1. 십의 자리의 수가 9인 다섯 자리 양의 정수 중 11의 배수의
개수를 구하여라.
2. 정수 √
2(204 + 188 + 3444
)을 1000으로 나눈 나머지를 구
하여라.
3. 두 변 AB 와 AD의 길이가 각각 20과 8인 사각형 ABCD
가 변 AB 의 중점이 중심인 원에 내접한다. 이 원의 점 C
에서의 접선과 점 D에서의 접선이 점 E 에서 만난다고 할
때, 선분 DE 의 길이는 5이다. 두 대각선 AC 와 BD의
교점을 F 라 할 때, AF2의 값을 구하여라.
4. 양의 정수 m, n이 다음 식을 만족할 때 m + n의 값을 구하
여라.
4
m − 3
n = 11 × 19 × 47
5. 실수 a가 등식 a
2+100a−1 = 0을 만족한다. 함수 y = f(x)
의 그래프는 기울기가 2a이고 x절편이 유리수인 직선이다.
다음 등식이 x에 대한 항등식이 되도록 하는 정수 A, B, C
에 대하여 A − (B + C)의 값을 구하여라.
f(f(x − 1)) = Af(x) + Bx + C
6. 두 학생 A와 B가 포함된 8명의 학생을 몇 개의 모둠으로
나눌 때, A와 B가 같은 모둠에 속하지 않으면서, 각 모둠의
인원이 2명 또는 3명이 되도록 나누는 방법의 수를 구하여
라. (단, 각 학생은 오직 하나의 모둠에 속한다.)
7. 삼각형 ABC 가 ∠B > ∠C, ∠A = 50◦ 를 만족한다. 변
BC, CA, AB 의 중점을 각각 D, E, F 라 하자. 점 B 를
지나고 ∠A의 이등분선에 수직인 직선과 점 D에서 삼각형
DEF 의 외접원에 접하는 직선이 만나는 점을 K 라 하자.
∠BKD = 5◦ 일 때, ∠B = x
◦ 이다. x의 값을 구하여라.
(단, 0 ≤ x < 180 이다.)
8. 다음 조건을 만족하는 양의 정수 n을 모두 더한 값을 구하
여라.
n과 서로소인 양의 정수 중 n보다 작은 것의 합
이 4n이다.
9. 세 실수 x, y, z가 x + y + 5z = 4, 0 ≤ x ≤ y ≤ z를 모두
만족할 때, x
2 + 2y
2 + z
2이 될 수 있는 값 중 가장 큰 것을
M, 가장 작은 것을 m이라 하자. M − m =
p
q
라 할 때,
p + q의 값을 구하여라. (단, p, q는 서로소인 양의 정수)
10. 다음 조건을 만족하는 양의 정수 m을 모두 더한 값을 구
하여라.
m2 − 10m + 10은 4 · 5
m−1의 약수이다.
11. 그림과 같이 36개의 칸으로 이루어진 판에 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8의 숫자가 적혀있다.
1 2
3 4
5 6
7 8
숫자가 적혀있지 않은 28개의 칸 중 6개에 검은 색으로
색칠한다. 색칠된 칸이 각 가로줄과 각 세로줄에 1개씩만
있도록 색칠하는 방법의 수를 구하여라.
12. 직사각형 ABCD가 AB = 18, BC = 10을 만족한다. 변
AD의 점 A 쪽 연장선 위에 AP = 3이 되도록 점 P 를
잡자. 변 AB 의 중점을 E 라 하고, 직선 EP 와 직선 BD
의 교점을 Q라 하자. 변 CD의 중점을 F, 삼각형 P QF 의
내심을 I 라고 할 때, 36 IE 의 값을 구하여라.
13. 방정식 x
2
(x − 5) + 2 = 0의 가장 큰 해를 a라 할 때,
[a
4
]의 값을 구하여라. (단, [x]는 x를 넘지 않는 가장 큰
정수)
14. 정팔면체의 각 면을 빨간색 또는 파란색으로 칠하는 방법
의 수를 구하여라. 단, 회전하여 같은 것은 한 가지로 센다.
15. 평행사변형 ABCD가 AB = 18, AD = 27을 만족한다.
삼각형 BCD의 외접원과 직선 CA의 교점을 E(̸= C)라
할 때, DE = 36이다. 선분 BD의 중점을 M 이라 할 때,
EM2
× 100의 값을 1000으로 나눈 나머지를 구하여라.
16. 다음 조건을 만족하는 양의 정수 n과 소수 p, q의 순서쌍
(n, p, q)에 대하여 npq를 모두 더한 값을 구하여라. (단, 0
은 완전제곱수이다.)
p
4 − 4q
n이 완전제곱수가 된다.
17. 좌표평면에서 직사각형 모양의 영역
R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 5}
이 있다. 한 변의 길이가 3인 정사각형 모양의 영역 Si,j 를
다음과 같이 정의한다.
Si,j = {(x, y) | i ≤ x ≤ i + 3, j ≤ y ≤ j + 3}
영역 Si,j (단, i, j 는 모두 정수)를 6개 선택할 때, 이들의
합집합이 R을 포함하도록 선택하는 경우의 수를 구하여라.
18. 예각삼각형 ABC (∠A < ∠B, ∠A < ∠C)의 외접원 Ω
의 중심을 O라 하고, 점 C 에서 직선 BC 와 접하고 점 A
를 지나는 원 Γ의 중심을 P 라 하자. 직선 AO와 원 Γ의
교점을 D (̸= A), 직선 AP 와 원 Ω의 교점을 E (̸= A)라 하
자. ∠ACD = 43◦이고 ∠AEC = 105◦일 때, ∠OP D = x
◦
이다. x의 값을 구하여라. (단, 0 ≤ x < 180 이다.)
19. 다음 조건을 만족하는 정수 n을 모두 더한 값을 구하여라.
(n
2 − 5n + 7)(n
2 − 21n + 49) = p
m을 만족하는
소수 p와 정수 m이 존재한다.
20. 2차 다항식 P(x)와 4차 다항식 Q(x)가 다음 네 조건을
모두 만족한다.
(i) 임의의 실수 x에 대하여
P(x)Q(x + 4) = P(x + 8)Q(x)
(ii) P(x) = 0은 서로 다른 2개의 실수근을 가진다.
(iii) Q(x) = 0은 서로 다른 4개의 실수근을 가진다.
(iv) P(x) = 0의 두 근의 차가 Q(x) = 0의 네 근의 합보다
8만큼 크다.
Q(x) = 0의 네 근의 제곱의 합이 될 수 있는 값 중 가장
작은 것을 a라 할 때, 10a의 값을 구하여라.
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