녹원학원 수학과학영재교육 010-3549-5206 : 2019 AMC 10B Problem 23 KMO 대비문제

2019년 4월 30일 화요일

2019 AMC 10B Problem 23 KMO 대비문제

평면상의 원 W 위 에 점 A(6,13) 와 점 B(12,11)이 있다.

점 A 와 점 B 에서의 두접선이 X축위의 한점에서 만난다.

원 W의 넓이는 얼마냐?

Points $A(6,13)$ and $B(12,11)$ lie on circle w in the plane. Suppose that the tangent lines to w at A and B intersect at a point on the x-axis. What is the area of w?

$\textbf{(A) }\frac{83\pi}{8}\qquad\textbf{(B) }\frac{21\pi}{2}\qquad\textbf{(C) } \frac{85\pi}{8}\qquad\textbf{(D) }\frac{43\pi}{4}\qquad\textbf{(E) }\frac{87\pi}{8}$

Solution 1.

일단 그림을 그려보세요.

좌표 평면상 에 점 A(6,13) 와 점 B(12,11)을 표시하고, A(6,13) 와 점 B(12,11)을

지나는 원을 그려보세요.

큰원이 될수도 있고 작은 원도 나올수 있어요.

원위의 두점 A(6,13) 와 점 B(12,11)에서 접선을 그어 두접선이 X축위에서

만나게 해 보세요.

그림이 그려지나요?

조건에 맞는 그림이 나올때 까지 그려보세요.

두 접선의 길이는 같다. 두접선이 C(a,0) 에서 만난다.

한점에서 원에 그은 두접선 길이가 같으니, 그림1 에서 AC=BC ,

A(6,13) , B(12,11), C(a,0)

피타고라스 정리를 쓰면 C(5.0)이 나온다.

접선과 원 W의 반지름이 직각을 이루니, 원의 중심, 점A , B , C(5,0)은 한 원안에 있다.

그림 2에서 각A 와 각B 는 직각이니까, 사각형 AOBC 는 원의 원주상에 있다.

OC 는 지름 이니 중심각이 90도.

(Ptolemy's theorem)

톨레미의 정리를 이용하면 그림3 에서 $2\sqrt{170}x = d \sqrt{40}$ 식이 나온다.

여기서 d는 원의 중심과 C(5,0)사이 의 거리다.

$d = \sqrt{17}x$

점C(5,0)과 점A 나 점 B 중 한점 , 원의 중심이 직각삼각형을 이룬다.

피타고라스 정리를 이용하면 $170 + x^2 = 17x^2$ , $x^2 = \frac{85}{8}$

원의 넓이는 $\boxed{\textbf{(C) }\frac{85}{8}\pi}$ .이다.

Solution 2

두 접선의 길이가 같으니 점 C(5,0) 의 좌표를 구했다.

선분 AB의 중점은 M(9,12).

원의 중심이 점C 와 점M 을 통과하는 선상에 있다 (그림1).

원의 중심이 y = 3x - 15 선상에 있다.

선분 AC는 y = 13x-65 이다.

선분 AC에 수직인 선분 AO는 기울기가 - 1/13 이다.

선분 AO는 y = - x/13 + 175/13 이다.

이 직선이 A(6,13) 과 (x, 3x-15) 를 지난다.

$3x-15=-\frac{x}{13}+\frac{175}{13} \Rightarrow x=\frac{37}{4}$ .

원의 중심이 (37/4 , 51/4) 이다.

원의 중심 (37/4 , 51/4) 과 점 A(6,13) 사이의 거리는 $\frac{\sqrt{170}}{4}$ 이다.

원의 반지름 이니 원의 넓이는 $\boxed{\textbf{(C) }\frac{85}{8}\pi}$ .

Solution 3

AB의 중점은 M(9,12) .

점 A 와 점 B 에서의 두접선이 X축위의 한점에서 만난다 C(a,0).

CM은 AB의 수직 이등분선이다.

원의 중심을 O 라 하자.

삼각형 AOC 와 삼각형 MAC 는 닮음꼴이다 .

$\frac{OA}{AC} = \frac{AD}{DC}$

AB의 기울기는 $\frac{13-11}{6-12}=\frac{-1}{3}$

CM의 기울기는 3.

CM은 y = 3x -15

y=0 , x=5

C = (5,0)

$AC=\sqrt{(6-5)^2+(13-0)^2}=\sqrt{170}$

$AD=\sqrt{(6-9)^2+(13-12)^2}=\sqrt{10}$

$DC=\sqrt{(9-5)^2+(12-0)^2}=\sqrt{160}$

$OA = \frac{AC\cdot AD}{DC}=\sqrt{\frac{85}{8}}$

원의 넓이는 $\pi\cdot OA^2 = \boxed{\textbf{(C) }\frac{85}{8}\pi}$

원의 넓이를 3가지로 구해 보았는데 ,다른 방법을 이용해서도 풀수 있겠지요.

여러가지 방식으로 풀어보면서 사고력과 창의력을 길러보세요.

궁금한게 있으면 연락하세요.

010-3549-5206

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