2006년 제 4회 민사수경 기출문제
1. 열 또는 행을 선택하면 흰색은 검은색으로, 검은색은 흰색으로 바뀐다. 이때, 위모양을몇번 선택하여 나올 수 있는 검은색의 개수를 모두 고르시오. (무응답은 0점 처리) 예를 들면【, 그림1】의 2행을 바꾸면【그림2】가 되고, 【그림2】의 열을 바꾸면【그림3】이 된다.
① 1② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5
【답】③,⑤
【답】③,⑤
【풀이】
( i ) 흰색이 4개인 경우 : 검은색 4개로 바뀜. <검은색 +4>
( ii ) 흰색이 3개, 검은색 1개인 경우: 검은색 3개, 흰색 1개로 바뀜. <검은색 +2>
( iii ) 흰색이 2개, 검은색 2개인 경우: 검은색 2개, 흰색 2개로 바뀜. <검은색 +0>
( iv ) 흰색이 1개, 검은색 3개인 경우: 검은색 1개, 흰색 3개로 바뀜. <검은색 -2>
(ⅴ) 검은색 4개인 경우 : 흰색 4개로 바뀜. 〈검은색 -4〉
즉, 검은색이 짝수개씩 증가하든지짝수개씩 감소한다.처음 검은색이 7개였으므로 아무리 바
꾸어도 검은색 개수는 홀수개이다. 그런데, 위 그림처럼 4개의 영역으로 나눠서 보면 (1), (3), (4) 영역에 검은색이 각각 홀수개씩 있으므로 각 영역에 서 짝수개씩 줄어도 최소 1개씩 남는다. (2) 영역은 모두 흰색이 될 수 있다.즉, 전체적으로 검은색의 최소 개수는 3개이다.
2. 정육면체를 붙여서 새로운 입체도형을 만들었다. 한 꼭짓점은 많아야 세 정육면체를 공유할 수 있다. 이러한 것들 중 모서리가 124개이고, 두개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점의 개수는 28개, 세 개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점의 개수는 14개이다. 이때, 정육면체는 몇 개인가?
예를 들어 다음과 같다.(꼭짓점의 수=16, 모서리의 수=28, 면의 수=14, 두 정육면체를 공유하는 꼭짓점 수=4, 세 정육면체를 공유하는 꼭짓점 수=2)
【답】15
【풀이】
한 개의 정육면체에만 있는 꼭짓점의 개수=V1, 두 개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점의 개수=V2, 세 개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점의 개수=V3 라고 하자.
∴V2=28, V3=14
모서리의 전체 개수=e=124
그런데, 한 개의 정육면체에만 있는 꼭짓점은 3개의 모서리를 가지고, 두 개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점은 4개의 모서리를 가지며, 세 개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점은 5개의 모서리를 갖는다.
∴e=2×124 = 3V1+4×28+5×14
∴V1 =22
합쳐져 있는 정육면체를 각각 분리하면 2개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점은 2개로, 3개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점은 3개로 분리된다. 전체 정육면체의 개수를 n이라 하면 8n=V1+2V2+3V3=22+2×28+3×14
∴n=15
예상문제
1. 집합 X 의 부분집합의 개수를 ‖X‖로 나타내기로 하자. 세 집합 A, B,C 에 대하여 n(A)=n(B)=50이고‖A‖+‖B‖+‖C‖=‖A∪B∪C‖일 때, n(A∩B∩C)의 최솟값을 구하시오. (단, n(C)≥n(A))
① 30 ② 34 ③ 42 ④ 45 ⑤ 47
【풀이】
한 개의 정육면체에만 있는 꼭짓점의 개수=V1, 두 개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점의 개수=V2, 세 개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점의 개수=V3 라고 하자.
∴V2=28, V3=14
모서리의 전체 개수=e=124
그런데, 한 개의 정육면체에만 있는 꼭짓점은 3개의 모서리를 가지고, 두 개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점은 4개의 모서리를 가지며, 세 개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점은 5개의 모서리를 갖는다.
∴e=2×124 = 3V1+4×28+5×14
∴V1 =22
합쳐져 있는 정육면체를 각각 분리하면 2개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점은 2개로, 3개의 정육면체를 공유하는 꼭짓점은 3개로 분리된다. 전체 정육면체의 개수를 n이라 하면 8n=V1+2V2+3V3=22+2×28+3×14
∴n=15
예상문제
1. 집합 X 의 부분집합의 개수를 ‖X‖로 나타내기로 하자. 세 집합 A, B,C 에 대하여 n(A)=n(B)=50이고‖A‖+‖B‖+‖C‖=‖A∪B∪C‖일 때, n(A∩B∩C)의 최솟값을 구하시오. (단, n(C)≥n(A))
① 30 ② 34 ③ 42 ④ 45 ⑤ 47
【답】⑤
【풀이】
n(C)=p, n(A∪B∪C)=q로 놓으면 ‖ A ‖ +‖B ‖ +‖C ‖ =‖A+B+C‖이므로 250+250+2n=2n2×250+2n=2q, 251+2n=2q‐①
①의 양변을 251로 나누면 1+2n-51=2n-51 따라서 n-51=0. n-51=1 이므로 p=51 q=52
한편, n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C) =n(A)+n(B)+n(C)-{n(A)+n(B)-n(A∪B)}-{n(B)+n(C)-n(A∪B)}-{n(C)+n(A)-n(C∪A)}+n(A∩B∩C)=n(A∩B∩C)-n(A)-n(B)-n(C)+n(A∪B)+n(B∪C)+n(C∪A)이므로, n(A∩B∩C)=
n(A∪B∪C)+n(A)+n(B)+n(C)-n(A∪B)-n(B∪C)-n(C∪A)=52+50+50+51-n(A∪B)-n(B∪C)n(C∪A)≥203-3×52=47
2. 정육각형의 탁자에 A, B, C, D, E, F 여섯 명이 순서대로 둘러앉아서 숫자가 적힌 카드를 한 장씩 받은 후 보지 않고 뒤집어 놓았다. 각자 자기의 카드는 보지 않고 양 옆 사람의 카드 두 장을 보고 적힌 숫자의 평균을 불러주기로 하였다. A, B, C, D, E, F가 말한 값이 차례로 4, 6, 6, 5, 5, 7 일 때,가장 큰 숫자의 카드를 가지고 있는 사람은 누구인가?
① A ② B ③ C ④ E ⑤ F
【풀이】
n(C)=p, n(A∪B∪C)=q로 놓으면 ‖ A ‖ +‖B ‖ +‖C ‖ =‖A+B+C‖이므로 250+250+2n=2n2×250+2n=2q, 251+2n=2q‐①
①의 양변을 251로 나누면 1+2n-51=2n-51 따라서 n-51=0. n-51=1 이므로 p=51 q=52
한편, n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C) =n(A)+n(B)+n(C)-{n(A)+n(B)-n(A∪B)}-{n(B)+n(C)-n(A∪B)}-{n(C)+n(A)-n(C∪A)}+n(A∩B∩C)=n(A∩B∩C)-n(A)-n(B)-n(C)+n(A∪B)+n(B∪C)+n(C∪A)이므로, n(A∩B∩C)=
n(A∪B∪C)+n(A)+n(B)+n(C)-n(A∪B)-n(B∪C)-n(C∪A)=52+50+50+51-n(A∪B)-n(B∪C)n(C∪A)≥203-3×52=47
2. 정육각형의 탁자에 A, B, C, D, E, F 여섯 명이 순서대로 둘러앉아서 숫자가 적힌 카드를 한 장씩 받은 후 보지 않고 뒤집어 놓았다. 각자 자기의 카드는 보지 않고 양 옆 사람의 카드 두 장을 보고 적힌 숫자의 평균을 불러주기로 하였다. A, B, C, D, E, F가 말한 값이 차례로 4, 6, 6, 5, 5, 7 일 때,가장 큰 숫자의 카드를 가지고 있는 사람은 누구인가?
① A ② B ③ C ④ E ⑤ F
【답】①
【풀이】
A, B, C, D, E, F가 갖고 있는 카드에 적힌 숫자를 각각 a, b, c, d, e, f라 하고,
a+c=12 ‐‐㉠ c+e=10 ‐‐㉡ e+a=14 ‐‐㉢ d+b=12 ‐‐㉣ d+f=10 ‐‐㉤ f+b=8 ‐‐㉥
㉠~㉢에서 a+c+e=18 ∴a=8, c=4,e=6, ㉣~㉥에서 b+d+f =15 ∴b=5, d=7, f=3
따라서 A가 가지고 있는 카드의 숫자가 가장 크다.
조선일보
【풀이】
A, B, C, D, E, F가 갖고 있는 카드에 적힌 숫자를 각각 a, b, c, d, e, f라 하고,
a+c=12 ‐‐㉠ c+e=10 ‐‐㉡ e+a=14 ‐‐㉢ d+b=12 ‐‐㉣ d+f=10 ‐‐㉤ f+b=8 ‐‐㉥
㉠~㉢에서 a+c+e=18 ∴a=8, c=4,e=6, ㉣~㉥에서 b+d+f =15 ∴b=5, d=7, f=3
따라서 A가 가지고 있는 카드의 숫자가 가장 크다.
조선일보
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