피타고라스의 정리? 그림 한 장이면 OK! 그림을 이용해 수학 공식을 쉽게 이해하는 방법

‘피타고라스의 정리’는 직각삼각형에서 빗변을 제외한 나머지 두 변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 성질로, 수학을 잘 모르는 사람도 잘 아는 대표적인 수학 정리 중 하나다. 그런데 피타고라스의 정리를 만약 증명해 보라고 한다면?

정리를 아는 것과 증명을 하는 것은 또 다른 문제다. 증명은 엄격하게 수학적 논리를 따라야 하기 때문에 직접 증명을 하는 것은 쉬운 일이 아니다. 이 때문에 중학생이 되면 대부분의 많은 학생들이 수학에서 나오는 증명을 어려워한다.

하지만 증명이 아니더라도 공식을 쉽게 이해할 수 있는 방법이 있다. 방법은 바로 ‘그림’이다. 아래 왼쪽 그림은 영국의 증권 중개인이자 아마추어 수학자인 헨리 페리갈의 그림이다. 페리갈은 두 개의 작은 정사각형을 이루는 퍼즐 조각 5개로 큰 정사각형을 만들었다. 피타고라스의 정리를 정사각형의 넓이로 생각해 도형 퍼즐과 같이 표현한 것이다.

피타고라스의 정리를 쉽게 이해할 수 있는 페리갈의 그림(왼쪽)과 제임스 A. 가필드의 그림(오른쪽). - (주)동아사이언스 제공

피타고라스의 정리를 이해할 수 있는 또 다른 그림에는 대통령의 그림도 있다. 위의 오른쪽 그림은 미국의 제20대 대통령인 제임스 A. 가필드의 그림으로, 사다리꼴 안에 직각삼각형이 그려진 그림이다. 사다리꼴의 넓이를 구하는 과정을 통해 쉽게 피타고라스의 정리를 이해할 수 있다.

사다리꼴의 윗변과 밑면의 길이를 각각 a, b라고 하고, 사다리꼴 내부에 있는 직각이등변삼각형의 한 변의 길이를 c라고 하자. 사다리꼴의 넓이는 (윗변+아랫변)×높이÷2인데, 이는 (직각이등변삼각형의 넓이)+2×(나머지 직각삼각형의 넓이)와 같다. 따라서 식으로 나타내면

S=1/2(a+b)²=2×1/2ab+1/2c²이므로, c²=a²+b²이 된다.

물론 그림이 증명을 대신하는 역할을 하는 것은 아니다. 단지 공식이나 증명을 쉽게 이해하는 역할을 한다. 하지만 이런 그림을 잘 활용하면 증명을 할 때에 좋은 아이디어를 떠올릴 수 있다.

이밖에도 수학동아 12월호에서는 수학 공식을 쉽게 이해할 수 있는 그림에는 피타고라스의 정리 뿐 아니라 대표적인 부등식의 정리인 ‘산술·기하평균 정리’, ‘자연수의 합 공식’, ‘정십이각형의 넓이’ 등 수학 공식을 쉽게 이해할 수 있는 재밌는 그림을 모아 소개하고 있다.

수학동아