제32회 한국수학올림피아드 중등부 KMO 1차시험 문제

1. 다음 두 조건을 모두 만족하는 양의 정수 A와 B 에 대하여 A + 16B 의 값 중 가장 큰 것을 구하여라. (i) A − 2B = −7 (ii) A + 4B < 30

2. 십의 자리의 수가 3인 네 자리 양의 정수 중 9의 배수의 개수를 구하여라.

 3. 삼각형 ABC 가 ∠BAC > 90◦ , AB = 12, CA = 20 을 만족한다. 변 BC 의 중점을 M, 변 CA의 중점을 N 이라 하자. 두 점 A와 N 을 지나고 직선 AM 에 접하는 원을 O 라 하고, 직선 AB 와 원 O가 만나는 점을 P(̸= A)라 하자. 삼각형 ABC 의 넓이를 x, 삼각형 ANP 의 넓이를 y 라 할 때, x y × 200의 값을 구하여라.

4. 2p − 1, 10p − 1이 모두 소수가 되도록 하는 소수 p를 모두 더한 값을 구하여라.

5. 한 자리 양의 정수 A, B, C, D가 다음 계산식을 만족할 때, A + B + C + D의 값을 구하여라. A B C × B C D A B C (예를 들어, 5 1 2 는 512를 의미한다.)

6. 8명의 학생을 각 모둠의 인원이 2명 이상인 3개의 모둠으로 나누는 방법의 수를 구하여라. (단, 각 학생은 단 하나의 모둠에만 속한다.)

 7. 삼각형 ABC 의 세 변의 길이가 각각 AB = 4, BC = 5, CA = 6이다. 삼각형 ABC 의 수심을 H, 외심을 O라 하고 직선 AO와 직선 BH, CH 의 교점을 각각 X, Y 라고 하자. XY HX × 120의 값을 구하여라.

 8. 양의 정수 a, b가 다음 조건을 만족할 때, a + b가 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하여라. 339 47 < b a < 239 33

9. 다음 두 조건을 모두 만족하는 양의 정수 A, B, C 에 대하여 A + B + C 가 될 수 있는 값 중 가장 작은 것을 구하여라. (i) A > B > C (ii) 12B > 13C > 11A

10. 다음 두 조건을 모두 만족하는 집합 A, B, C 의 순서쌍 (A, B, C)의 개수를 구하여라. (i) 집합 A, B, C 는 집합 {1, 2, 3, 4, 5}의 서로 다른 세 부분집합이다. (ii) 집합 A, B, C, A ∩ B, B ∩ C, C ∩ A의 원소의 개수는 모두 짝수이다. (단, 0은 짝수

11. 이등변삼각형 ABC (AB = AC)의 변 BC 의 중점을 M 이라 하자. 점 P, Q, R, S 가 각각 선분 AC, CM, BM, AB 위에 있는 점으로 다음 조건을 모두 만족한다. ∠CP Q = ∠QRS = 90◦ , CP = 9, P Q = QR = RS, BS = 11 직선 P R 과 QS 의 교점을 X 라 할 때, MX = x 이다. (x + 1)2 의 값을 구하여라.

12. 양의 정수 a, b가 다음 두 조건을 모두 만족할 때, a + b의 값을 구하여라. (i) a 2 + b 2 + gcd(a, b) = 582 (ii) ab + lcm(a, b) = 432 (단, gcd(x, y) 는 x, y 의 최대공약수, lcm(x, y) 는 x, y 의 최소공배수)


13. 음이 아닌 정수에 대하여 정의된 함수 f 가 f(0) = 0이고, 각 양의 정수 n에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족한다. (i) f(3n − 2) = 4f(n − 1) + 3 (ii) f(3n − 1) = 4f(n − 1) + 2 (iii) f(3n) = 2f(n) + 1 f(n) = 253을 만족하는 정수 n을 모두 더한 값을 구하여 라.


14. 다음 두 조건을 모두 만족하는 정수 m, n의 순서쌍 (m, n) 의 개수를 구하여라. (i) |m| ≤ 15, |n| ≤ 15 (ii) max(|m| , |n|) ̸= max(|m − 2| , |n|) (단, max(a, b)는 a와 b중에서 작지 않은 값)


 15. 삼각형 ABC 의 외심을 O 라 하고 삼각형 OAC 와 OBC 의 외심을 각각 O1, O2 라 하자. 삼각형 ABC 의 외접원의 반지름이 10이고 ∠A = 45◦ , ∠B = 60◦ 일 때, O1O2 = d 이다. (d − 5)2 의 값을 구하여라.


16. 두 소수 p, q 가 다음 두 조건을 모두 만족할 때, p가 가질 수 있는 가장 큰 값을 구하여라. (i) 5 < p < q < 2p + 100 (ii) p 2 + 5(q + 2)p + 25는 완전제곱수


 17. 양의 실수 a, b, c가 다음 세 조건을 모두 만족할 때, a+b+c 의 값을 구하여라. (i) c > a (ii) 10c = 7a + 4b + 2024 (iii) (a + c) 2 a + (c − a) 2 b = 2024


18. 다음 두 조건을 모두 만족하는 함수 f : {−2, −1, 0, 1, 2} → {−2, −1, 0, 1, 2}의 개수를 구하여라. (i) 서로 다른 x, y에 대하여 f(x) ̸= f(y) 이다. (ii) f(x) 2 = x 2 인 x가 존재한다.


 19. 예각삼각형 ABC 에서 각 A의 이등분선이 변 BC 와 만나 는 점을 D, 삼각형 ABC 의 내심을 I, 삼각형 ABC 의 방접 원 중 변 BC 에 접하는 것의 중심을 J 라 하자. AJ = 90, DJ = 60일 때, 삼각형 BCI 의 외접원의 반지름의 길이를 구하여라.


20. 다음 조건을 만족하는 양의 정수 n 중 가장 작은 값을 구 하여라. n 3 + 7과 3n 2 + 3n + 1이 서로소가 아니다. –