1. 최고차항의 계수가 1인 4차 다항식 f(x), g(x)에 대하여
{x | x = f(x)} = {1, 3, 5, 7}
{x | x = g(x)} = {1, 5, 7, 9}
이다. 집합 {x | f(x) = g(x)}의 모든 원소의 곱을 구하여
라.
2. 두 학생 A와 B가 11의 배수인 세 자리 양의 정수를 각각
하나씩 고른다. A가 고른 정수와 B가 고른 정수의 십의
자리의 수가 같도록 고르는 경우의 수를 구하여라.
3. 각 A가 직각인 직각 삼각형 ABC 의 두 변 AB와 AC 의 길
이가 각각 3, 4이다. 각 B의 이등분선이 변 AC 와 만나는
점을 D, 각 C 의 이등분선이 변 AB 와 만나는 점을 E 라
하자. 점 A에서 직선 DE 까지의 거리를 x라 할 때, 145x
2
의 값을 구하여라.
4. 다음과 같이 정의된 함수 f(n)에 대하여 f(1)+f(2)+f(3)+
· · · + f(10)의 값을 구하여라.
f(n) = 1
1 + n
+
2
2 + n
+
3
3 + n
+ · · · +
10
10 + n
5. 다항식 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 다음 식을 만족할 때,
f(99)의 값을 1000으로 나눈 나머지를 구하여라.
f(f(x)) = f(x)
2 + x
2 + x + 2018
6. 두 학생 A와 B가 포함된 8명의 학생을 몇 개의 모둠으로
나눌 때, A와 B가 같은 모둠에 속하지 않으면서, 각 모둠의
인원이 2명 또는 3명이 되도록 나누는 방법의 수를 구하여
라. (단, 각 학생은 오직 하나의 모둠에 속한다.)
7. 길이가 40인 선분 AB를 지름으로 하는 반원을 C 라 하고,
선분 AB 의 중점을 M 이라 하자. 원 O1 은 반원 C 에 접
하고, 점 M 에서 선분 AB 에 접한다. 원 O2(̸= O1)는 원
O1, 반원 C, 선분 AB 에 모두 접한다. 삼각형 MO1O2의
넓이가 S 일 때, √
2S 의 값을 구하여라. (단, 원 O1, O2의
중심은 각각 점 O1, O2이다.)
8. p
2 + 87의 양의 약수의 개수가 9가 되도록 하는 소수 p를
구하여라.
9. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 다음 두 조건을
모두 만족한다.
(i) 1 ≤ t < s이면 f(t) < f(s)이다.
(ii) 모든 실수 t에 대하여 f(2 − t) = f(t)이다.
다음 부등식을 만족하는 정수 a를 모두 더한 값을 구하여
라.
f(−2a
2 + 16a − 17) < f(a
2 − 10a + 35)
– 1 –
10. 그림과 같이 36개의 칸으로 이루어진 판에 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8의 숫자가 적혀있다.
1 2
3 4
5 6
7 8
숫자가 적혀있지 않은 28개의 칸 중 6개에 검은 색으로
색칠한다. 색칠된 칸이 각 가로줄과 각 세로줄에 1개씩만
있도록 색칠하는 방법의 수를 구하여라.
11. 넓이가 100인 볼록사각형 ABCD가 있다. 두 대각선 AC
와 BD의 교점을 E 라 할 때, AE : EC = 2 : 3이다. 점
P 를 사각형 ABP C 가 평행사변형이 되도록 잡고, 점 Q를
사각형 ACQD가 평행사변형이 되도록 잡았을 때, 삼각형
AP Q의 넓이를 구하여라.
12. 양의 정수 a, b가 다음 조건을 만족할 때, ab의 값을 구하
여라.
9a
2 − 12ab + 2b
2 + 36b − 162 = 0
13. 세 실수 x, y, z가 x + y + 5z = 4, 0 ≤ x ≤ y ≤ z를 모두
만족한다. x
2 + 2y
2 +z
2이 될 수 있는 값 중 가장 작은 것을
p
q
라 할 때, p + q의 값을 구하여라. (단, p, q는 서로소인
양의 정수)
14. 그림과 같이 12등분된 원판이 있다. 각 칸을 빨간색 또는
파란색으로 칠하여 만들 수 있는 모든 원판의 개수를 구하
여라. 단, 회전하여 같은 것은 한 가지로 센다.
15. 각 B 가 예각이고 AB < AC 인 삼각형 ABC 의 꼭짓점
A에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 D, 변 BC 의 중점 E
에서 변 AB 에 내린 수선의 발을 F 라 할 때, AD = 16,
BD = 12, AF = 5이다. AC2을 1000으로 나눈 나머지를
구하여라. (단, 점 F 는 선분 AB위에 있다.)
16. 다음 조건을 만족하는 양의 정수 n을 구하여라.
√
134 + 4n3은 13의 배수가 아닌 정수
17. 예각삼각형 ABC 가 ∠ABC = 46◦
, AB > AC 를 만족한
다. 삼각형 ABC 의 외심을 O, 수심을 H 라 할 때, ∠BAC
의 이등분선이 선분 OH 의 중점을 지난다. ∠OAH = x
◦
라 할 때, x의 값을 구하여라. (단, 0 ≤ x < 180 이다.)
18. 방정식 x
2
(x − 5) + 2 = 0의 가장 큰 해를 a라 할 때,
[a
4
]의 값을 구하여라. (단, [x]는 x를 넘지 않는 가장 큰
정수)
19. 그림과 같이 80개의 정사각형 모양의 칸으로 이루어진 판
R에 1에서 80까지의 수가 적혀있다.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
4개의 칸으로 만들어진 다음 네 종류의 타일을 생각하자.
, , ,
이러한 타일 20개를 선택하여 판 R에 빈틈없이 붙이는
경우의 수를 구하여라.
20. 양의 정수 k와 3의 배수가 아닌 양의 정수 m이 다음 등식
을 만족할 때, k의 값을 구하여라.
1−
1
2
+
1
3
−
1
4
+· · ·+
1
53
−
1
54
+
1
55
=
3
k × m
28 × 29 × · · · × 54 × 55
– 2 – (끝)
댓글 없음:
댓글 쓰기