저글링과 수학

서커스 공연장에 가면 공이나 목이 긴 병 또는 방망이 같은 것을 빙글빙글 돌리는 재주꾼들을 볼 수 있다. 이렇게 이 손에서 저 손으로 빙글빙글 돌리는 재주를 ‘돌리기 재주’ 또는 ‘저글링(juggling)’이라고 한다.

기원전 1994부터 1781년 사이의 기간에 완성된 것으로 여겨지는 고대 이집트 유적지인 베니하산의 묘에는 저글링을 하는 여인들의 모습이 남아 있다. 따라서 저글링은 최소한 지금부터 약 4000년 전부터 있었다.

이집트의 저글링 하는 여인들 ⓒ http://www.juggling.org/jw/86/2/egypt.html

그런데 이런 저글링을 수학으로 표현할 수 있다. 1985년 몇몇 수학자들인 ‘사이트 스웹 노테이션(site swap notation)’ 즉 ‘자리바꿈 기호’를 이용하여 저글링의 유형을 수학적으로 표현하는 방법을 고안했다. 자리바꿈 기호는 간단히 말해 저글링의 유형을 유한수열로 나타낸 것으로, 유한수열을 찾기 위해서는 노래를 부를 때처럼 간단히 박자를 맞추기만 하면 된다. 이때 저글링이 노래라면 공은 악보의 음표라고 생각하면 된다.

예를 들어 공 3개로 저글링을 할 때를 생각해 보자. 오른손으로 던진 공은 3박자 후 왼손에 떨어지고, 왼손으로 던진 공은 다시 3박자 후 오른손으로 떨어지기를 반복하면서 공들은 무한대 기호 모양 를 그린다. 이것은 쿵딱딱, 쿵딱딱 3박자에 맞춰 각 공은 공중에 3박자씩 머무른 후 손바닥에 떨어진다. 따라서 첫 번째 공부터 세 번째 공까지 반복되는 박자 주기를 수로 나타내면 3, 3, 3, 3, 3, 3, ….이다.

3개의 공으로 할 수 있는 또 다른 저글링은 공 3개가 원 모양이 되도록 던지고 받는 것이다. 첫 번째 공을 오른손에서 왼손으로 던지는데 5박자만큼 높이 던져 공중에 머무르는 동안 두 번째 공을 왼손에서 오른손으로 1박자 간격으로 옮기고, 다시 세 번째 공을 오른손에서 왼손으로 5박자만큼 높이 던지기를 반복하는 것이다. 이때 공이 공중에 머무르는 박자의 주기는 5, 0, 1, 5, 0, 1, 5, 0, 1, …이다. 여기서 0은 중간에 던지지 않고 오른손에 가지고 있는 공이다.

일반적으로 저글링에 사용할 수 있는 공은 최대 10개 정도이지만 여기서는 3개 또는 4개의 공으로 할 수 있는 저글링에 대해서만 생각해 보자. 이때 공을 던지는 모습에 따라 저글링을 기본적인 세 가지로 구별할 수 있다.

첫째는 앞에서 예로 들었던 무한대 모양이 되는 캐스케이드(cascade, 계단식 폭포)형이다. 이 모양은 보통 저글링하면 떠올리는 모양이고, 오른손으로 던진 공을 왼손으로 받고 왼손은 받은 공을 다시 오른손으로 보낼 때 만들어지는 것이다. 캐스캐이드 형으로 저글링을 할 때, 짝수개의 공을 던지면 중간에서 공들이 서로 부딪치기 때문에 짝수개의 공으로는 실행할 수 없다. 이때 나타나는 자리바꿈 기호는 3이다.

두 번째는 분수(fountain)형이다. 분수형은 공들이 손을 바꾸지 않고 돌릴 때 나타나는 모양이다. 즉, 왼손과 오른손에 각각 2개의 공을 각각 던지고 받는 것이다. 따라서 4개의 공으로 하는 분수형의 자리바꿈 기호는 양손에서 던지고 받고 두 가지씩이므로 자리바꿈 기호는 4이다.

세 번째는 소나기형(shower)이다. 소나기형은 공을 오른손에서 왼손으로 큰 포물선을 그리면서 던진 다음 다시 왼손에서 오른손으로 낮게 던지는 것이다. 이 경우는 앞에서 예로 든 것처럼 자리바꿈 기호는 501이다. 여기서 501은 5박자와 1박자의 두 가지 종류의 주기로 공을 돌린다는 표시이다.

위의 세 가지 기본적인 저글링에서 얻을 수 있는 박자의 수열
캐스캐이드 형 : 3, 3, 3, 3, 3, 3, …, 3, 3, 3
분수 형 : 4, 4, 4, 4, 4, 4, …, 4, 4, 4
소나기 형 : 5, 0, 1, 5, 0, 1, …, 5, 0, 1
등과 같은 유한수열을 저글링 수열(juggling sequences)라고 한다. 또 주어진 수열을 그림으로 나타낸 것을 저글링 다이어그램(juggling diagram)이라고 한다.

다음 그림은 캐스캐이드 형과 소나기형의 저글링 수열을 저글링 다이어그램으로 나타낸 것이다.

저글링 다이어그램을 보면 주어진 수열이 저글링 수열이 될 수 있는지 알 수 있다. 예를 들어 저글링 자리바꿈 기호가 21이라고 하면 2박자와 1박자로 공을 던지고 받아야한다. 이것을 저글링 다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.

위와 같은 저글링을 하려면 2박자에서 한 손으로 떨어지는 두 개의 공을 동시에 잡은 후, 잡은 공 하나는 2박자 높이로 던지고 다른 하나는 없애야 한다. 다음 단계에서 없앴던 공을 다시 나타나게 하여 2박자에서 다시 두 개의 공을 동시에 잡아야 한다. 마치 마술과 같이 공을 없앴다가 나타나게 해야 하므로 자리바꿈 기호 21로는 저글링을 할 수 없다. 즉, 다음은 저글링 수열이 아니다.

2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1

그렇다면 저글링 다이어그램을 그리지 않고도 주어진 수열이 저글링 수열인지 알 수 있는 방법은 무엇일까?

예를 들어 4, 4, 1, 3이 저글링 수열인지 알아보자.

저글링은 주어진 네 개의 4, 4, 1, 3을 반복적으로 사용하기 때문에 이 네 개의 수는 저글링의 주기(period)가 된다. 즉, 이 수열의 주기는 4이다. 이 네 개의 수에 차례로 0, 1, 2, 3을 더하면 다음과 같은 수열을 얻는다.

4+0, 4+1, 1+2, 3+3 = 4, 5, 3, 6

처음 주어진 수열의 주기가 4였으므로 0, 1, 2, 3을 더하여 나온 새로운 수열을 4로 나눈 후 나머지만 쓰면 다음과 같다.

 0, 1, 3, 2

이 수열을 실험수열(test sequence)이라고 한다. 그리고 이 실험수열의 모든 항의 수가 다르다면 처음 주어진 수열은 저글링 수열이다. 사실 저글링 수열에 대하여 다음과 같은 정리가 성립한다.

저글링 수열의 정리
실험수열의 모든 항이 서로 다르다면 처음 주어진 수열은 저글링 수열이고 그렇지 않으면 저글링 수열이 아니다.

저글링 수열의 정리에 의하면 앞에서 예로 들었던 2, 1의 주기는 2이고, 2+0=2, 1+1=2이므로 실험수열의 모든 항이 서로 다른 것은 아니다. 따라서 2, 1은 저글링 수열이 아니다.

한편 4, 4, 1, 3을 저글링 다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.

저글링 수열의 주기로부터 저글링에 사용되는 공의 개수를 구할 수도 있다. 즉, 주기가 되는 주어진 수열의 각 항을 더하고 항의 개수로 나누면 공의 개수가 된다. 이를테면 3, 3, 3은 (3+3+3)/3=3이므로 3개의 공으로 하는 저글링이고, 5, 0, 1은 (5+0+1)/3=2이므로 2개의 공으로 하는 저글링이고, 4, 4, 1, 3은 (4+4+1+3)/4=3이므로 3개의 공으로 하는 저글링이다.

그렇다면 5, 6, 6, 1, 5, 1은 몇 개의 공으로 하는 저글링이고, 과연 저글링 수열일까?

우선 (5+6+6+1+5+1)/6=4이므로 4개의 공으로 하는 저글링이다. 또 주어진 수열에 0, 1, 2, 3, 4, 5를 각각 더하면

5+0, 6+1, 6+2, 1+3, 5+4, 1+5

 이고, 각 항을 주기 6으로 나누면 나머지가

5, 1, 2, 4, 3, 0

 이므로 모두 다르다. 따라서 이 수열은 저글링 수열이므로, 공 4개로 저글링을 할 수 있다.

실험수열과 공의 개수는 마치 연립방정식의 해가 있는지 없는지를 알아보기 위하여 동차연립방정식이 자명한 해만을 갖는지 아닌지를 조사하는 것과 마찬가지로 주어진 수열로 저글링을 할 수 있는지 알아보는 것이다. 여러 가지 저글링 수열을 혼합하면 보다 복잡한 저글링을 할 수도 있다.

저글링은 단순히 저글링만으로 끝나지 않는다. 저글링을 하면 두뇌발달에 도움이 된다는 결과가 2004년 과학 전문 학술지 ‘네이처’에 실리기도 했다. 이에 따르면 유럽 연구자들이 21명의 여성과 3명의 남성으로 구성된 두 집단 중 한 집단은 세 달 동안 공 3개로 적어도 1분 동안 저글링을 하게 했고, 다른 집단은 저글링을 하지 않게 했다. 그 결과 저글링 집단에서는 물체의 움직임을 인식하고 예측하는 역할을 담당하는 뇌의 두 영역에서 구조의 변화가 생겼고, 뇌의 무게도 3~4% 증가한 것으로 나타났다.

한편 공학자들은 저글링을 할 수 있는 로봇을 개발하려는 시도를 하고 있다. 그러나 의외로 발생하는 카오스적인 현상이 저글 로봇 탄생을 방해하고 있다고 한다. 그리고 저글링에 관한 다양한 형식과 소식 그리고 소품은 인터넷 사이트 http://www.juggling.org/에 접속하면 얻을 수 있다.  

ScienceTimes