여러분 중에 '피보나치 수열'이란 말을 들어 본 사람은 거의 없을 것입니다. 하지만 다음과 같은 문제는 어디선가 한번쯤은 경험해 보았을 텐데 우리 한 번 해 볼까요?
(1) 피보나치 수열의 유래
문제> 다음 빈 칸에 알맞은 수는?
1→1→2→▒→5→8→13→21
답은 얼마가 될까요? 예, 3입니다. 그럼 어떻게 이 문제를 해결했나요?
풀이가 이해 되었나요? 이와 같이 수를 일정한 규칙대로 배열한 것을 수열이라고 하는데 위의 경우처럼 앞의 둘을 더한 수가 다음 수가 되도록 배열한 수열을 피보나치 수열이라고 합니다. 참 재미있는 수의 배열이죠. 피보나치가 전해 내려오는 토끼 이야기를 자신의 '산반서'라는 책에 소개했기 때문에 피보나치 수열로 부르게 되었습니다. 그럼 토끼 이야기가 무엇인지 들어볼까요?
『한 사람이 암, 수 한 쌍의 토끼를 기르는 데 한 달에 한 번씩 한 쌍의 새끼(암, 수)를 출산한다고 합니다. 새로 출산된 새끼 한 쌍은 한 달이면 다 자라고 두 달 후부터는 매달 한 쌍의 새끼를 출산한 일 년 후에는 모두 몇 쌍의 토끼를 출산하겠습니까?』
물론 모든 토끼는 죽지 않는다고 가정하고 있습니다. 그러면 첫 달에는 한 쌍의 새끼가 출산됩니다. 둘째 달에는 본래의 한 쌍이 또 한 쌍의 새끼를 출산합니다. 셋째 달에는 본래의 한 쌍과 첫째 달에 태어난 한 쌍이 각각 한 쌍씩의 새끼를 출산합니다. 이와 같은 조작이 무한히 계속되면, 매달 출산된 토끼의 쌍의 수는 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … 과 같이 되며, 이 수열을 피보나치 수열이라 부르고, 각 항을 피보나치 수라 합니다.
(2) 피보나치 수열의 응용
이와 같은 수의 배열은 어떤 경우에 생기게 될까요? 그런 경우를 생각해 보기로 합시다.
다음 그림은 나무의 성장에서 시간이 흐름에 따라 나무 가지가 어떻게 변하는 지를 보여 줍니다.
반드시 이런 것은 아니지만 해마다 가지수가 늘어나서 피보나치 수열을 이루는 것을 보여 주고 있습니다. 우선 하나의 줄기에서 2개의 가지 A, B로 나뉘어지고 A가지에서 2개의 가지 C, D로 갈라지고 B가지 역시 가지치기를 잠시 멈추다가 H, G로 갈라진다. 이것 뿐만 아니라 자연계에서는 이와 비슷한 예들이 많은데 해바라기씨의 배열상태 역시 피보나치 수열과 흡사함이다. 또한 이 피보나치 수열을 이용하여 파인애플의 세포를 성장시키고 동물의 번식 효과도 높인다고 합니다. 이런 의미에서 볼 때 수학은 우리에게 반드시 필요한 존재라는 것을 알 수 있죠? 피보나치 수열은 또 다음과 같은 조립 도형의 작도에서도 나타납니다.
한 변이 공통인 2개의 단위 정사각형(가로, 세로가 모두 1인 정사각형)에 이웃하여 가로, 세로 모두 2인 정사각형을 그리고, 그것에 이웃하여 다시 가로, 세로가 3인 정사각형을 그려 전체가 직사각형이 되도록 그려 나갑니다. 이것을 가로, 세로가 8인 정사각형을 그린 상태에서 멈추면 다음과 같이 되는데 여기에서 직사각형 전체의 넓이는 어떻게 될까요?
즉, 지금까지 그린 정사각형의 넓이를 모두 더하면 되겠지요.
1²＋1²＋2²＋3²＋5²＋8²입니다. 하지만 이것을 이렇게 계산하기 보다 그림에서 알 수 있듯이 8×13을 하는게 더 편리합니다.
이것은 어느 단계에 멈추어도 같은데 만약 가로, 세로가 5인 정사각형에서 멈추었다면 멈춘 수에 그 이전의 수를 합한 값을 곱하면 되겠죠. 즉 5×(3＋5)를 하면 간단하게 계산됩니다. 여기서 각 정사각형의 한 변을 차례로 적으면 피보나치 수열 1, 1, 3, 5, 8, 13, …을 이룬다는 것을 알 수 있습니다.
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(1) 피보나치 수열의 유래
문제> 다음 빈 칸에 알맞은 수는?
1→1→2→▒→5→8→13→21
답은 얼마가 될까요? 예, 3입니다. 그럼 어떻게 이 문제를 해결했나요?
풀이가 이해 되었나요? 이와 같이 수를 일정한 규칙대로 배열한 것을 수열이라고 하는데 위의 경우처럼 앞의 둘을 더한 수가 다음 수가 되도록 배열한 수열을 피보나치 수열이라고 합니다. 참 재미있는 수의 배열이죠. 피보나치가 전해 내려오는 토끼 이야기를 자신의 '산반서'라는 책에 소개했기 때문에 피보나치 수열로 부르게 되었습니다. 그럼 토끼 이야기가 무엇인지 들어볼까요?
『한 사람이 암, 수 한 쌍의 토끼를 기르는 데 한 달에 한 번씩 한 쌍의 새끼(암, 수)를 출산한다고 합니다. 새로 출산된 새끼 한 쌍은 한 달이면 다 자라고 두 달 후부터는 매달 한 쌍의 새끼를 출산한 일 년 후에는 모두 몇 쌍의 토끼를 출산하겠습니까?』
물론 모든 토끼는 죽지 않는다고 가정하고 있습니다. 그러면 첫 달에는 한 쌍의 새끼가 출산됩니다. 둘째 달에는 본래의 한 쌍이 또 한 쌍의 새끼를 출산합니다. 셋째 달에는 본래의 한 쌍과 첫째 달에 태어난 한 쌍이 각각 한 쌍씩의 새끼를 출산합니다. 이와 같은 조작이 무한히 계속되면, 매달 출산된 토끼의 쌍의 수는 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … 과 같이 되며, 이 수열을 피보나치 수열이라 부르고, 각 항을 피보나치 수라 합니다.
(2) 피보나치 수열의 응용
이와 같은 수의 배열은 어떤 경우에 생기게 될까요? 그런 경우를 생각해 보기로 합시다.
다음 그림은 나무의 성장에서 시간이 흐름에 따라 나무 가지가 어떻게 변하는 지를 보여 줍니다.
반드시 이런 것은 아니지만 해마다 가지수가 늘어나서 피보나치 수열을 이루는 것을 보여 주고 있습니다. 우선 하나의 줄기에서 2개의 가지 A, B로 나뉘어지고 A가지에서 2개의 가지 C, D로 갈라지고 B가지 역시 가지치기를 잠시 멈추다가 H, G로 갈라진다. 이것 뿐만 아니라 자연계에서는 이와 비슷한 예들이 많은데 해바라기씨의 배열상태 역시 피보나치 수열과 흡사함이다. 또한 이 피보나치 수열을 이용하여 파인애플의 세포를 성장시키고 동물의 번식 효과도 높인다고 합니다. 이런 의미에서 볼 때 수학은 우리에게 반드시 필요한 존재라는 것을 알 수 있죠? 피보나치 수열은 또 다음과 같은 조립 도형의 작도에서도 나타납니다.
한 변이 공통인 2개의 단위 정사각형(가로, 세로가 모두 1인 정사각형)에 이웃하여 가로, 세로 모두 2인 정사각형을 그리고, 그것에 이웃하여 다시 가로, 세로가 3인 정사각형을 그려 전체가 직사각형이 되도록 그려 나갑니다. 이것을 가로, 세로가 8인 정사각형을 그린 상태에서 멈추면 다음과 같이 되는데 여기에서 직사각형 전체의 넓이는 어떻게 될까요?
즉, 지금까지 그린 정사각형의 넓이를 모두 더하면 되겠지요.
1²＋1²＋2²＋3²＋5²＋8²입니다. 하지만 이것을 이렇게 계산하기 보다 그림에서 알 수 있듯이 8×13을 하는게 더 편리합니다.
이것은 어느 단계에 멈추어도 같은데 만약 가로, 세로가 5인 정사각형에서 멈추었다면 멈춘 수에 그 이전의 수를 합한 값을 곱하면 되겠죠. 즉 5×(3＋5)를 하면 간단하게 계산됩니다. 여기서 각 정사각형의 한 변을 차례로 적으면 피보나치 수열 1, 1, 3, 5, 8, 13, …을 이룬다는 것을 알 수 있습니다.
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