고대 그리스의 철학자인 플라톤은 원소론을 주창하였다. 물질 세계가 흙, 물, 공기, 불 이렇게 네 원소로 이뤄졌다는 것이다. 플라톤은 이 원소가 각각 정육면체, 정이십면체, 정팔면체, 정사면체의 형상을 하고 있다고 생각했다.
그리고 여기에 정십이면체를 보태서 오직 다섯개의 정다면체만이 자연에 존재한다고 이야기했다. 이를 ‘플라톤의 정다면체’라고 하는데, 고대부터 알려져있더 다섯가지 정다면체에 여기에서 파생되는 다면체들이 현대에 와서는 나노입자의 구조와 관련해 주목받고 있다.
정다면체는 말 그대로 정다각형으로 둘러싸인 볼록다면체인데, 모든 면이 합동인 정다각형이며 각 꼭짓점에 모인 면의 갯수가 동일한 입체도형이다. 그래서 정다면체의 면의 수가 n인 것을 정n면체라고 한다. 예를 들어 면의 수가 4개이면 정사면체가 되는 것이다.
그렇다면 정다면체가 다섯개인 이유는 무엇일까. 일반적으로 입체도형을 만들려면 한 꼭짓점에 적어도 3개의 면이 모여야 한다. 그리고 모인 세 다면체의 각각의 각을 합한 것이 360도보다 작아야 한다. 만약 360가 된다면 그건 입체가 아니라 평면이 되기 때문이다.
한편으로 정다면체는 입체를 구성하는 각 면이 합동인 정다각형이어야 한다. 정다각형의 내각을 생각해보면 쉽게 이해할 수 있다. 삼각형의 경우, 각각의 내각이 60도이기때문에 한 꼭짓점에 5개까지 모일 수 있다. 6개가 모이면 360도가 되기 때문에 성립하지 않는다.
이런 식으로 사각형과 오각형까지 생각해보면 사각형은 한 꼭짓점에 3개, 오각형은 3개까지만 가능하다. 하지만 정육각형의 경우는 각 내각의 크기가 120도이기 때문에 3개가 모이게 되면 이미 평면이 되어버린다. 앞서 전제한 한 꼭짓점에 적어도 3면 이상이 모여야 입체가 될 수 있다는 논제에 어긋난 것이다.
그래서 정다면체를 형성할 수 이는 면은 정삼각형, 정사각형, 정오각형만 있고, 이 면으로 만들 수 있는 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5개 뿐인 것이다.
이 정다면체들은 현대로 와서 원자나 분자가 모여 덩어리를 이룬 ‘클러스터’를 연구하는 물리학 분야에서 심심찮게 사용되고 있다. 입자의 안정성과 대칭구조가 밀접한데, 존재 가능한 다섯가지 정다면체에 이 나노구조를 합하면 안정성이 강화되기 때문이다.
플라톤 정다면체를 이용한 은나노입자 합성
나노입자의 세계에서 지금까지 ‘은’은 쉽게 화학반응을 일으키는 불안정한 성질 때문에 응용 분야의 제한이 커서 많이 쓰이지 못했다. 하지만 작년 9월, 미국과 중국 연구팀이 화학적으로 안정된 은 나노입자를 대량 생산하는 기법을 개발하면서 은이 다시 주목받고 있다. (관련링크)
그리고 이 과정에서 연구팀은 플라톤의 정다면체를 적극 이용하였다. 은 원자 32개로 이뤄진 중심부는 20개 원자로 이뤄진 정십이면체와 다시 그 안에 12개 원자로 이뤄진 정이십면체로 구성됐다. 바깥쪽에 12개 은 원자가 붙어 총 44개의 원자가 하나의 은 입자를 이뤘다.
더불어 32개 원자의 중심부는 티올레이트라는 황화합물 구조가 은 원자와 결합하며 둘러싸 보호층을 이뤘다. 외곽의 2황 원자들은 약간 뒤틀린 이중절단 정육면체 구조를 띠며, 가장 바깥쪽에 있는 황 원자 6개는 정팔면체의 구조를 띤다.
즉, 플라톤 정다면체 다섯개 중에서 정사면체를 뺀 나머지가 은 나노 입자 안에 대층일 이루는 구조로 자리잡고 있는 것이다. 매우 대칭적인 기하학적 구조가 화학적 안전성을 갖추는데 중요한 역할을 했다는 것을 알 수 있다.
지금까지 은은 금에 비해 저렴하기 때문에 경제성을 가지고 있었으나, 화학적으로는 불안하기 때문에 훨씨 안정적인 금 나노입자가 다양한 분야에서 쓰였다. 하지만 이번 연구를 통해 안정적인 은 입자의 대량 제조법이 발표되면서 은 나노입자의 쓰임 역시 넓어질 것으로 예상된다.
400년 만에 새로운 다면체 발견, 무한대로 커져
16세기 독일 천문학자인 케플러는 플라톤의 다면체를 각각 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성에 대입하여 태양계 모델을 만들었고 이 과정에서 케플러 법칙을 발견하였다. 더 나아가 모든 면이 모서리가 서로 교차하면서 정다각형의 꼭짓점을 일정한 개수 씩 건너 연결한 ‘별 다각형’으로 이뤄져 있으나, 볼록하지 않은 ‘케플러-푸앵소 다면체’를 만들었다.
그리고 이후 400년 간 새로운 형태의 다면체는 등장하지 못했는데, 지난 2월 400년 만에 지금까지 발견되지 않은 새로운 모양의 다면체가 발견되었다. 이른바 ‘골든버그 다면체’(Goldberg polyhedra)로 정의된 새로운 도형 형태를 발견한 것이다. 캘리포니아대학교 로스앤젤레스캠퍼스(UCLA) 수학과 연구팀의 발견이다. (원문링크)
연구팀은 눈의 망막을 연구하던 도중, 망막 세포 안팎으로 에너지를 통과시키는 클라린 단백질의 구조를 보고 20세기 수학자 마이클 골드버그가 제시한 다면체와 유사하다는 생각을 했다. 세밀한 축구공처럼 생긴 이 다면체는 12개의 오각형과 다수의 육각형으로 이뤄져 있다.
원래 골드버그 다면체는 두 점을 연결하는 모서리 위의 어떤 점도 다면체 밖으로 벗어나서는 안된다는 다면체 규칙을 어기기 때문에, 엄밀한 의미에서는 다면체가 아니라고 여겨졌다. 하지만 연구팀은 이 단백질 구조로부터 영감을 얻어 완벽한 구가 되지 않았던 기존의 골드버그 다면체를 수학적으로 약간 수정하여 구 형태의 다면체를 만들었다.
축구공 모양의 이 다면체는 기존의 플라톤-케플러로 이어지는 다면체 종류의 4번째 단계가 될 것으로 보인다. 숫자적으로는 ‘무한’을 의미하며, 과학적으로는 세포 증식 및 확장에 대한 새로운 아이디어를 제시하는데 큰 도움이 될 것으로 보인다.
더불어 새로운 형태의 바이러스 구조를 이 다면체를 통해 인식할 수도 있다. 인플루엔자 바이러스와도 이 다면체는 유사하게 생겼는데, 이 때문에 치료법 개발에도 도움이 될 것으로 전망하고 있다. 얼마나 골드버그 다면체와 비슷한 무한개의 다면체가 새롭게 발견될지 기대되는 부분이다.
그리고 여기에 정십이면체를 보태서 오직 다섯개의 정다면체만이 자연에 존재한다고 이야기했다. 이를 ‘플라톤의 정다면체’라고 하는데, 고대부터 알려져있더 다섯가지 정다면체에 여기에서 파생되는 다면체들이 현대에 와서는 나노입자의 구조와 관련해 주목받고 있다.
정다면체는 말 그대로 정다각형으로 둘러싸인 볼록다면체인데, 모든 면이 합동인 정다각형이며 각 꼭짓점에 모인 면의 갯수가 동일한 입체도형이다. 그래서 정다면체의 면의 수가 n인 것을 정n면체라고 한다. 예를 들어 면의 수가 4개이면 정사면체가 되는 것이다.
그렇다면 정다면체가 다섯개인 이유는 무엇일까. 일반적으로 입체도형을 만들려면 한 꼭짓점에 적어도 3개의 면이 모여야 한다. 그리고 모인 세 다면체의 각각의 각을 합한 것이 360도보다 작아야 한다. 만약 360가 된다면 그건 입체가 아니라 평면이 되기 때문이다.
플라톤은 원소론을 주창하면서 각 원소가 정다면체의 형상을 하고 있다고 생각했다. 고대에서 이어진 정다면체에 대한 연구는 현대로 와 나노구조 연구에 큰 도움이 되고 있으며, 최근에는 무한대로 커지는 골드버그 다면체가 발견되기도 했다. 기하학적 구조가 다양한 과학 분야에 도움이 되는 것이다. ⓒ ScienceTimes
이런 식으로 사각형과 오각형까지 생각해보면 사각형은 한 꼭짓점에 3개, 오각형은 3개까지만 가능하다. 하지만 정육각형의 경우는 각 내각의 크기가 120도이기 때문에 3개가 모이게 되면 이미 평면이 되어버린다. 앞서 전제한 한 꼭짓점에 적어도 3면 이상이 모여야 입체가 될 수 있다는 논제에 어긋난 것이다.
그래서 정다면체를 형성할 수 이는 면은 정삼각형, 정사각형, 정오각형만 있고, 이 면으로 만들 수 있는 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5개 뿐인 것이다.
이 정다면체들은 현대로 와서 원자나 분자가 모여 덩어리를 이룬 ‘클러스터’를 연구하는 물리학 분야에서 심심찮게 사용되고 있다. 입자의 안정성과 대칭구조가 밀접한데, 존재 가능한 다섯가지 정다면체에 이 나노구조를 합하면 안정성이 강화되기 때문이다.
플라톤 정다면체를 이용한 은나노입자 합성
나노입자의 세계에서 지금까지 ‘은’은 쉽게 화학반응을 일으키는 불안정한 성질 때문에 응용 분야의 제한이 커서 많이 쓰이지 못했다. 하지만 작년 9월, 미국과 중국 연구팀이 화학적으로 안정된 은 나노입자를 대량 생산하는 기법을 개발하면서 은이 다시 주목받고 있다. (관련링크)
그리고 이 과정에서 연구팀은 플라톤의 정다면체를 적극 이용하였다. 은 원자 32개로 이뤄진 중심부는 20개 원자로 이뤄진 정십이면체와 다시 그 안에 12개 원자로 이뤄진 정이십면체로 구성됐다. 바깥쪽에 12개 은 원자가 붙어 총 44개의 원자가 하나의 은 입자를 이뤘다.
더불어 32개 원자의 중심부는 티올레이트라는 황화합물 구조가 은 원자와 결합하며 둘러싸 보호층을 이뤘다. 외곽의 2황 원자들은 약간 뒤틀린 이중절단 정육면체 구조를 띠며, 가장 바깥쪽에 있는 황 원자 6개는 정팔면체의 구조를 띤다.
즉, 플라톤 정다면체 다섯개 중에서 정사면체를 뺀 나머지가 은 나노 입자 안에 대층일 이루는 구조로 자리잡고 있는 것이다. 매우 대칭적인 기하학적 구조가 화학적 안전성을 갖추는데 중요한 역할을 했다는 것을 알 수 있다.
지금까지 은은 금에 비해 저렴하기 때문에 경제성을 가지고 있었으나, 화학적으로는 불안하기 때문에 훨씨 안정적인 금 나노입자가 다양한 분야에서 쓰였다. 하지만 이번 연구를 통해 안정적인 은 입자의 대량 제조법이 발표되면서 은 나노입자의 쓰임 역시 넓어질 것으로 예상된다.
400년 만에 새로운 다면체 발견, 무한대로 커져
16세기 독일 천문학자인 케플러는 플라톤의 다면체를 각각 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성에 대입하여 태양계 모델을 만들었고 이 과정에서 케플러 법칙을 발견하였다. 더 나아가 모든 면이 모서리가 서로 교차하면서 정다각형의 꼭짓점을 일정한 개수 씩 건너 연결한 ‘별 다각형’으로 이뤄져 있으나, 볼록하지 않은 ‘케플러-푸앵소 다면체’를 만들었다.
그리고 이후 400년 간 새로운 형태의 다면체는 등장하지 못했는데, 지난 2월 400년 만에 지금까지 발견되지 않은 새로운 모양의 다면체가 발견되었다. 이른바 ‘골든버그 다면체’(Goldberg polyhedra)로 정의된 새로운 도형 형태를 발견한 것이다. 캘리포니아대학교 로스앤젤레스캠퍼스(UCLA) 수학과 연구팀의 발견이다. (원문링크)
연구팀은 눈의 망막을 연구하던 도중, 망막 세포 안팎으로 에너지를 통과시키는 클라린 단백질의 구조를 보고 20세기 수학자 마이클 골드버그가 제시한 다면체와 유사하다는 생각을 했다. 세밀한 축구공처럼 생긴 이 다면체는 12개의 오각형과 다수의 육각형으로 이뤄져 있다.
원래 골드버그 다면체는 두 점을 연결하는 모서리 위의 어떤 점도 다면체 밖으로 벗어나서는 안된다는 다면체 규칙을 어기기 때문에, 엄밀한 의미에서는 다면체가 아니라고 여겨졌다. 하지만 연구팀은 이 단백질 구조로부터 영감을 얻어 완벽한 구가 되지 않았던 기존의 골드버그 다면체를 수학적으로 약간 수정하여 구 형태의 다면체를 만들었다.
축구공 모양의 이 다면체는 기존의 플라톤-케플러로 이어지는 다면체 종류의 4번째 단계가 될 것으로 보인다. 숫자적으로는 ‘무한’을 의미하며, 과학적으로는 세포 증식 및 확장에 대한 새로운 아이디어를 제시하는데 큰 도움이 될 것으로 보인다.
더불어 새로운 형태의 바이러스 구조를 이 다면체를 통해 인식할 수도 있다. 인플루엔자 바이러스와도 이 다면체는 유사하게 생겼는데, 이 때문에 치료법 개발에도 도움이 될 것으로 전망하고 있다. 얼마나 골드버그 다면체와 비슷한 무한개의 다면체가 새롭게 발견될지 기대되는 부분이다.
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