이차방정식, 황금비의 비밀을 풀다

눈으로 보기에 가장 균형감 있고 아름다운 비율을 우리는 ‘황금비율’이라고 한다. 고대 그리스 시대에는 작은 잔에서부터 신전에 이르기까지 이 비율에 맞게 만들었다. 비례와 질서, 조화가 아름다움의 기준이었기 때문이다. 그렇다면 이 비율을 따르는 황금비는 어떻게 나온 걸까?

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곳곳에 숨어 있는 황금비

균형감과 아름다움은 직관적으로 느낄 수 있다. 고대 그리스의 수학자 피타고라스는 이런 느낌을 도형의 비율과 숫자로 나타내고자 했다. 피타고라스는 정오각형의 각 대각선이 오른쪽 그림과 같이 서로를 황금비인 약 1:1.618로 나누면서 도형 내부에 또 다른 정오각형을 만든다는 사실을 발견하고, 정오각형 별을 피타고라스 학파의 상징으로 삼기도 했다.

고대 그리스 시대부터 내려온 이 황금비는 미술이나 건축, 음악에까지도 널리 쓰였다. 레오나르도 다빈치의 미술 작품과 이집트의 피라미드, 고전파의 소나타 형식이 대표적이다.

레오나르도 다 빈치의 ‘비트루비안 인간’과 황금비를 보여 주는 정오각형 별.

“자연이 낸 인체의 중심은 배꼽이다. 등을 대고 누워서 팔 다리를 뻗은 다음 컴퍼스 중심을 배꼽에 맞추고 원을 돌리면 두 팔의 손가락 끝과 두 발의 발가락 끝이 원에 붙는다. 정사각형으로도 된다. 사람 키를 발바닥에서 정수리까지 잰 길이는 두 팔을 가로 벌린 너비와 같기 때문이다.” _레오나르도 다 빈치

레오나르도 다 빈치의 소묘 작품 ‘비트루비안 인간’을 들여다보자. 인체를 중심으로 그린 정사각형의 한 변의 길이와 원의 지름의 비는 황금비인 1:1.618이다. 이집트의 피라미드에서도 황금비를 찾아볼 수 있다. 아래 그림과 같이 피라미드의 사각뿔 형태에서 꼭짓점에서 밑면에 수선을 내려 만들어지는 직각삼각형의 밑변과 빗변의 길이 비가 약 1:1.618임을 알 수 있다.

20세기의 작곡가 바르톡은 음악에 황금비의 원리를 도입한 최초의 작곡가로 알려져 있다. <두 대의 피아노와 타악기를 위한 소나타>에서 바르톡은 곡 전체를 황금비로 나눠 그 지점에서 곡의 분위기를 전환하거나 화음 구조에 황금비를 적용해 특유의 음색을 완성했다.

한편 예술 분야가 아니더라도 황금비는 우리가 사용하는 휴대전화나 TV 화면, 학생증 등 주변에서 쉽게 발견할 수 있다.

왜 하필 황금비는 1:1.618일까?

황금비를 정의하는 방법은 여러 가지가 있다. 동·서양에 따라 황금비를 서로 다르게 정의하기도 한다. 가장 널리 알려진 황금비는 1:1.618인데, 이 1.618이란 숫자는 도대체 어디서 나온 걸까?

유클리드 원론에 나오는 최초의 정의에 따르면, 위 선분 AB의 길이를 1:x로 내분한 점 C에 대해 AB:CB=CB:AC일 때 이런 분할을 황금분할이라 부르고 1:x를 황금비라 한다. 따라서 다음 ㉠의 식이 성립한다.

(1+x):x=x:1 ……㉠
비례식에서 외항의 곱과 내항의 곱은 서로 같으므로, ㉠의 식은 다시 아래 ㉡의 이차방정식이 된다.

x²-x-1=0 ……㉡
인수분해가 되지 않는 식은 아래와 같이 완전제곱식으로 만들어 풀 수 있다. 이 방법은 근의 공식
을 유도하는 방식이기도 하다.

x²-x-1=0
x²-x+1/4=1+1/4=5/4
(x-1/2)²=(√5/2)²
x-1/2=± √5/2
x=(1+√5)/2 (x는 양수이므로)
(1+√5)/2를 소수로 나타내면 1.61803…으로, 황금비가 약 1:1.618임을 알 수 있다.

황금비를 ‘피보나치 수열’로 설명할 수도 있다. 피보나치 수열은 첫 번째 항이 0이고 두 번째 항이 1일 때, 세 번째 항부터는 이전의 두 항을 더한 값으로 이루어지는 수열이다.

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8 …=1.61893…

피보나치 수열에서 연속하는 두 항의 비로 만든 수열의 항은 점점 황금비의 값(약 1.618)에 가까워진다. 자연에서 볼 수 있는 해바라기 꽃씨의 배열, 선인장의 나선 배열 등은 피보나치 수열을 따르며 황금비를 이룬다.

수학동아