 자체가 고통스러울텐데 그 중압감을 이기지 못하고, 부모님의 기대에 실망시켜 드리고 싶진 않고...자존감이 떨어지게 되면 무반응으로 나타나요. 좋은지 싫은지 무반응 상태로 갑니다."

영재고 입시의 가장 큰 문제는?

[대치동 입시학원 원장]
"지금 과학고나 다른 특목고, 자사고는 지필고사가 실시될 수가 없습니다. (그런데) 영재학교만 지필고사가 4시간에서 5시간 정도 실시되거든요. 수준이 거의 서울대학교 심층면접…"

지필고사 5시간에 1박 2일 캠프까지 통과하면 영재 아닌가?

[대치동 입시학원 원장]
"학원을 4년 내지 5년을 다니게 되면 길러줄 수 있는 문제해결력이에요. 정말 우수 인재냐 아니면 학원에서 길러낸 인재냐 생각해볼 문제."

사교육 종사자가 왜 이런 이야기를?

[대치동 입시학원 원장]
"훨씬 더 고차원적인 수준의 연구활동을 할 때 에너지를 써줘야 하는데 그 에너지를 제가 볼 때는 영재고 입학에 대부분을 씁니다. 이건 국가적 차원에서 정말 낭비라고 생각합니다."

영재고 폐해...해결책이 있을까?

[대치동 입시학원 원장]
"지필고사가 폐지되면 무리한 선행학습에 대한 요구가 사라질 거에요. 굉장히 많은 사교육비가 영재고 입시, 더 심각한 건 그 대상이 초등학생이란거죠. 저는 이런 사교육은 하지 않았으면 좋겠다…사교육자의 고해성사입니다."
iMBC

"영재고는 명문대 골든로드"…초등생부터 채찍질

수학이나 과학을 특출하게 잘하는 학생을 뽑아서 나라의 인재로 육성하기 위한 '영재 고등학교'가 전국에 8곳 있습니다.

모두 정부 지원을 받는 국, 공립입니다.

내년도 입학 경쟁률이 15.3대 1, 재작년부터 다시 높아지고 있습니다.

세종시 영재고는 30대 1이 넘습니다.

그런데, 한 해 8백 명 정도를 뽑는 영재고 입시를 위해서 선행 학습 열풍이 초등학교 저학년으로 번지고 있습니다.

이 문제, 오늘 집중해서 짚어 보겠습니다.

먼저, 선행 학습 실태를 한수연 기자가 취재했습니다.

◀ 리포트 ▶

서울 목동의 한 수학·과학전문학원, 밤 9시를 훌쩍 넘긴 시간인데도 불이 환하게 켜져 있습니다.

강의실 안을 들여다보니 초등학생들이 열심히 수학 문제를 풀고 있습니다.

밤 10시가 지나자 학원 앞 1차선 도로는 아이를 데리러 온 부모들의 차량들로 금세 주차장이 됐습니다.

"난 분수가 나왔어."
"나도 나도. 분수가 나왔어. 8분의 25 나왔어."

수학 문제 정답을 맞춰보며 우르르 나오는 학생들은 초등학교 3-4학년.

"(몇 학년인데 지금 끝났어?) 4학년이요. 거의 맨날 이 시간에 (끝나요.)"

학원 입구엔 저녁 먹을 시간도 없는 아이들을 위해 학부모들이 배달시킨 도시락들이 놓여 있습니다.

[학부모]
"초2인데도 중3 거 하고 그러니까, 우리 애는 늦은 거 아닌가…(중1에) 과학은 고2, 수학은 일단 고1 과정까지는 해야 KMO(수학경시대회)를 볼 수 있다고 해서…"

이렇게 선행학습을 하는 초등학생들의 목표는 일단 영재고 입학.

명문대 진학을 보장하는 이른바 '골든로드'로 통하기 때문입니다.

[중학교 1학년생 학부모]
"서울(과학고) 가서 의대 간 케이스도 있고. (대학 갈 때) 좀 더 유리하지 않을까…어차피 고등학교 공부하는 거니까 괜찮겠다 해서…"

골든로드의 첫 관문은, 초등학교 때 교육청이나 대학 부설 영재교육원 입학해 '연구 스펙'을 만드는 겁니다.

[중학교 1학년생 학부모]
"(영재고에서) 수학·과학 연구 실적을 내라고 그러면 사교육을 받을 수밖에 없는 거죠. 자기 혼자 하기엔 너무 부족하고, 학교에서 하는 것도 아니고…"

그리고 중학교 때 수학, 과학 경시대회에 나갑니다.

그러려면 초등학교, 늦어도 중학교 1학년 때 최소 고1 과정을 마쳐야 한다는 겁니다.

아예 영재고 대비 맞춤형 컨설팅을 제공하는 학원도 성업 중입니다.


"초등학교 5학년인데 영재학교 지망하신다 할 때 아이가 설곽(서울과학고)이 나을지, 경곽(경기과학고)이 나을지, (학원이 아닌) 과외형이 나을지…(그걸 길게 짜주시는 건가요?) 그렇죠 그렇죠. 실제로 많이 (컨설팅) 받고 있고."

학원가에서는 초등학교 때부터 시작되는 영재고 대비 사교육에 1인당 1억 6천만 원가량이 든다고 추산합니다.

"영재성이 있다 할지라도 입학하기가 어려운 실정이죠. 선행학습을 많이 요구하고 사교육에 의존해야만 합격할 수 있는 이런 입시를 유지하는 건 굉장히 불합리하고 불공정하다."

MBC뉴스

치매 예방 수학 게임: 마지막 남은 한 장에 쓰인 수

쓰여진 숫자가 같은 카드가 각각 4장씩 있다.
이 중에서 1부터 10 까지 쓰여진 카드 40장을 가지고 와서 게임을 한다.
한 사람이 세 장의 카드를 뽑는데 쓰여진 세수의 합이 10의 배수가 되면 그 카드를 가지고 간다.
이 게임을 진행할 경우 마지막 남은 한 장에 쓰인 수를 구하시요.
 (KMO BIBLE COMBINATORICS 한국수학올림피아드 바이블 조합 p 257 종합문제 7.21)

풀이:

(설명1) KMO 준비 하는 학생대상 
40장의 카드에 쓰인수의 총합은 (1+2+3....+10) * 4 = 220이다.
10의 배수이면서 세장의 카드를 뽑을 때 나올 수 있는 카드에 쓰인 수의 합은 10 ,20 ,30 이고,
합이 10인경우가 x 쌍, 합이 20인경우가 y 쌍, 합이 30인경우가 z 쌍이라 하면 ,
x , y , z는 정수이고 마지막으로 남은 한 장의 카드에 쓰인 수는
220 - ( 10 x + 20 y + 30 z ) = 10 (22 -x -2y -3z ) 이다.
따라서 남은 한 장 에 쓰인 수는 10의 배수이다.
그러므로 남은 카드의 수는 10 이다.

여기까지는 KMO 준비 하는 학생대상 설명입니다.

(설명2) 일반 학생대상 
1부터 10 까지 쓰여진 카드가 각각 4장씩 있으니까 모두 40장이다.
1부터 10 까지 합이 11 * 10 / 2 = 55 이다.
4 세트가 있으니 모두 55 * 4 = 220

40을 3으로 나누면 13 과 나머지 1 이니까.
카드 3장씩 13번을 가져 가고, 마지막 남는수가 우리가 찾고있는 카드고 답이군요.

세수의 합이 10의 배수가 되면 그 카드를 가지고 가는데 10 , 20 ,
3카드 모두 10이 나와서 가장클때 30 까지 나올수 있다.

세 장의 카드를 뽑는데 쓰여진 세수의 합이 10의 배수가 되는 경우는 1+3+6=10
5+7+8=20, 10+10+10=30 등이있다.

(이런식으로 10이 나오는경우, 20이 나오는경우, 30이 나오는 경우를 일일이 찾지마세요.
잘 찾아 지지도 않고 시간만 갑니다. 학생들의 시간은 매우 소중합니다.
문제 풀수있는 시간도 한정 되어있고, 빠르고 정확하게 풀어야 되고
사실 쉬운 방법이 어쩌면 가장 어려울지도 모릅니다.
어렵지만 전략을 짜서 해결하는 방법이, 21세기를 당당하게 살아가는
자신감 넘치는 젊은이가 되는
가장 쉬운 지름길  입니다.
되도록이면 수학적 ,논리적인 방법으로 해결하고, 생각하는 힘을 기르도록 하세요.
수학을 배우는 목적 이기도 하고요....)

10의 배수가 되어 가져간   1,3,5,6,7,8,10,10,10을 제외한
40-9=31 개중 카드 3개씩 10번을 가져가면 1장의 카드가 남는데 그카드에 쓰여 있는 수가
답이다.

합이 10인경우가 x 쌍, 합이 20인경우가 y 쌍, 합이 30인경우가 z 쌍이라 하면 ,
합이 10인경우가 x 쌍일때 그합은 10x
합이 20인경우가 y 쌍일때 그합은 20y
합이 30인경우가 z 쌍일때 그합은 30z

 가지고간  카드에 쓰여진 숫자의 합은 10x + 20y +30z 이다.

마지막으로 남은 한 장의 카드에 쓰인 수는
220 - ( 10 x + 20 y + 30 z ) = 10 (22 -x -2y -3z ) 이다.
(22 -x -2y -3z )값이 얼마든간에 10* (22 -x -2y -3z ) 은 10의 배수이다.
카드에 쓰여진 수가 1부터 10 까지 이니까 (22 -x -2y -3z ) = 1 이고
10 * 1 = 10 이다.
그러므로 남은 카드의 수는 10 이다.

(설명3) 학생아닌 일반인 대상 

문제해설 및 게임 방법


1부터 10 까지 쓰여진 카드 40장을 가지고 와서 게임을 한다.
 poker 서양포커 나 동양화  를 준비하세요
동양화의 경우 익숙한 분들은 숫자가 안쓰여 있으니 암산에 도움이 됩니다.


1부터 10까지 4장씩 모으세요.

아니면 종이에 1부터 10까지 쓰고,  아니면 그리고 해도 됩니다.
혼자해도 되고 두사람이 해도 됩니다.
카드를 뒤집어놓고 해도 되고,펴 놓고 해도 됩니다.
편하신 데로 하시면 됩니다.

한 사람이 세 장의 카드를 뽑는데 쓰여진 세수의 합이 10의 배수가 되면
그 카드를 가지고 간다.
세수의 합이 10의 배수가  아니면 다시 덮어놓으면 암기에 도움이 되겠지요.
다음 카드 뽑을때 기억해서 10의 배수 만들수 있으니.
여러 가지로 변형해서 게임을 다양하게 해 보세요.
아마 이런 수학카드 게임은 해본 사람이 거의 없을것 같군요, 방금 생각나서
고안한 게임이니까 .
세계최초 로 뭔가 하기가 이렇게 쉽네, 그렇죠!

이 게임을 진행할 때 마지막 한장이 남을때까지 계속 합니다.
한장이 남기보다 여러장이 나오는 경우가 많을겁니다.

여러번 반복해도 마지막 한장만 나오지 않을 경우
카드를 덮어버리고
차한잔 끓여마신후 다시 반복해 보세요.


세수를 합쳐서 10이 나오는 경우를 모두 찾아보고
세수를 합쳐서 20이 나오는 경우를 모두 찾아보고
세수를 합쳐서 30이 나오는 경우를 모두 찾아보고
마지막이 가장 어려울것 같은데 예상외로 쉽군요 .

<가까이 할아버지 할머니 계시면 동서양 카드 편의점가서 사서 게임방법 설명드리고
같이 해 보세요.두뇌회전에 도움도 되고 생각하면서 노는 즐거움도 있을 거예요.>

만약 마지막 한장 그것도 10번 카드만 남았다면 치매는 남의 일입니다.
 여러가지로 응용 가능하니까 재미있는 게임 개발해서 알려주세요.

010-3549-5206으로

감사합니다.

수학 기호 이야기 무엇이 무엇이 똑같을까? =

‘평등’은 인류 사회의 영원한 화두다. 누구나 평등한 사회를 꿈꾸지만, 아직까지 모든 사람이 완벽하게 평등했던 시절은 없다. 아마 그런 날은 영원히 오지 않을 가능성이 높다. 모든 사람은 고사하고 단 두 명조차 완벽하게 평등하기는 힘들다. 한 가정에서 자란 쌍둥이라고 해도 말이다.

그러나 수학에서는 다르다. ‘똑같다’라는 뜻의 기호 ‘=’가 수학에서 쓰였다면, 그건 정말 똑같다는 뜻이다. =의 양 옆에 있는 수나 식은 정말 한 치의 오차도 없이 똑같다.

출처 : GIB

쌍둥이 같은 두 직선 ＝

둘 이상의 수나 식이 서로 같다는 것을 나타낼 때는 등호 ‘＝’를 사용한다. 아무리 수학을 모르는 사람이라도 알고 있는 기호로, 수학이 아니라 일상생활에서도 간단하게 ‘같다’는 뜻을 나타내기 위해 쓸 때가 많다.

등호의 원조는 영국의 수학자이자 의사인 로버트 레코드다. 그는 옥스퍼드대에서 수학을 가르치면서도 궁정에 초빙돼 에드워드 6세와 메리 여왕의 주치의를 지낼 정도로 유능한 의사였다. 또한 천문학에도 조예가 깊어 영국 최초로 코페르니쿠스의 지동설을 이해하고 이를 주장한 사람으로도 잘 알려졌다.

그는 여러 권의 수학책을 출간했는데, 1557년에는 영국 최초의 대수학책인 <지혜의 숫돌>을 썼다. 바로 이 책에서 세계 최초로 등호 =를 사용했다. 로버트 레코드의 등호는 현재의 등호보다 매우 긴 모양이었다. 그는 자신의 책에 등호 =를 소개하며 다음과 같은 글을 썼다.

“…‘같다’는 단어가 지루하게 반복되는 것을 피하기 위해, 길이가 같으면서도 평행해 마치 쌍둥이 같은 두 직선 =을 사용할 것이다.…”

레코드의 이 글은 수학에서 기호가 만들어진 이유와 그 중요성을 보여준다. 수학자들은 간단한 기호를 사용함으로써 긴 문제도 간략하게 표현할 수 있게 된 것이다. 또한 기호는 언어에서 발생하는 오해의 소지도 없앨 수 있다. 우리 생활 속에서 흔히 쓰이는 ‘똑같다’는 말은 사실 완전히 똑같지 않을 때에도 많이 쓰이지만, 수학에서 ≡, ＝ 기호가 쓰였다면 완벽히 똑같은 것을 의미하기 때문이다.

등호의 다양한 변식

등호는 변형된 형태로 다양하게 쓰인다. 등호에 선을 하나 더 그은 ≠은 양 옆이 똑같지 않다는 뜻이다. 직선을 물결 모양으로 바꾼 는 똑같지는 않아도 거의 비슷하다는 뜻이다. 여기에 또 선을 하나 그은 은 물론 비슷하지 않다는 뜻이다.

수나 식이 아니라 도형이 같은 합동의 경우에도 등호와 비슷한 기호를 쓴다. 합동은 모양과 크기가 똑같아서 서로 완전히 포개지는 도형을 말한다. 합동을 나타내는 기호는 ≡다. 우리가 익히 아는 등호에 한 줄이 더 있는 모양이다. 예를 들어 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 합동이면 △ABC ≡ △DEF라고 쓴다.

기호 ≡는 어떻게 합동을 나타내는 기호로 쓰이게 된 걸까? 사실 19세기까지만 해도 합동을 나타내기 위한 기호로 ≡보다 를 더 많이 사용했다. 기호 는 1824년 독일의 수학자 칼 몰바이데(1774~1825)가 처음 사용했다. 그런데 칼 몰바이데 역시 이 기호를 독창적으로 만들었다기보다는 1710년 독일의 수학자 라이프니츠가 사용한 기호 에서 따왔다.

독일의 수학자 라이프니츠는 같음을 나타내는 기호 를 사용했다.
출처 : 위키미디어

기호 ≡를 처음으로 사용한 건, 1801년 독일의 수학자 가우스였다. 하지만 가우스는 원래 도형의 합동이 아니라 ‘정수론에서의 합동’ 관계를 나타내기 위해 ≡를 사용했다. 정수론에서의 합동은 대수학의 개념으로 고등수학에서 배운다. ‘두 정수 a, b에서 그 차가 정수 m으로 나누어떨어질 때 a, b와 m을 법으로 하여 합동’이라고 하며, 이를 ‘a≡b(mod m)’이라고 쓴다. 즉, 기호 ≡는 정수론에서의 합동으로 주로 사용되다가, 점차 도형의 합동을 나타내는 데에도 쓰이게 되었다.

한편, 모양은 같지만 크기가 다른 도형은 ‘닮음’ 관계에 있다고 한다. 어떤 도형을 일정한 비율로 키우거나 줄이면 처음 도형과 ‘닮음’인 도형을 만들 수 있다. 도형의 닮음을 나타낼 때는 기호 를 사용하는데, 이 기호

의 원조 역시 라이프니츠로 보인다. 라이프니츠는 1679년 한 원고에서 닮음을 나타내기 위해 또는 이와 상하가 반대인 ∼를 사용했다고 전해진다. 라이프니츠는 ‘닮음’이란 뜻의 라틴어 similis의 첫 자인 S를 변형해 닮음 기호를 만든 것으로 알려지고 있다.

사이언스올

수학 기호 이야기 끝없는 원주율을 나타내는 π

출처 : GIB

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812…

무슨 수일까? 보기만 해도 아득해지지만, 앞의 몇 자리만 읽어보자. 3.14…. 여기까지만 보면 아마 무슨 수인지 알 것이다. 바로 원주율이다.

원주율은 원의 둘레를 지름으로 나눈 결과다. 원의 크기가 달라도 둘레와 지름의 비는 항상 똑같다. 원주율은 무한소수다. 끝도 없이 이어지고 있다는 소리다. 소수점 아래 일정 부분이 반복되는 순환소수도 아니어서 숫자로는 정확히 나타낼 수 없다. 요즘에는 컴퓨터로 원주율은 계산하는데, 최고 기록이 소수점 아래 1013자리 정도다.

누구에게나 익숙한 상수인 만큼, 원주율을 나타내는 π라는 기호 또한 익숙하다. 이 기호 π는 대체 어떻게 탄생한 것일까? 원주율과 기호 π의 역사에 대해 알아보자.

원주율의 근삿값을 구한 아르키메데스

원주율처럼 순환하지 않는 무한소수를 ‘무리수’라고 한다. 무한히 계속되며 순환하지 않는 소수인 원주율을 정확히 구하기 위한 수학자들의 노력은 고대부터 오늘날까지 계속되고 있다. 맨 처음 등장한 π의 근삿값은 3이었다. 약 5000년 전 고대 메소포타미아에서 원주율이 3으로 쓰였고, 고대 중국의 수학책인 <구장산술>에도 원주율을 3으로 계산한 기록이 남아 있다.

고대 그리스의 수학자 아르키메데스는 다각형이 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우를 비교해 원주율의 근삿값을 계산했다. 그가 구한 원주율은 3.1408…에서 3.1429… 사이였다.
출처 : 위키미디어

한편, 기원전 3세기의 고대 그리스의 수학자 아르키메데스는 다각형이 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우를 비교해 원주율의 근삿값을 계산했다. 즉, 원의 둘레는 외접하는 다각형의 둘레보다 짧고 내접하는 다각형보다 길다는 사실을 이용한 것이다. 이때 다각형의 변이 많아질수록 외접하는 경우와 내접하는 경우의 둘레의 차가 작아지므로 원의 둘레에 가까워진다. 아르키메데스는 이와 같은 방법으로 정96각형을 이용해 원주율의 근삿값을 3.1408…< π < 3.1429…와 같이 구했다.

아르키메데스가 원주율을 구한 계산법은 사람들에게 널리 알려졌고, 그 결과 오늘날까지 원주율을 ‘아르키메데스 상수’라고 부르기도 한다. 컴퓨터를 사용하지 않고 가장 긴 자리의 원주율을 계산한 사람은 영국의 수학자 윌리엄 샹크스다. 그는 1873년, 15년 동안의 계산을 통해 소수점 이하 707자리까지의 원주율 값을 계산했다. 하지만 이후 그의 계산은 528자리까지만 정확한 것으로 밝혀졌다.

현대에는 컴퓨터를 이용해 원주율을 계산한다. 이런 방법에 큰 수학적 의미는 없지만, 컴퓨터의 성능을 파악하는 데 쓰이고 있다. 2010년에는 일본의 한 회사원이 90일 7시간 동안 컴퓨터로 원주율을 계산해 소수점 이하 5조 자리까지 구했다.

π의 역사

원주율 기호 π는 그리스 문자로, ‘파이’라고 읽는다. 원주율을 나타내는 기호로 π를 처음 사용한 사람은 누구일까? 우선, 영국의 수학자 윌리엄 오트레드는 1647년 원주율을 δπ로 나타냈다. π를 쓰기는 했지만 원주율 대신 원의 둘레란 의미로 사용됐고, δ는 지름을 나타낸 것으로 보인다.

우리가 현재 사용하고 있는 의미로 π를 처음 사용한 사람은 영국의 수학자 윌리엄 존스다. 그는 1706년에 발표한 책을 통해 “특정 도형의 길이나 넓이를 구하는 계산에 매우 유용한 여러 방법이 있다. 원을 예로 들면 지름이 1인 원의 둘레를 약 3.14159…= π로 표기하는 것이다”라며 기호 π의 사용을 제안했다. 윌리엄 존스는 둘레를 뜻하는 고대 그리스어 ‘περιφηρής’ 나, 둘레의 길이를 뜻하는 ‘περίμετρον’의 첫 글자를 따서 π를 사용한 것으로 보인다.

스위스 수학자인 레온하르트 오일러는 1736년 원주율을 나타내는 기호로 처음 π를 사용했다.
출처 : 위키미디어

하지만 π가 금방 널리 사용된 것은 아니다. 1740년대까지도 원주율의 기호로 π 대신 다른 문자가 사용되기도 했다. π 대신 라틴어 peripheriam(주변)의 첫 글자인 p나, 라틴어 circumferentia(원주)의 첫 글자인 c를 사용하기도 했다. π가 널리 사용되기 시작한 것은 스위스의 수학자 오일러 덕분이다.

그는 당시 유럽에서 매우 영향력 있는 수학자였다. 오일러가 1736년 자신의 책에서 원주율을 나타내는 기호로 π를 사용하면서부터 원주율을 π로 표기하는 방법이 빠르게 퍼져나가기 시작했다.

가장 아름다운 공식으로 꼽히는 오일러 공식.

π는 수학자들이 뽑은 가장 아름다운 공식인 ‘오일러 공식’에서도 발견된다. 또한 수학뿐만 아니라 물리학에서 나오는 불확정성의 원리나 동역학 등에서도 π는 그 모습을 드러낸다.

만약 π가 없었다면 어땠을까? 매번 무리수인 원주율을 쓰는 건 여간 곤혹스러운 일이 아니었을 것이다. 또한 가장 아름다운 공식도 만나지 못했을지도 모를 일이다.

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수학 기호 이야기 개념보다 먼저 등장한 무한대 기호 ∞

세상에서 가장 큰 수는 무엇일까? 생각해 보면 가장 큰 수는 있을 수가 없다. 아무리 큰 수를 생각해도 거기에 1만 더하면 더 큰 수가 되기 때문이다. 이처럼 수가 커지는 데는 한계가 없다. 그래서 수학에서는 무한대라는 개념을 만들었다. 말 그대로 한계가 없이 영원히 커지는 상태를 말한다. 상상하기 어려운 개념이지만, 이 개념을 나타내는 기호 역시 있다. 일반적인 숫자로는 나타낼 수 없기 때문에 따로 기호를 만든 것이다.

뒤늦게 나타난 무한대 기호

무한대라는 개념은 오래 전부터 희미하게 있었다. ‘제논의 역설’로 유명한 그리스 철학자 제논도 무한대라는 수학적인 개념을 언급한 바 있다. 고대 인도의 수학에도 무한대라는 개념이 등장한다.

무한대를 나타내는 기호 ∞는 그로부터 약 2000년 뒤에야 등장했다. 1655년 영국의 수학자 존 월리스가 쓴 책에 처음 등장한 것이다. 월리스는 원래 영국 케임브리지대에서 신학을 공부한 성직자였지만, 수학과 물리학에 관심을 갖고 다시 공부해 1649년 영국 옥스퍼드대의 기하학 교수가 된 인물이다. 결과적으로 그가 수학으로 전공을 바꾼 일은 굉장히 잘한 일이었다. 이탈리아의 수학자 카발리에리나 프랑스의 수학자이자 철학자인 데카르트의 생각을 이어 극한 개념을 수학적으로 발전시켰기 때문이다.

우주의 크기처럼 무한대를 나타낼 때는 어떤 기호를 쓸까? 무한대를 나타내는 기호 ∞는 1655년 영국의 수학자 존 월리스의 책에 처음 등장했다. 출처: GIB

이뿐만 아니라 월리스는 천문학, 식물학, 음악 등 다방면에 재능을 보였는데, 그중에서도 암호 해독에 두각을 나타냈다. 월리스는 ∞를 무한대 기호로 선택한 이유를 따로 설명하지 않았지만, 사람들은 1000을 나타내는 옛 로마 숫자 CI 또는 C 에서 유래했을 것으로 추측하고 있다. 이는 1000이 옛 로마뿐만 아니라 당시 영국에서도 무한대를 의미할 만큼 매우 큰 수였기 때문이다.

CI 나 C 의 모양도 ∞와 매우 비슷하다. 한편, ∞가 그리스의 알파벳 가장 마지막 글자인 오메가 ‘ω’에서 유래했다는 설도 있다. 이는 오메가가 흔히 ‘끝’을 상징하는 알파벳으로 사용되고, ∞와도 그 모습이 닮아서다.

무한대 기호는 디자인 요소로도 많이 쓰인다. 출처 GIB

무한의 개념을 수학적으로 증명한 칸토어

무한대 기호가 등장했음에도, 문제는 있었다. 그때까지도 무한이라는 개념이 수학적으로 엄밀하게 완성되지 않았던 것이다. 보통은 수학 개념이 먼저 정립된 뒤에야 이를 나타내는 기호가 여러 변천 과정을 거쳐 오늘날과 같은 모양에 이른다. 그러나 무한의 경우에는 그 순서가 정반대다. 기호 ∞가 먼저 자리를 잡은 다음, 약 200년이 지난 뒤에야 무한의 개념을 수학적으로 엄밀하게 정의할 수 있었던 것이다.

기호가 등장한 뒤에도 무한은 그저 인간이 셀 수 있는 한계를 넘어선 매우 큰 수 정도로 여겨질 뿐이었다. 예를 들어 18세기 스위스의 수학자 레온하르트 오일러는 무한이 수의 하나라고 했지만, 무한의 개념이 무엇인지, 어떤 성질을 갖고 있는지 확실히 설명하지 못했다. 자신의 책 <대수학>에서는 아무 설명도 없이 10을 무한이라고 썼다.

당시 무한은 인간의 한계를 초월한 신의 영역으로 여겨지기도 했다. 무한을 분석하거나 규명하는 게 수학계의 금기로 여겨질 정도였다. 심지어 ‘수학의 황제’라 불리는 독일의 수학자 가우스조차 ‘무한이란 수학적으로 가치가 없다’고 말하기도 했다.

게오르그 칸토어 출처 : 위키미디어

19세에 이르러서야 수학의 금기에 도전한 수학자가 등장한다. 바로 독일의 수학자 게오르그 칸토어다. 그는 1878년 집합론을 창시하며 ‘무한’이란 난제의 돌파구를 찾는다. 칸토어는 집합론을 이용해 무한의 개념을 수학적으로 정의하며, a1, a2, a3, …과 같은 수열에서 아무리 큰 수 x를 골라도 이 수보다 큰 수는 반드시 존재한다고 발표했다. 하지만 이런 주장은 당시 수학자들에게 쉽게 받아들여지지 못했다. 스승인 크로네커조차 새로운 생각을 받아들이지 못하고 칸토어가 수학계에 도전한다며 독설을 퍼부었다.

칸토어는 홀로 수많은 비판자와 맞서 외로운 투쟁을 벌였지만, 결국 정신적 압박을 이기지 못하고 정신병원을 오가는 생활을 하게 된다. 그러다 1918년, 한 정신병원에서 숨을 거두고 말았다. 그래도 다행히 죽기 전에 스승인 크로네커와 화해하고, 업적을 인정받았다.

“수학의 본질은 자유에 있다”고 주장한 칸토어의 말처럼, 상식을 뒤집어 생각을 전환할 때 위대한 발견을 할 수 있다는 사실을 기억하길 바란다.

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수학 기호 이야기 미지의 존재를 나타내는 χ

1895년 독일의 과학자 빌헬름 뢴트겐은 음극선을 조사하던 중 미지의 광선을 발견했다. 이 광선은 두꺼운 종이는 물론 책까지 뚫고 지나갔다. 호기심을 느낀 뢴트겐은 연구를 계속했고, 아내의 손에 이 광선을 쪼여 사진을 찍기도 했다. 이 사진에는 손뼈가 고스란히 드러나 있었는데, 뢴트겐은 이 광선을 의료용으로 쓸 수 있다는 생각을 떠올렸다.

그 결과 우리는 병원에서 이 광선을 이용해 몸속을 들여다본다. 원래 이 광선은 ‘뢴트겐 광선’이라고 불렸다. 그런데 뢴트겐은 여기에 ‘X선’이라는 이름을 붙였다. 뭔지 모를 광선이라는 뜻이었다.

뢴트겐이 처음으로 찍은 아내의 손. 출처 위키미디어

이런 X의 뜻은 수학에서 유래했다. 수학에서 χ가 미지수를 나타내는 기호이기 때문이다. 물리학자였던 뢴트겐은 수학에 익숙했을 것이다. 오늘날에는 웬만한 사람이면 미지수 기호로 쓰는 X가 익숙하다. X선 말고도, X파일, X맨 등 일상생활에서는 X는 미지의 것을 나타내는 뜻으로 많이 쓰인다. 익숙하다 못해 이제는 일상생활에까지 진출한 기호 χ의 유래에 대해 좀 더 자세히 알아보자.

미지수, 현대 사회의 필수품

종양의 크기를 줄이려면 방사선을 얼마나 쬐어야 할까? 로켓이 중력을 뿌리치고 지구를 탈출하려면 얼마나 빠른 속도로 날아야 할까? 이런 질문에 답하려면 반드시 미지수의 값을 구해야 한다. 이처럼 현대 사회에서 미지수의 값을 구해야 하는 상황은 매우 많다.

만약 미지수를 나타내는 기호가 없다면, 우리는 모든 문제를 말로 풀어 써야한다. 다행히 기호 x를 사용해 미지수를 나타내고 있어, 이런 질문을 방정식이나 부등식의 형태로 만들어 풀 수 있다.

그렇다면 미지수 기호를 처음 사용한 사람은 누구일까? 기록에 따르면 미지수 기호를 사용한 최초의 사람은 3세기 그리스 수학자 디오판토스다. 여러 기호를 만들어 대수학의 아버지라고 불린다. 그는 미지수를 ζ(제타)로 나타냈다.

디오판토스 이후 현대적 의미에서 미지수를 표현한 사람은 프랑스의 수학자 프랑수아 비에트다. 그는 미지수를 표현하기 위해 알파벳 모음의 대문자인 A, E, I, O, U를, 기지수(이미 알고 있는 양)를 표시하기 위해 알파벳 자음의 대문자인 B, C, D 등을 사용했다.

수학의 아버지라 불리는 디오판토스의 <정수론>. 이 책에서 디오판토스가 사용한 미지수 ζ(제타)를 볼 수 있다. 출처 : 위키미디어

미지수, x로 자리잡다

비에트의 방식은 다시 프랑스의 수학자 데카르트에 의해 바뀐다. 데카르트는 기지수를 나타 낼 때 알파벳 앞쪽부터 소문자 a, b, c, …를, 미지수를 나타낼 때는 알파벳 뒤쪽부터 소문자 x, y, z를 사용했다. 현대까지 쓰이고 있는 문자 기호 표기법을 만든 것이다. 그리고 1637년 자신의 책 <기하학>에서 미지수를 주로 x로 표기했다.

미지수를 나타내는 기호로 y나 z보다 x를 주로 쓴 이유에 대해서는 여러 가지 설이 있다. 가장 잘 알려진 건 데카르트의 책 <기하학>을 출판하던 인쇄업자가 데카르트의 허락을 받고 미지수를 x 활자로 조판했다는 설이다. 당시에는 알파벳 별로 일일이 활자를 새기고 조합해 글을 만든 뒤 잉크를 묻혀 책을 인쇄하는 방식이었다. 일반적인 프랑스어에서는 y와 z가 x보다 더 자주 쓰였기 때문에, 인쇄업자가 많이 남아 있는 x 활자로 미지수를 나타낸 것이다.

두 번째는 독일에서 유래했다는 설이다. 독일 사람들은 미지수를 나타내기 위한 기호로 를 사용했다. 이 기호가 x와 모양이 비슷하기 때문에 이것을 보고 데카르트가 미지수로 x를 사용했다는 주장이다. 방정식의 해를 ‘근(뿌리)’라고 하는데, 는 ‘뿌리’를 뜻하는 독일어 radix의 r과 x를 합쳐서 만들었다고 추측하고 있다. 마지막으로 x가 중세 시대에 미지수를 나타내던 아랍어의 영향을 받았다는 설도 있다.

미지수 x, 함수를 나타내다

한편, 중학생이 되면 x 값에 따라 식의 값이 달라지는 ‘함수’에 대해 배운다. 함수를 타내는 기호로 f(x)를 쓴다. 이는 스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 1734년에 자신의 책에서 처음 사용했다. 그는 함수를 의미하는 라틴어 functiones의 첫 자 ‘f’를 따 f(x) 기호를 만들었다. 오일러가 f(x)를 사용하기 전에는 다양한 기호로 함수를 나타냈다. 스위스의 수학자 요한 베르누이는 문자 n 또는 그리스 알파벳의 하나인 ξ(크사이)를 사용했고, 그의 형인 수학자 야곱 베르누이는 문자 p와 q를 사용해 함수를 표기했다.

오일러와 데카르트의 모습. 출처 : 위키미디어

대수학이라고 하면 매우 어렵고 낯설게 느껴지지만, 결국 x의 값을 구하는 것과 공식을 활용하는 것으로 압축할 수 있다. “나는 생각한다, 고로 존재한다.”라는 유명한 말을 남긴 수학자이자 철학자 데카르트. 그는 알 수 없는 수를 기호 x로 표기해 다음 세대의 수학자가 대수학을 한층 발전시킬 수 있도록 견고한 수학의 언어를 만든 셈이다.

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수학 기호 이야기 유치원생도 아는 +의 기원은?

사람이 수를 세게 된 뒤로 가장 먼저 배우는 수학은 무엇일까? 아마도 덧셈, 그것도 일 더하기 일이 아닐까. 아이가 수를 곧잘 세게 되고 나면 어느 시점에선가 부모가 장난 반 진심 반으로 물어볼 것이다.

“하나에다 하나를 더하면 몇이 될까?”

아니면,

“여기 사과 한 개가 있고, 여기 또 사과 한 개가 있으면, 사과가 모두 몇 개일까?”

인류가 수를 사용하기 시작한 게 언제부터인지는 정확히 알 수 없지만, 처음에는 이렇게 아이에게 하듯이 말로 했을 것이다. 기호를 쓰게 되는 건 나중의 일이다.

수학 기호 중에서는 숫자가 먼저 생겼다. 고대 이집트나 바빌로니아, 인도 등지에서는 숫자를 만들어 수를 나타냈다.

숫자만 있을 때는 계산 문제를 문장으로 말해야 했다. ‘1+1’을 ‘1 더하기 1’, ‘양 한 마리가 있는데 이 양이 새끼를 두 마리 낳으면 양은 총 몇 마리가 되나?’처럼 길게 말을 해야만 했다. 그러다가 점차 자주 쓰는 계산을 간단하게 나타내기 위해 단어를 짧게 줄여서 쓰기 시작했다. 여기서 더 줄어들면 줄어든 글자조차 더욱 간단하게 나타내게 된다. 수학 기호는 이런 과정을 거쳐 태어났다.

더하기와 빼기의 탄생

최초로 수학 기호를 사용한 사람으로는 3세기에 살았던 고대 그리스의 수학자 디오판토스를 꼽는다. 그는 문장으로 쓰던 방벙식을 미지수와 나눗셈, 빼기 기호를 이용해 수식으로 나타냈다. 인도에서도 숫자 위에 점을 찍는 등의 방법으로 빼기를 나타냈지만, 이런 기호는 널리 퍼지지 못하고 그대로 사라지고 말았다.

더하기와 빼기 기호는 수학 기호 중에서도 가장 간단한 기호지만 이 둘이 탄생하는 데도 오랜 시간이 걸렸다. 유럽에서는 15세기까지 로마의 공용어인 라틴어가 널리 쓰이고 있었는데, 라틴어 단어에서 더하기와 빼기 기호가 나왔다.

더하기를 나타내는 +는 ‘그리고’라는 뜻의 라틴어 et를 흘려 쓰는 과정에서 생겨났다. 원래 있던 수에 무엇을 덧붙인다는 뜻이다.

빼기를 나타내는 –는 ‘모자라다’는 뜻을 지난 라틴어 단어 minus에서 태어났다. 처음에는 단어를 그대로 썼지만, 시간이 갈수록 줄이면서 m자 위에 선을 하나 그은 기호()로 만들어 썼다. 이후 단어가 아예 사라지고 m자까지 없어지면서 선 하나만 남아서 –가 됐다.

공식적인 사용은 16세기부터

이후 유럽에서는 간간히 +와 –를 더하기와 빼기의 뜻으로 쓴 문헌이 등장했다. 1489년 독일의 수학자 요하네스 비드만은 자신이 쓴 책에서 +와 –를 썼는데, 이때는 각각 ‘너무 많다’와 ‘모자라다’라는 뜻으로 썼다. 1518년에 나온 헨리쿠스 그라마테우스의 대수학 책에서도 +와 – 기호를 썼다. 네덜란드의 수학자 반 데르 호이케 역시 이 두 기호를 대수학 연산 기호로 썼다.

영국의 수학자 로버트 레코드는 1557년 쓴 책을 통해 +와 – 기호를 영국에 소개했다. 그 뒤로 이 두 기호가 일반적으로 널리 쓰이게 됐다. 이들을 시작으로 유럽에서는 다양한 수학 기호가 나타나기 시작했다. 기호가 널리 쓰이면서 장황한 문장으로 나타내던 수학이 간명한 형태로 탈바꿈한 것이다.

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