영국 유학의 장점 2

영국은 세계에서 가장 오래된 대학 전통을 가진 나라로 영국의 대학들은 세계가 인정한 연구중심의 학교들이다. 2016년도 세계 대학 랭킹 기준으로 영국 대학은 10위 내에 4개 대학이, 100위 내에 17개 대학이 포함되어 있다. 전체 영국 대학의 수가 130여개인 것을 감안한다면 영국 대학들의 수준이 얼마나 높은지 알 수 있다.

이렇게 영국 대학들이 높은 수준을 유지할 수 있는 이유는 영국의 대학들은 모두 국공립으로서 국가와 학교가 양보다는 학문의 질적 향상을 위해 같이 노력하기 때문이다.

뿐만 아니라 영국은 세계를 선도하는 연구 중심 국가로 영국 대학에서 수행한 연구의 54%이상이 세계적인 수준 혹은 국제적으로 탁월함을 인정받고 있다. 이것은 2016년 올해 영국이 받은 노벨상 숫자가 증명해주고 있다.

영국은 학위 기간이 다른 나라에 비해 짧다. (학사 3년, 석사 1년, 박사 3년) 간혹 영국이 물가가 비싸 학비가 비싸다는 인식이 있지만 대학이 3년이기 때문에 학비는 다른 나라에 비해 오히려 저렴하다. 또한 영국은 유럽의 중심 국가 중 하나로 역사적, 지리적으로 세계 여러 나라와 매우 돈독한 관계를 유지 해오고 있다. 때문에 전세계 국가에서 매년 40만명 이상의 학생들이 영국으로 유학을 오고 있다. 이렇게 다양한 유학생들과의 교류를 통해 자연스럽게 국제적인 인맥과 마인드를 갖출 수 있다.

영국의 시인 사무엘(Samuel Johnson)이 ‘런던에 싫증난 사람은 인생에 싫증난 것이다’ 라고 말했듯이 영국은 어느 나라보다 다양한 문화를 체험 할 수 있는 나라이다. 수많은 박물관, 뮤지컬과 음악, 축구, 그리고 영국의 아름다운 전원 풍경은 세계적으로 유명하다. 또한 영국은 잉글랜드, 웨일즈, 스코틀랜드, 북아일랜드가 합쳐져 이루어진 국가인 만큼 한 나라지만 4나라 각각의 문화를 가지고 있어 그만큼 볼거리, 즐길 거리가 풍부한 곳이다.

그리고 영국은 학생비자를 소지한 학생들에게는 무료 의료 혜택과 파트타임 일자리 허용 등 유학생들에게도 다양한 혜택을 주고 있다. 또한 영국 대학 지원에 필수 요소인 에이레벨 (A Level) 테스트 공식 센터가 한국에도 (캠브리지 코리아) 생겨 이제는 한국 학생들도 영국에 가지 않아도 에이레벨을 한국에서 공부하고 시험 볼 수 있다. 이제는 우리나라 학생들도 예전보다 더 쉽게 영국 유학을 준비 할 수 있어 더욱 많은 학생들이 이런 영국의 우수함을 배우기 위해 영국으로 유학을 간다면, 자신의 경쟁력을 키울 수 있는 시간이 될 수 있을 것이다.

조선일보

영국 유학의 장점 1

이번 2016년 노벨상 수상자는 총 11명 중 영국이 6명으로 가장 많은 수상자들을 배출하였다. 심지어 노벨 물리학상은 3명 모두가 케임브리지 대학 출신들로 알려져 있다. 과학을 전혀 모르는 사람들도 아는 뉴우튼의 나라인 영국이라 새삼 놀랄 것도 아니지만 올해 전체 노벨상 수상자의 절반이상이 영국에서 나온 것과 얼마 전 세계에서 가장 이슈가 되었던 알파고의 개발자, 데미스 하사비스 (Demis Hassabis)또한 영국 출신인 것을 보면서 이것이 결코 우연만은 아니라는 생각이 들었다. 이렇게 영국이 계속해서 세계적인 인재를 배출 할 수 있는 데에는 분명 이유가 있고 거기에 영국의 교육이 한 몫을 했을 거라 생각하여 필자는 2회에 걸쳐 영국 교육의 특징과 우수함에 대해 소개하고자 한다.

영국 교육은 넓이보다는 깊이를 중시하는 교육이다. 이런 깊이 있는 교육이 가능한 건 어려서부터 주입식 교육이 아니라 토론식 교육을 하기 때문이다. 영국학생들은 학교 수업에서 정해진 답을 외우는 것이 아니라 자신의 생각을 논리적으로 표현하고 발전시키는 법을 배운다.

영국의 깊이를 강조하는 교육은 대학 입학 과정이자 시험인 A Level에도 잘 나타나 있다. A Level은 자신이 관심 있거나 앞으로 전공하게 될 분야와 관련 있는 과목 중 3~4개를 선택하여 집중적으로 공부하게 된다. A Level의 수준은 대학 1학년 수준으로 높다. 시험 문제도 객관식이 아니고 서술형이라 답만 맞으면 되는 것이 아니라 과정도 모두 써야 점수를 얻을 수 있다.

또한 영국은 대학 진학 율이 높지 않다. 왜냐하면 대학을 나온 다고 사회에서 받는 처우나 급여가 별로 다르지 않기 때문이다. 정말 자신이 관심 있는 분야를 더 공부 하고 싶거나 연구하고 싶은 학생들만이 대학에 진학한다.

대학 입학 후에도 학생 수가 많지 않기 때문에 학생들은 교수님들과 도제 스타일의 수업이 가능하다. 즉 영국 대학은 강의도 하지만 Tutorial이라는 제도를 통해 강의와는 별도로 교수님과 개인적으로 만나 질문하고 토론하는 수업을 하게 된다.

이 시간에 학생들은 강의에서 배운 내용뿐만 아니라 본인이 공부하면서 더 알고 싶은 내용에 대해 교수에게 질문하고 같이 고민하면서 많은 발전을 하게 된다. 만약 Tutorial 시간에 학생이 질문할 내용을 준비해 가지 않으면 교수는 지난 강의 내용만 다시 되짚어 줄 뿐이다. 이렇게 학생들은 본인의 노력에 따라 같은 대학, 같은 교수 밑에서 공부해도 졸업 할 때 실력은 하늘과 땅 차이가 될 수도 있다. 필자는 전에 지인 중 하나가 영국 대학은 비싼 수업료를 받고서 가르쳐 주는 건 하나도 없다는 말을 하는 걸 들은 적이 있다. 이런 오해를 종종 받는 이유는 영국 대학들의 수업은 강의도 하지만 대부분은 교수들과의 Tutorial을 통해 학생들 스스로 궁금하고 알고 싶은 내용을 교수들에게 질문하고 배우는 방식이기 때문이다. 만약 학생들이 교수에게 도움을 청하고 배울 것을 준비해 가면 교수들은 자신들이 아는 것 이상의 것을 학생들에게 가르쳐주고 같이 고민하고 연구하지만 학생 스스로가 공부 하지 않으면 먼저 도움을 주지 않는다. 이렇게 자율성을 중요시하는 환경에서 영국학생들은 자연스럽게 스스로 알고 싶은 것에 대해 탐구하고 연구하는 태도를 배우게 된다.

이런 영국의 자율적이고 집중적인 교육이야 말로 영국으로 하여금 산업혁명을 이끈 증기 기관부터, 페니실린, 레이더, 컴퓨터, 그리고 알파고 까지 지금까지 없었던 새로운 문물을 만들어 인류 진보에 기여할 수 있게 해준 가장 큰 원동력이 아닐까 생각한다.

조선일보

홍콩 유학 알아보자

통계로 봐도 지난 3년간 유학 국가로 가장 많은 증가를 보인 나라는 홍콩으로 유학생의 수가 2010년부터 2013년까지 3년새 6배가 증가했다.

이렇게 홍콩으로 유학을 떠나는 학생들이 급증 하게 된 이유는 홍콩은 도시 국가 이지만 세계적인 금융도시로 전세계 인재들이 모여드는 국제도시로 어느 나라 명문 대학 못지 않는 최고 수준의 교육을 자랑하기 때문이다.

2016년 QS 대학 평가를 보면 3개의 홍콩 대학이 (The Hong Kong University of Science and Technology, The University of Hong Kong, The Chinese University of Hong Kong) 세계 100위 대학에 각각 28, 30, 51위로 선정 될 만큼 홍콩은 인구 대비 당 세계적인 명문 대학이 가장 나라이다.

특히 공학과 의학은 세계적인 수준으로 유엔 산하 WHO(세계보건기구)가 정한 11개 병원 중 하나가 홍콩 대학에 있다.

이렇게 홍콩대학들이 국제적인 인정을 받게 된 이유는 대학들이 수업과 연구를 위해 세계적인 교수들을 영입하고자 지원을 아끼지 않을 뿐 아니라 엄격한 교수 선발과 평가를 통해 어느 나라 대학들보다 빠르게 성장하고 있기 때문이다. 그 예로 홍콩 과기대는 (The Hong Kong University of Science and Technology) 20년이 조금 넘는 역사에도 불구하고 세계적으로 그 연구 성과를 인정 받아 당당히 세계 대학 순위 28위를 차지하고 있다.

또한 홍콩은 세계적인 비즈니스 중심지로 대학 졸업 후 다국적 기업에 취업 할 수 있는 기회가 많은 나라이다. 현재 세계 4000여개의 해외 및 중국 본토 기업들이 사무실을 홍콩에 두고 있으며 홍콩대 (University of Hong Kong) 졸업생의 경우 99%, 홍콩 중문대의 (The Chinese University of Hong Kong) 경우 졸업생의 92%가 졸업 후 취업에 성공하고 있다. 특히 홍콩 정무는 외국인 친화 정책으로 각국의 인재들을 영입하는데 힘을 쓰고 있어 외국인 학생들도 차별 없이 취업 할 수 있다.

뿐만 아니라 홍콩은 아시아 국가지만 글로벌한 교육 환경을 가지고 있어 세계인재들과 경쟁하며 국제적 마인드를 갖출 수 있다.

홍콩의 높은 수준의 교육과 더불어 저렴한 학비와 다양한 장학제도의 혜택도 유학생들을 끌어들이는 데 한몫을 하고 있다.

미국이나 영국 등의 1년 대학 학비가 5000만원~3000만원인것에 비해 홍콩의 대학교 학비는 연간HK 100000 (1500만원) 정도로 다른 나라에 비해 매우 저렴하다. 뿐만 아니라 대학들은 우수한 국제 학생들을 유치하기 위해 유학생들에게도 학비뿐만 아니라 기숙사비와 생활비까지 제공하는 전액 장학금을 비롯한 다양한 장학제도를 제공 하고 있다.

여기에 중국과 무역을 넓혀나가고 있는 우리나라 기업들도 중국의 정서를 가지고 있으면서 영어도 가능한 홍콩 유학생들을 선호하고 있어 앞으로 홍콩으로 유학을 떠나는 학생들이 더 많아 질 전망이다.

조선일보

세계 명문대 쉽게 가는 방법은 없다

한국은 인도, 중국에 이어 아시아에서 3번째로 유학을 많이 가는 나라이다. 인구 비율로 보면 아시아에서 가장 많은 유학생들이 해외로 가고 있다고 볼 수 있다. 그로 인해 유학생들을 상대로 소위 말하는 유학 상품들도 넘쳐나는 상황이다. 하지만 이렇게 많은 유학생들로 인해 이제는 진짜 제대로 된 유학을 준비하고 가지 않으면 유학이 더 이상 어떤 경쟁력도 가질 수 없는 시대가 되었다. 예전에 유학이 드물었던 때에는 유학을 다녀 왔다는 것 만으로도 받을 수 있는 특혜가 많았지만 지금은 유학생들끼리의 경쟁이 치열해져 제대로 다녀온 유학이 아니면 오히려 시간과 비용만 낭비하게 된다.

그럼 제대로 유학을 가려면 어떻게 해야 할까? 일단, 자신이 하고 싶은 분야가 무엇인지를 고민하고 많은 리서치를 통해 유학을 갈 국가와 학교, 전공을 구체적으로 정해야 한다. 대학 진학을 목표로 하는 경우는 현재의 내신 성적, 영어 실력, 나의 성향, 재정상태 등을 고려해 나에게 가장 유리한 유학 과정을 선택해야 한다.

최근 쉽게 해외 명문대를 갈 수 있다는 광고가 홍수를 이루고 있다. 어떤 테스트도 필요 없이 영어 성적만 있으면 혹은 1년 어학 코스만 들으면 명문대 입학할 수 있다고 홍보하는 광고를 그대로 믿고 유학을 갔다가 낭패를 보는 일이 자주 있다. 많은 허위 광고들이 해당 사항이 없는 대학 이름을 광고하거나 실제로 그 대학에는 없는 과정을 광고하는 경우까지 있다. 그리고 명문대라고 하는 학교도 잘 알려져 있지 않은 대학들이거나 그 대학의 분교인 경우가 대부분이다.

이런 어처구니없는 광고에 속기 전에 현실적으로 꼼꼼히 따져보아야 이런 어리석은 선택은 하지 않을 수 있다. 우리나라 대학의 경우를 보더라도 서울대학이나 고려대학 같은 명문대를 지원하려면 얼마나 많은 준비와 실력이 있어야 하는지 짐작이 될 것이다. 하물며 세계적으로 더 인정받는 해외 명문대를 영어 성적 만으로 혹은 1년 어학 과정을 통해서 진학 할 수 있다는 것은 당연히 있을 수 없다. 만약 입학 할 수 있다고 해도 이 정도의 실력으로는 대학에서 수업을 따라갈 수 없다.

세계 나라도 쉽게 좋은 대학교를 입학할 수 있는 방법은 없다. 명문 대학일수록 제대로 된 과정을 거쳐야 입학할 수 있다는 것을 명심하길 바란다.

해외 명문대를 입학하는 과정은 여러 가지가 있다. 어느 과정이 더 좋고 유리한 것이 아니라 어느 과정이 나에게 유리한 과정인지를 결정하는 것이 성공적인 유학을 위한 첫걸음이 될 수 있다.

이런 점에서 요즘 강남을 중심으로 해외 명문대 입학의 새로운 강자로 급 부상하고 있는 캠브리지 에이레벨을 소개하려고 한다.

캠브리지 에이레벨은 영국 캠브리지 대학의 산하 기관인 Cambridge International Examinations (CIE)가 개발하였고 조선에듀케이션이 국내 최초의 공식 센터로 캠브리지 에이레벨을 주관하고 있다.

캠브리지 에이레벨이 여러 과정 중 한국 학생들에게 특히 유리한 과정으로 인식 되고 있는 이유는 다음과 같다.

캠브리지 에이레벨 과정은 고교 내신을 대신한다. 그래서 자사고나 특목고 또는 경쟁이 치열한 지역의 일반고 학생들 중 높은 학업 능력에도 불구하고 내신 성적이 좋지 못해 명문대 진학이 힘든 경우가 많다. 이런 학생들도 캠브리지 에이레벨 과정으로 고교 내신에 상관 없이 케임브리지나 옥스퍼드, 홍콩대, NUS 대학 같은 영국, 홍콩, 싱가포르 등의 최상위 대학에 진학 할 수 있다.

이런 에이레벨의 이점을 누구 보다 잘 알고 있는 있는 한국 캠브리지 에이레벨 센터의 유지영 센터장은 처음 센터에 4~5등급의 성적으로 해외 명문대를 진학 할 수 있냐며 걱정스러운 눈빛으로 상담 했던 학생들이 1년 동안 열심히 공부해서 좋은 성적으로 영국을 비롯해 홍콩, 싱가포르, 호주 등의 명문대에 합격하는 것을 보면서 앞으로 더욱 캠브리지 에이레벨을 한국 학생들에게 알리고 싶다는 욕심이 생겼다고 한다.

그리고 캠브리지 에이레벨은 자신이 전공하고자 하는 분야와 관련 된 과목 혹은 잘하는 과목 중 3~4과목을 선택할 수 있어 자신이 선택한 과목들만 공부 한 후 시험을 보게 된다. 선택할 수 있는 과목은 총 55개로 한국 학생들이 많이 선택하는 과목으로는 수학, 생물, 화학, 물리, 심화 수학, 경제, 역사, 회계, 심리 등이 있다.

이렇게 에이레벨은 많은 과목을 할 필요가 없이 자신이 좋아하고 잘 하는 과목만을 선택하여 공부할 수 있기 때문에 자신의 역량을 최대로 발휘 할 수 있는 장점이 있다.

그 예로 중위권 정도의 성적이었던 김양은 캠브리지 코리아 센터에서 에이레벨을 공부하고 이미 king’s College 에서 2017년도 입학 합격 통지를 받고 Oxford 대학의 결과를 기다리고 있다. 3과목 캠브리지 에이레벨 성적으로 세계 랭킹 21위의 King’s College의 합격과 2위인 Oxford 대학을 지원 할 수 있게 된 것이 꿈만 같다고 말했다. 그리고 여러 과목을 공부해야 하는 한국의 수능에 비해 켐브리지 에이레벨은 내가 선택한 3과목만을 집중적으로 공부 할 수 있어 같은 노력으로 훨씬 좋은 해외 명문대에 입학할 수 있었다고 말했다.

또한 세계적인 영국 Louborough (세계 랭킹 62위) 대학에 이미 입학 허가와 장학금을 받고 역시 Oxford 대학 결과를 기다리고 있는 노군은 에이레벨에 대해 짧고 집중적인 점을 에이레벨의 장점으로 꼽았다.

노군은 선생님들의 열정적인 수업과 학생의 노력이 1년의 짧은 기간에 우수한 에이레벨 성적을 만들어 낼 수 있었다고 말했다.

그리고 에이레벨은 대부분 문제 유형이 서술형이며 대학 공부에 필요한 지식들을 배우는 과정인 만큼 에이레벨을 공부 한 학생들은 대학 입학 후에도 학과 공부에 누구보다 잘 적응 할 수 있다.

학생들이 대학 지원 후 문제는 멀게 만 느껴져 별로 신경 쓰지 않지만 해외 명문대학들은 입학 하는 것 보다 졸업하는 것이 훨씬 어렵다는 것은 이미 많은 사람들이 알고 있는 사실이다.

그런 면에서 에이레벨은 미리 전공할 분야를 정해 그 분야와 관련 된 과목들을 공부하기 때문에 대학 수업에 미리 준비를 할 수 있다.

그래서 캠브리지 에이레벨 과정을 이수 한 학생들은 영국의 캠브리지, 미국의 하버드, MIT 같은 세계 최상위 대학교 입학 관계자들에게 깊이 있는 전공 지식을 가지고 있을 뿐만 아니라 토론과 논리적인 사고를 요구하는 대학 수업에 잘 준비가 되어 있다고 평가 받고 있다.

그 예로 캠브리지 코리아 센터의 에이레벨 과정을 이수하고 해외 명문대로 진학한 학생들의 1학년 평균학점이 3.5에 달한다는 통계 결과가 있다. 2008년 조선일보에 따르면 미국 대학생활에 적응하지 못하고 중도 하차하는 한국학생들의 비율이 44%에 이른다고 하는데 이것과 비교하면 사뭇 대조적이다.

조선일보

호주 유학의 장점

호주를 떠올리면 우리에게 가장 먼저 생각나는 것은 아마 캥거루나 코알라 같은 동물들과 아름다운 자연일 것이다. 하지만 호주가 이런 자연 말고도 세계적인 교육수준을 자랑하는 나라라는 사실이 잘 알려져 있지 않은 것 같아 이번에는 호주 교육의 우수성에 대해 알아보려고 한다.

호주는 전체 대학교 40개 중 15%인 7개 대학이 세계 100위 안에 포함되어 있고 또한 호주 대학들은 세계에서 유학생을 가장 많이 유치하는 나라로 알려진 미국, 영국에 대학들에 비해 전혀 뒤지지 않는 우수성을 자랑하고 있다.

QS 세계 대학순위 (2015)

-Australian National University (19위)

-University of Melbourne (42위)

-University of Sidney (45위)

-University of NSW (46위)

-University of Queensland (46위)

-Monash University (67위)

-University of Western Australia (98위)

-University of Adelaide (113위)

이런 호주 대학의 우수성은 호주 정부가 대학간의 경쟁을 장려하여 교육의 질을 높이고자 다양한 대학 평가 시스템을 만들고 이를 이용하여 대학들의 실력을 꾸준히 검증하고 있기 때문이다.

감사 독립기구인 호주 대학 품질국 (AUQA)에서 5년 주기로 대학 감사 보고서를 공개 하고 있으며 호주 연방정부도 매년 대학 교육의 품질 보증과 개선 방안에 대한 자료를 정기적으로 발행함으로써 대학들을 끊임 없이 평가하고 분석하여 대학간 경쟁을 유도 하고 있다.

이런 노력으로 호주는 지금까지 12명의 노벨상 수상자를 배출해 왔고 그 중 8명이 과학과 의학상을 받을 정도로 과학과 의학 분야의 수준이 높다. 세계 인구의 0.3%에 불과한 나라가 세계 과학지식의 3%에 이르는 공헌을 한 것은 호주 교육의 높은 수준을 보여주는 한 예라고 할 수 있다.

한국 학생들도 조기유학을 포함하여 호주로 유학을 가는 학생들이 많아지고 있는데 호주 유학의 장점을 살펴 보면 우선 호주는 온화한 기후와 아름다운 자연 환경으로 유명할 뿐만 아니라 범죄 율도 매우 낮다. 이러한 안전하고 쾌적한 기후가 학생들에게 최적의 교육환경을 제공한다.

영어적인 면에서도 호주는 넓은 대륙임에도 불구하고 산이 없는 지형적 특성 때문에 사투리가 없어 어느 지역에서나 표준 영어를 배울 수 있는 장점이 있다.

학생들을 위한 혜택으로는 유학생들은 학생비자를 신청할 때 OSHC (Overseas Student Health Cover)라는 보험을 신청하게 되는데 유학생들은 이 보험을 통해서 치료비를 지원 받을 수 있다.

또한 호주 정부는 유학생들에게 합법적으로 주에20시간까지 일을 할 수 있도록 허용해주고 있어 호주에서는 학생비자 소지자라면 누구나 합법적으로 일을 할 수 있다. 방학 때는 무제한으로 일을 할 수 있고 전세계에서 호주는 최저시급이 가장 높기 때문에 유학생들이 공부하면서 자신의 생활비를 스스로 벌 수 있을 뿐만 아니라 호주 사회에 대한 경험도 할 수 있다.

마지막으로 호주는 다양한 민족적인 배경을 가진 사람들이 모여서 세운 나라로 문화적 다양성은 호주의 가장 큰 특징이다. 이런 호주의 다양한 문화 속에서 공부하며 사회를 경험하면서 학습하는 학생들은 더욱 글로벌한 인재로 성장할 수 있다.

조선일보

싱가포르 유학의 장점

싱가포르는 홍콩에 이어 2010년 이후 3배가까이 한국 유학생이 증가하고 있는 신흥 유학 강국이다. 그럼 싱가포르 대학들의 어떤 장점들이 한국 유학생들의 관심을 끌고 있는지 알아보기로 하자.

싱가포르는 전체 면적이 우리나라 수도인 서울 크기의 작은 국가로 국공립 대학의 수가 4개에 불과하다. 하지만 이들 중에 2개의 대학이 (싱가포르 국립대, 난양공대) 세계 대학 랭킹 12, 13위를 차지할 정도로 그 우수함을 인정 받고 있다.

이렇게 작은 나라가 세계 최고 수준의 학업 수준과 연구 성과를 가지게 된 데는 정부가 우수한 인재 양성을 위해 대학들을 교육중심에서 연구중심으로 변화 하도록 과감한 투자와 지원을 하고 있기 때문이다. 그 예로 싱가포르 국립대학은 (NUS) 총 예산의 70%를 연구 능력이 뛰어난 교수진을 고용하는데 투자하고 있다.

교수들의 연봉과 승진 체계도 연공서열에서 성과 위주로 개혁했다. 예를 들어 기업체의 프로젝트를 따오거나 연구성과가 좋은 교수들에게는 후한 성과급을 지급한다. 싱가포르 대학들은 연구하는 교수와 수업 하는 교수들을 분리하여 연구 하는 교수들은 행정 업무를 하지 않으며 수업 시간도 1년에 3과목만으로 짜인다. 또한 강의 내용도 교수의 연구부분과 관련된 주제 한가지만 강의 할 수 있어 수업의 연속성을 유지 할 수 있다.

그래서 부족한 수업은 강의를 전담하는 교수들을 별도로 고용해 충당하고 있다. 이렇게 연구 전문 교수와 강의 전문 교수를 분리하여 연구 전문 교수는 연구에 대해서만 강의 전문 교수는 수업 내용만 평가하여 교수들이 효율적으로 연구에 집중 할 수 있도록 많은 연구비와 시간을 보장해주고 있다.

무엇보다도 대학들은 교수들의 논문에 대한 필터링 제도를 두어 논문의 양적인 면뿐만 아니라 질적인 면에서도 철저히 평가한다. 그 결과 싱가포르 대학은 세계 대학 평가 항목 중 중 연구 및 논문 분야에서 아시아 1위를 차지하고 있다.

싱가포르는 최고의 교육 수준뿐만 아니라 학비도 국가에서 60%까지 내국인과 외국인에 상관 없이 지원 해 주고 있어 해외 유학을 준비 하는 학생들에게 더욱 인기를 얻고 있다. 세계 무역의 중심지인 싱가포르는 학생들이 싱가포르 내에 있는 구글과 같은 많은 다국적 기업에서 인턴을 할 수 있는 기회들이 많아 취업이나 창업 전에 다양한 경험을 할 수 있다. 또한 학비 지원을 받은 학생들은 의무적으로 3년동안 싱가포르 회사에서 근무해야 하는 조건이 있어 요즘같이 취업에 어려움을 겪고 있는 한국학생들은 싱가포르 유학에 더욱 관심을 보이고 있다.

싱가포르는 법이 엄격할 뿐만 아니라 교육열도 대단한 나라로서 어려서부터 철저히 경쟁과 성과위주의 교육을 받는다. 이런 높은 학구열은 대학에 가서도 이어져 싱가포르 대학에는 술, 담배, 시위 이 3가지가 없다. 대학의 엄격한 학사 관리와 면학 분위기로 인해 학생들을 공부하는 데 집중 할 수 밖에 없다. 예로 싱가포르 국립대학인 NUS의 신입생 환영회는 선배들과 술판을 벌이는 것이 아니라 재활용품으로 만든 작품들을 전시하는 것으로 신입생 환영회를 하고 있다.

기숙사 또한 규모가 커 모든 학생들이 2년동안 기숙사 생활을 보장 받을 수 있다. 싱가포르는 아시아에서 가장 작은 나라 중 하나이지만 세계 초강대국 못지 않은 영향력을 가지고 있다. 자연자원이 거의 전무한 나라가 이렇게 빠른 시간 안에 발전 할 수 있었던 것은 나라와 기관이 협력하여 지속적인 인재 양성에 집중했기 때문이다.

서양의 선진국들에 버금가는 싱가포르 대학들의 높은 교육 수준, 세계적인 교수진, 저렴한 학비, 깨끗하고 안전한 생활환경 등은 앞으로도 유학을 준비 하는 학생들에게 더욱 인기를 끌 것이라 예측된다.

조선일보

성향에 따른 공부 지도법 III

자유로운 성격, 주의산만한 성격, 그밖에 성격

사. 자유로운 성격에 어울리는 공부법

계획을 세우는 일에 서툰 성격이라면 크게 크게 계획을 잡아 보는 연습부터 하는 것이 좋다. 이런 성격의 학생들은 긴 시간 공부하는 것에 쉽게 싫증을 느끼는 경우가 많다. 그럴 때는 짧게 짧게 시간을 끊어서 공부해도 좋다. 다만 자기가 공부할 분량에 필요한 시간을 정해 두고 시간 안에 끝내도록 집중하는 연습은 꼭 필요하다. 이 경우는 시작도 하기 전에 포기할 확률이 높으므로 시작이 반이라는 생각으로 첫 발을 과감하게 디뎌봐야 한다. 특히 자기 동기부여를 위해 볼펜 한 다스를 구입해서 일주일 안에 다 쓴다는 각오로 공부해보는 것도 좋다. 계획에 따르기보다 자신의 실천정도에 의해 스스로 자극받는 것이 편할 수 있기 때문이다.

아. 주의가 산만한 성격에 어울리는 공부법

주의가 산만한 편인 학생들은 책상에 앉자마자 다른 생각이 들거나 다른 관심사에 신경을 쏟는다. 이런 경우는 머리를 쓰는 공부보다 몸을 쓰는 공부를 반복함으로써 자연스럽게 집중하는 편이 낫다. 서브노트를 만들거나 오답을 정리하는 것이 여기에 속한다. 앞서 설명한 문제부터 푸는 식의 접근도 역시 유효하다. 특히 작은 과제를 짧은 시간 안에 주파하면 바로 보상을 해주는 식의 공부법이 유효하다.

자. 기타

자기가 무엇을 주도해서 해결하려는 아이들은 선생님의 지지와 조언만으로 충분히 좋은 결과를 얻을 수 있지만 수동적인 학생이라면 적절한 과제의 분배와 보다 적극적인 개입이 좋은 효과를 거둘 수 있다. 또한 외향적이고 자기표현에 익숙하거나 경쟁을 즐기는 학생들은 소그룹 공부가 맞을 수 있지만, 내향적이고 자기표현이 어색하며 자기 성취감을 더 소중히 생각하는 학생들은 1:1의 상담과 개인 공부가 맞을 수 있다. 따라서 학생들의 성향을 면밀히 관찰하고 그 학생에 맞는 관리방법을 구상하는 것이야 말로 학습지도의 출발점이라 하겠다.

지금까지 3주에 걸쳐서 성격에 따른 공부의 방법을 알아보았다. 공부도 사람이 하는 일이며 모든 일류대 합격자들이 전부 100점만 맞고 합격한 것이 아니다. 나에게 주어진 시간과 임무에 성실함과 제대로 된 방법론을 가미하여 최선을 다한다면 누구나 승리할 수 있다. 자기주도학습 이라는 대 원칙을 기본으로 하여 학생 스스로 주도권을 갖고 제시된 내용들을 실천해보자. 그 과정에서의 만나는 어려움을 피하지 않고 격파할 때 비로소 남에게 의존하지 않고 자신의 삶을 살아 나갈 힘을 배우게 된다.

조선일보

A Level VS IB Diploma 과정

A Level의 정식 명칭은 General Certificate of Education Advanced Level이며 보통은 이를 줄여서 A Level이라고 부른다. A Level은 1951년 처음으로 소개되어 지금까지 영국을 비롯하여 미국, 유럽, 아시아, 아프리카 등 전세계에서 대학 지원 시 학생들의 학습능력 평가를 위한 기준으로 널리 인정받아 오고 있다. 우리나라의 학제가 12학년제인 것과는 다르게 영국은 고등학교까지가 13학년제이다.

이 중 대학에 진학하지 않을 학생들은 11학년을 마치고 GCSE라는 시험을 응시 한 후 이 점수를 가지고 취업을 하는 반면 대학에 진학하고자 하는 학생들은 12,13학년 2년에 걸쳐 A Level이라는 과정을 공부 한 후 시험을 보고 이 점수로 대학에 지원하게 된다.

A Level은 AS라는 기본과정과 A2라는 심화과정으로 구성되어 있으며 A Level은 자신이 잘하거나 또는 앞으로 전공하게 될 분야에 필요한 과목 중 3~4개를 선택하여 공부하게 된다.

과목 선택 시 고려해야 할 점은 전공에 따른 필수 이수 과목이다. 예를 들어 경제학을 전공하고 싶은 학생이라면 반드시 수학 과목을 이수해야 하고 기계 공학을 전공 하고 싶은 학생이라면 수학, 물리를 이수해야 한다.

또한 경영학과 같이 필수 이수 과목이 없는 전공을 선택할 경우에는 과목 선택에 있어 제한이 없다. A Level의 점수는 A*가 최상위 점수이고 A,B,C,D,E 순으로 주어진다.

IB는 International Baccalaureate의 약자로 IB Diploma 과정 또한12, 13학년 2년에 걸쳐 과정을 공부 한 후 시험을 보고 그 점수로 대학에 지원하게 된다.

IB는 A Level과 같이 영국을 포함한 전세계 대학 지원 시 학생들의 학습능력 평가를 위한 기준으로 쓰이고 있다. IB는 학생들이 언어, 제2 외국어, 사회과학, 자연 과학, 수학, 예술 6개 영역에서 각 1개씩 과목을 선택해야 한다. 이중 예술 분야만 다른 영역에서 대체할 수 있다. 이렇게 6과목 중에서 기본과정 3과목, 심화과정 3과목을 선택하게 된다. IB점수는 각 과목의 만점이 7점으로 총 42점과 학과 점수 외에도 TOK (Theory of Knowledge), EE (The extended Essay), CAS (Creativity Activity and Service) 점수까지 포함하여 총 45점이 만점이다.

TOK는 철학, 논술 등을 통하여 비판적이고 이성적인 사고를 기르는 교육 과정으로 100시간의 수업을 이수하고 1,200-1,600 자의 에세이와 하나의 프레젠테이션을 완성해야 한다. EE는 학생 각자가 리서치와 추론을 통해 4000자 미만의 에세이를 써서 제출해야 한다. CAS는 교과 과정에 포함되지 않은 과정을 배우는 50시간, 물리적인 운동50시간, 그리고 봉사하는 50시간을 2년에 걸쳐 이수하게 하게 된다. IB는 Diploma를 받으려면 45점 만점 중 최소 24점이상을 받아야 하고 6과목에서 최소 3점 이상을 받아야 한다.

앞의 A Level과 IB의 설명에 이어 이번에는 두 과정의 차이점에 대해 알아보려고 한다. A Level은 영역에 상관 없이 3~4과목을 학생이 선택 할 수 있어 다양한 영역에 특출 나지 않거나 한쪽 영역에만 뛰어난 학생들도 집중하여 공부 할 수 있어 좋은 점수를 받는 것이 용이하다.

반면 IB는 문, 이과 6개 영역에서 골고루 과목을 선택해야 하므로 모든 영역에 있어 우수한 학생들이 높은 점수를 받기 유리하다. A Level은 한국에 캠브리지 코리아라는 공식 센터에서 고등학교 재학생이나 졸업생을 모두 이곳에서 A Level과정을 이수 하고 시험 볼 수 있다. IB는 이 과정을 개설하고 있는 고등학교에서 IB 과정을 이수하고 시험 볼 수 있다. A Level은 학과 지식 이외에 다른 활동은 필요하지 않다. 반면 IB는 TOK, EE, CAS를 통해 다양한 활동을 점수에 반영한다.

다시 말하면 A Level은 학문에 대한 집중 교육이라면 IB는 전인 교육에 가깝다. 두 시험 모두 서술형으로 학생들에게 비판적이고 논리적인 사고를 가르치는 매우 우수한 과정들이다. 어느 과정이 더 좋고 덜 좋은 것은 아니다. 자신이 잘하고 좋아하는 영역이 뚜렷한 학생에게는 A Level 과정이 더 효과적이라면 다방면으로 뛰어난 학생이라면 IB로 자신의 장점을 부각 시키는 것이 더 효과적일 수 있다.

조선일보

해외 의대 진학

한국에서 의사는 예전부터 존경 받는 직업 중 하나이다. 그리고 의사의 수입도 다른 직업에 비해 높은 편이어서 의사가 되려는 사람들이 많다. 그래서인지 예전에는 수능에서 가장 높은 점수를 받는 학생들은 대부분 물리학과 같은 기초 과학 분야에 지원 했던 것과는 달리 요즘에는 의대를 지원 하는 경우가 대부분이라고 한다.

많은 부모님들이 집안에 의사 하나는 있어야 한다는 말들을 종종 하곤 한다. 이걸 보면 의대를 가려고 하는 마음에는 아마도 본인들의 의지와 더불어 부모님의 바램도 큰 건 아닐까 생각한다.

그러다 보니 우리나라에서 의대를 가는 것이 어려운 학생들은 다른 방법들을 찾기도 한다. 그 방법으로 필리핀, 헝가리, 루마니아 의대 심지어 어느 섬 나라에 있는 의대 등 듣기에도 생소한 나라들에 의대를 갈 수 있다는 것만으로 의대 유학을 가고 있다. 하지만 이런 결정이 얼마나 위험한 것인지는 반드시 염두 해 두어야 한다.

이렇게 의대를 쉽게 입학 할 수 있다는 것은 반드시 함정이 있거나 의료수준이 매우 낮아 졸업 해도 의사로서 취업 혹은 개업이 힘든 경우가 많다. 지금으로부터 약20년 전에 학교 인가도 없는 동남아 국가 의대로 유학을 가는 것이 유행을 한 적이 있다. 그런 졸업생들이 한국에 돌아와 개업을 했는데 많은 의료사고가 발생하여 사회적으로 많은 지탄을 받았다.

의대에 입학하는 것은 우리나라뿐만 아니라 어느 정도 의료 수준을 갖춘 나라에서는 어렵다. 인간의 생명을 다루는 직업인 만큼 당연한 일이라고 생각한다. 그래서 대부분의 나라에서 의대에 입학하려면 좋은 성적은 물론이거니와 의사가 되기에 적합한 인성을 지녔는지를 매우 깐깐하게 평가한다. 이런 이유로 의대는 입학 시험 이외에도 적성 시험과 관련 분야 봉사활동도 중요한 입학 요소로 작용한다.

하지만 정말 의사를 꿈꾸는 학생이라면 한국 의대뿐 아니라 해외 의대도 동시에 조전 해 볼만 하다. 한국 의대가 경쟁이 너무 치열하여 해외 의대에도 지원 하고 싶은 학생들은 이것 2가지는 알아두었으면 한다.

제대로 된 해외 의대에 지원 하려면 첫째 그 나라의 언어가 유창해야 한다. 예를 들어 영국에서 의사를 하려고 영국 대학의 의대를 다닌다면 당연히 영국 환자들을 상대해야 한다. 이때 영어를 잘하지 못하면 환자를 제대로 치료할 수 없기 때문에 영어를 능숙하게 해야만 한다.

대부분의 해외대학 의대는 인터뷰를 한다. 이때 언어 구사 능력과 직접 봉사하며 경험한 느낀 점들을 질문하며 지원자가 의사로서 인격적으로 자격을 갖추었는지를 심사하게 된다.

또 다른 하나는 명석한 두뇌이다. 의사는 가장 소중한 인간의 생명을 다루는 직업이기 때문에 환자를 돌보는데 필요한 인격도 중요하지만 그만큼 명석한 판단력과 이해력 또한 의사로서 갖추어야 할 필수적인 요소이기 때문이다. 그래서 의대는 다른 분야보다 입학 시 요구하는 점수가 높다.

한국 학생들이 지원 해 볼만 한 나라들을 살펴보면 영국, 싱가포르, 호주, 캐나다 의대 등이다. 이 중 영국의대는 한국과 비슷하여 학부부터 의대 공부를 한다. 영국 의대는 지원 시 A Level 3~4과목 성적과 별도의 의사 적성 고사인 BMAT 또는 UKCAT 성적을 제출하면 된다. 기간은 5~6년이고 졸업 후 인턴 레지던트에 해당하는 과정을 5년에 걸쳐 수련하게 된다. 이 과정을 마치면 GP (General Practitioner)가 되어 개업 할 수 있다. 만약 전문의가 되려면 의사 스페셜리티에 따라 3~7년 정도 더 수련기간이 필요하다.

또한 영국의 의대는 영국 시민권이 없는 외국인 학생도 자유롭게 지원 할 수 있다. 하지만 외국인 학생 입학 비율을 약7%로 제한하고 있어 경쟁률은 매우 높은 편이다.

이외에도 싱가포르 국립대학 등도 영국과 비슷하게 학부에서 의대 공부를 하게 되고 시민권이 없는 외국인 학생도 지원 가능하다. 역시 A Level 성적과 별도의 의사 적성고시 성적을 제출하면 된다.

싱가포르의 NUS와 Duke 대학이 함께 운영하는 의대는 전공에 상관 없이 학부 졸업 후 4년 과정의 대학원 과정으로 의대를 공부 할 수 있다. 이렇듯 해외의 제대로 된 의대는 한국의 의대 못지 않게 경쟁이 심하고 입학하기 힘들다.

그러나 쉽게 의사 되려고 그렇다고 편법은 아니지만 한국보다 의료수준이 낮은 국가들로 유학을 가는 것은 매우 위험한 결정이다. 많은 시간과 비용을 들여 공부를 하지만 정작 의사로서 취업을 할 수 없고 한국에 돌아와서도 출신 대학을 떳떳이 밝히지 못할 대학이라면 시간이 조금 더 걸리더라도 제대로 준비해서 유학을 가야 한다.

필자가 항상 강조하는 것이지만 제대로 된 과정이 쉬운 경우는 없다. 유학도 마찬가지이다. 과도한 경쟁으로 한국에서 의사의 꿈을 펼치지 못해 아쉽다면 제대로 공부해서 해외 의대에 도전해 보기 바란다.

조선일보

성향에 맞는 공부 지도법 II

감정적 성격, 논리적 성격, 계획적 성격

몸에 잘 맞는 옷을 입었을 때 맵시도 나고 자신감도 살아나는 법이다. 그러나 보통은 옷에 몸을 맞추려다가 자신의 장점을 발휘하지 못하고 불행하게 느낀다. 나에게 잘 맞는 공부법은 나의 성향과 밀접한 관계를 가진다. 나를 알고 나에게 맞는 공부법을 찾는다면 시험성적을 잘받는 정도는 공부의 신만 잘하는 일이 아니라 누구라도 잘할 수 있는 일이다.

라. 감정적인 성격에 어울리는 공부법

기분에 따라 공부가 잘되는 정도가 달라지는 성격이라면 자기가 잘하는 과목부터 시작하는 것이 좋다. 그래서 거기서 좋은 결과를 얻게 되면, 그 기분을 이어서 다음 과목도 집중해 보자. 만족할 결과가 나와서 좋은 기분 상태를 유지하면, 또 다른 공부에 도움이 될 수 있다. 자신의 기분 상태를 최대한 활용하여 시간을 적절히 분배하는 연습을 한다. 특히나 하위권 학생이라면 영어나 수학 중심의 주요과목을 공략하기 전에 사회과목 등을 노려보는 것이 좋다. 왜냐하면 영어나 수학은 단계를 밟아야 하는 과목이므로 단숨에 좋은 성과를 내기 어렵기 때문이다. 오히려 공부한 만큼 결과를 얻을 수 있는 사회과목이 자신감을 형성하는 데에는 더 좋다는 것이다. 사회과목에서 고득점 한 후 그 노력과 결과에 대한 느낌을 주요과목에 쏟는 것이다.

마. 논리적인 성격에 어울리는 공부법

자기가 그 공부를 왜 해야 하는지 필요성이 느껴져야 비로소 공부하는 성격이라면 먼저 그 공부를 통해서 얻을 수 있는 효과부터 머릿속에 그려 보자. 영어 문법을 공부한다면 그것이 독해를 잘하기 위한 밑거름이 된다는 것부터 생각하는 것이다. 문법을 하나 공부하면 바로 독해에 적용해 보자. 이런 성격의 학생 가운데 간혹 시험 기간까지 시간이 너무 많이 남아서 공부할 필요를 못 느낀다고 말하는 경우가 있다. 시험 기간까지 남은 시간을 정확히 계산해 보자. 그리고 그 안에 공부해야 할 내용을 파악한다. 각 과목별로 얼마의 시간이 남았는지 구체적으로 알게 되면, 결코 시간이 많지 않다는 것을 느끼게 된다.

바. 계획적인 성격에 어울리는 공부법

평소에 정리를 깔끔하게 하고 계획을 꼼꼼하게 잘 세우는 학생이라면 그런 것들 때문에 스트레스를 받지는 않는지 알아봐야 한다. 계획은 좀 더 나은 결과를 얻게 위해 짜는 것이지 계획을 위한 계획이 되어서는 안 된다. 무리하게 실천하는 과정에서 스트레스를 받을 필요는 없다. 편한 마음으로 실천할 수 있는 적정선을 잘 가늠하는 것이 중요하다. 그런 뒤 그 한도를 차츰 늘려 가는 연습을 하는 것이 능률적인 공부 방법이다. 특히 계획을 짜고 공부를 시작할 때 초기 집중력이 떨어진다면 시간을 짧게 하고 문제 푸는 식의 공부로부터 출발하는 것이 좋다.

조선일보

성향에 맞는 공부지도법 I

외향적 성격, 동시다발 선호형 성격, 내향적 성격

사람마다 생김새가 다르듯이 성격도 차이가 난다. 한 부모 밑에 태어난 형제자매끼리도 성격이 천지 차이인 경우도 있고, 심지어 쌍둥이도 성격이 판이한 경우가 있다. 보통 한의학에서 체질에 맞는 생활 습관을 강조하는데, 이와 유사하게 성향에 어울리는 공부법을 알아보자.

가. 외향적인 성격에 어울리는 공부법

활발하고 명랑한 학생들은 주변에서 보기엔 늘 놀면서 딴 짓만 하는 것으로 비치기 쉽다. 그런데 이런 성격의 학생들은 적극적인 활동들을 통해 공부하는 에너지를 만드는 경우가 많다. 따라서 떠들고 즐겁게 어울리는 시간을 일종의 휴식으로 활용하여 자신의 공부에 활력소로 만들면 좋다. 다만 대강 공부하고도 다 했다고 생각하여 만족하는 경우가 많으므로 조심해야 한다. 대강 공부했는지 여부를 판별하기 위해서는 스스로 공부결과를 확인해보는 방법을 사용해야 한다. 예를 들어 국어라면 틀린 문제들에 대해서 해설을 스스로 만들어보는 연습을 하도록 한다. 왜 답이 그렇게 되는지를 스스로 써보는 연습을 해야 한다. 그냥 답만 읽고 아 그런가보다 하고 넘어가면 또 헷갈리기 때문이다. 수학과목의 경우는 책을 아무 곳이나 펼쳐서 나오는 문제를 풀어보도록 한다. 잘 풀 수 없다면 아직 공부가 덜된 것이다. 특히 암기과목의 경우는 정확히 공부했는지 여부를 확인하기 위해서 문제집을 꼭 풀어보도록 해야 한다.

학생이 외향적인 성격이라고 판단되면, 먼저 차분히 앉아서 어떤 공부를 할 것인지 계획부터 세우도록 한다. 그런 뒤에는 하나의 계획이 끝낼 때까지 집중하는 훈련을 해야 한다. 공부방에서 시간을 정해 두고 그 시간 동안에는 절대 밖으로 나가지 않는다. 10분, 30분, 1시간 이런 식으로 집중 시간을 늘려 가며 꾸준히 연습한다. 외향적인 학생들은 무엇을 공부할지 잘 정하지 못하고 막연하게 그 과목을 공부하겠다는 마음만 있는 경우가 많다. 따라서 이런 약점을 보완하기 위해서는 계획표를 작성해야 한다. 또한 오랫동안 앉아서 공부하는 것이 몸에 익지 않은 학생들은 스탑워치를 이용하여 자신의 공부시간을 측정해보는 것도 좋다. 생각보다 오랜 시간 공부하지 않고 있다는 것을 알게 되면 자연스럽게 자신의 습관을 고칠 수 있다.

나. 여러 가지 것들을 새로 시작하는 것을 좋아하는 성격

시작한 것은 일단 마무리하는 연습을 꼭 해야 한다. 그렇지 않으면 이것저것 하는 것은 많아도 완성된 결과는 하나도 없을 수 있다. 이런 학생은 덤벙거려 실수를 자주 할 수 있다. 공부는 어느 정도 수준이 되면 결국 누가 실수를 덜 하느냐가 결과에 큰 영향을 미친다. 새로 시작하는 것을 좋아하는 학생들은 여러 가지 공부거리들을 펼쳐놓고 끝까지 공부하지는 않는 경우가 많기 때문에 마무리 연습을 꼭해야 한다. 특히 문제집을 샀을 경우에는 한 가지 문제집을 한번만 풀지 말고 여러 번 지워가면서 풀어야 한다. 그래야 그 책에 있는 내용을 정확히 자기 것으로 만들 수 있기 때문이다.

다. 내향적인 성격에 어울리는 공부법

차분하고 조용한 학생들은 아무것도 안 하고 가만히 있는 것처럼 보일 때가 많다. 이런 학생들은 자신의 성격에 맞추어 명상을 하거나 책을 읽으면서 집중력을 키울 수 있다. 특히 너무 소심하거나 어떤 한 가지 내용이 잘 이해되지 않으면 다음으로 넘어가지 못하는 학생들은 좀 더 과감히 공부할 필요가 있다. 수학에서 내용이 잘 이해되지 않는다면 문제부터 먼저 풀어 보면서 내용을 적용하는 연습을 해도 좋다. 과학이나 사회는 요점 정리나 단원의 학습 목표 등에서 중요한 것이 무엇인지를 먼저 파악하고 중심 내용을 공부한다. 한 번에 정확히 공부하려고 애쓰다 보면 공부 속도가 너무 느려질 수 있다. 잘 모르는 내용이 나와도 과감히 넘어 가야 한다. 그러면서 같은 내용을 여러 번 복습하는 방법을 적용하는 것이 효율적이다. 내향적인 성격인 학생들은 책을 볼 때 좀 더 빠르게 공부할 필요가 있으므로 자신에게 주어진 시간동안 2~3배정도 여러 번 공부할 수 있도록 계획표를 작성해야 한다. 또한 잘 이해되지 않는 내용이 나오면 포스트잇이나 형광펜으로 표시를 해두면 나중에 다시 찾아 공부할 때 도움이 된다. 특히나 작은 공부단위에만 익숙해져 있을 수 있으므로 큰 단위의 계획을 꼭 세워보자. 한 달 계획이나 6개월 공부 포트폴리오를 작성해보면 생각보다 작은 단위에만 얽매일 시간이 없다는 것을 알게 될 것이다.

 조선일보

밑 빠진 독에 물을 부어라

"잊는 것에 좌절 말고 꾸준히 반복해야 공부의 질 높아져"

공부하는 방법에 대해 ‘밑 빠진 독에 물을 붓듯 공부하라’고 이야기를 하면, 대부분 김이 빠진 듯한 반응을 보인다. 무엇인가 특별한 공부법을 기대한 사람들에게는 왠지 허무하게만 느껴지기 때문일 것이다.

그런데 어쩔 수 없다. 특별한 공부방법도 물론 있겠지만, 곧이곧대로 지켜야만 하는 원칙도 분명 있다. 아니 어찌 보면 정석대로 해야만 하는 것들이 더 많기도 하다. 끊임없는 반복은 가장 중요한 정석 중 하나다.

학생들은 공부를 하면서 지친다. 지치는 이유야 다양하지만 그 중에 하나를 대표적으로 꼽자면, 공부를 해도 기억에 잘 남지 않기 때문일 수 있다. 그런데 사람의 기억력에는 한계가 있다. 컴퓨터와 같지 않기 때문에 잊는 것은 어쩔 수 없는 자연스러운 현상이다. 잊는 것에 대해 스트레스를 받고 공부에 좌절을 하거나, 아니면 다시 정신을 가다듬고 공부에 매진하는 것은 분명 차이가 있다. 이런 상반된 태도는 학생들의 공부의 질에도 차이를 만든다. 당연히 후자가 공부를 더 잘할 수밖에 없다.

특히 수학 학습과 영어 단어 암기에서 이 점을 유의해야 한다. 영어 단어 암기의 어려움은 몇 차례 언급한 바 있지만, 수학은 영어보다 더하다. 수학은 아무리 심화를 하고 다져도 잊어버리기 일쑤다. 나이가 들고 어른이 돼 자제들이 어려워하는 공부를 도와주려고 하는 상황을 예로 들어보자.

국어와 영어는 충분히 지도가 가능하다. 하지만 수학은 두 과목에 비해 상대적으로 지도에 어려움을 겪는다. 그 이유가 바로 여기에 있다. 비단 오랜 시간뿐만 아니라, 한 학기 전에 배운 내용만 하더라도 꾸준히 반복해 주지 않으면 수학은 기억에 남지 않는다. 그래서 수학은 ‘완성’에 쉽사리 도달할 수 없는 과목이기도 하다.

지난달 17일 실시된 2017학년도 대학수학능력시험을 준비해온 학생들의 경우를 보아도 똑같다. 수능을 보기 전까지 끊임없이 수학문제를 풀고 또 푼다. 조금만 쉬어도 당장 공식부터 기억이 나지 않는다. 개념도 가물댄다. 끊임없이 계속 반복하는 공부 과정을 피할 수 없다.

이를 피할 수 없다면 차라리 그 필요성을 인정하고 계속 ‘밑 빠진 독에 물을 붓듯’ 공부하라고 조언하고 싶다.

학생들이 공부의 끝을 보고 싶다고 할지라도 현실적으로 이는 불가능에 가깝다. 아무리 깊이 있게 다지며 공부를 하더라도 시간이 지남에 따라 차츰차츰 잊어간다. 잊는 것에 대해 학생들이 두려워한다면 이를 걱정하지 않도록 격려하고 힘을 주자. 공부는 수영을 하듯 끊임없이 반복하는 것, 그게 가장 옳은 방법이다.

세계일보

예비 고 3 성공 포인트 ;수학

문제 풀고 채점 후, 다음 날 복습해야 학습효과 커

'수학'이라는 과목에 대해 학생들이 갖는 생각은 크게 두 가지다. 5%가량의 소수 학생은 '생각하는 재미가 있고, 문제를 풀 때마다 쾌감을 느낀다'고 말한다. 반대로 나머지 95% 학생들은 '어렵고 재미없는 과목'으로 여기고 공부하기를 포기한다. '열심히 공부했지만 성적은 안 오른다'고 한탄하는 학생도 적지 않다. 하지만 분명히 말하자면, 수학 역시 공부하면 성적이 오르고 안 하면 떨어지는 과목이다. 그렇다면 우리가 수학에 많은 시간과 노력을 투자했음에도 성적이 오르지 않는 이유는 무엇일까? 수학 성적을 올리고 싶은 예비 고 3이라면 자기 공부 습관을 한 번 점검해 보자.

우선 '문제집만 여러 권 푸는 게 아닌지'를 돌아봐야 한다. 잘못된 공부법 중에 '양치기 공부법'이라는 게 있다. '양(量)'으로 결판을 보는 방식이다. 일부 과목에는 이 방법이 통할지 몰라도, 수학은 그렇지 않다. 수학은 공부의 양보다는 질(質)에 성패를 걸어야 하는 과목이다. 문제집 한 권을 풀더라도 그 안에 못 푸는 것이 없게끔 완벽하게 공부해야 한다. 만약 자신이 처음부터 끝까지 풀고 채점하고 복습까지 한 문제집을 두 달 후에 다시 푼다면 어떤 결과가 나올까? 대부분 학생은 맞힌 문제를 또 맞히고, 틀린 문제를 또 틀릴 것이다. 보통 '정·오답 싱크로율'이 90%에 달한다. 열심히 공부했지만, 실력은 전혀 오르지 않은 것이다. 여기에 함정이 있다. 수학 문제집을 한 번 푼 것은, 자신이 알고 모르는 것을 구분한 것밖에 안 된다. 틀린 문제를 4~5번씩 복습하며 그 안에서 못 푸는 문제가 하나도 없게 해야 제대로 공부한 것이다.

둘째로 '매번 기초와 기본만 다지는 게 아닌지' 살펴봐야 한다. 학생 대부분은 문제집을 앞에서부터 순서대로 푼다. 이렇게 문제집을 앞에서부터 풀면 개념을 다루는 기초 문제만 풀다가 지치기 십상이다. 그러다가 막상 심화문제가 나오면 '너무 어렵다'며 그냥 넘기곤 한다. 그런데 이렇게 기초만 탄탄하게 공부하고 시험을 보면, 큰 오류에 빠진다. 대학수학능력시험(수능)만 하더라도, 4점짜리 고난도 문제가 100점 만점 가운데 50점 정도를 차지한다. 2~3점인 기초·기본 문제가 50점밖에 안 된다. 어려운 문제를 하나도 못 풀면, 50점이 자기가 받을 수 있는 최고 점수가 된다. 따라서 어렵더라도 반드시 고난도 심화문제를 공부해야 한다.

만약 심화문제가 손도 댈 수 없게 어렵다면, 처음에는 '해설지'를 보면서 공부하길 권한다. 해설지를 보면서 풀고, 노트에 풀이 과정을 두 번 정도 따라 써보면서 이해한다. 그런 다음 문제집을 다시 볼 때는 이런 문제들을 해설지 없이 혼자 힘으로 풀어보고, 틀리면 다시 해설지를 보면서 복습하자. 이런 학습을 반복하면 점점 틀리는 것이 줄고 실력이 향상된다.

마지막으로 문제를 풀고 복습하는 시점을 점검해 보자. 수학 문제를 풀고 채점한 뒤 곧장 복습하는 학생이 많다. 그런데 이 방법이 꼭 좋지만은 않다. 60~90분 정도 수학 문제를 풀고 채점해 보면, 생각지도 못한 문제를 틀리는 등 기분이 나빠지는 상황이 자주 발생한다. 이런 상태에서 복습하면, 짜증 나고 힘들어서 대충 해치우고 싶어진다. 따라서 문제를 풀고 채점한 뒤, 다음 날 복습하길 권한다. 체력이나 집중력이 훨씬 좋아져 학습 효과도 높기 때문이다.

수학이 어렵기만 한 예비 고 3 들은 너무 욕심내지 말고, 앞서 말한 세 가지 포인트에 따라 한두 권이라도 완벽하게 정복하는 식으로 공부하면 수학 성적을 향상시킬 수 있을 것이다.

2018학년도 대입 변화 요소

수시모집 비중 늘어.. 1등급은 학종 중심으로 준비해야

2018학년도 대입(大入)에서는 전체 모집 인원이 감소하고 수시모집 선발 비중이 증가하는 한편, 영어 절대평가가 시행돼 대학수학능력시험(수능) 과목 간 중요도에 변화가 나타나게 된다. 이에 따라 내년에 대입 수험 생활을 하게 될 학생들은 지금부터 2018학년도 대입 변화 요소를 면밀히 살펴 전략적으로 대비할 필요가 있다.

2018학년도 대입의 주요 변수는 먼저 전체 모집 인원이 줄고 수시모집 비중이 는다는 점이다. 2018학년도 대학 전체 모집 인원은 35만2325명이다. 전년도 대비 3420명이 적다. 수시모집 선발 비중은 전년 대비 3.8%포인트 증가한 73.7%인 데 반해 정시 선발 비중은 같은 기간 대비 3.8%포인트 감소한 26.3%다. 학생부중심전형 비중이 지속적으로 증가한다는 점도 눈여겨볼 필요가 있다. 교과전형과 종합전형을 합친 학생부중심전형은 2018학년도 전체 모집 인원의 63.9%로, 전년 대비 3.6%포인트 늘어난 총 22만5092명을 선발한다. 학생부중심전형은 2016학년 57.4%, 2017학년도 60.3%를 기록한 데 이어 2018학년도에도 느는 추세다. 수시모집에서 학생부중심전형이 차지하는 비중이 69.6%에 달하므로 수시모집 인원을 학생부 위주로 선발하는 양상이 정착할 것으로 보인다. 논술전형 모집 인원은 계속 줄고 있다. 2018학년도에는 1만3120명으로, 2017학년도보다 1741명 적다. 반면 지역인재특별전형 모집 인원은 2017학년도 1만120명에서 2018학년도 1만931명으로 811명 증가한다. 정시에서는 수능 위주 선발이 가장 많다.

2018학년도 입시에서 중대한 변화는 영어 영역에 절대평가가 시행되는 것이다. 절대평가로 바뀌면 성적표에는 등급만 제공한다. 원점수 기준으로 100~ 90점까지는 1등급, 89~80점까지는 2등급이 되는 식이다. 영어 등급이 수시모집 최저학력기준에서는 의미가 있지만 정시모집에서는 영향력이 굉장히 약화할 것이다. 국어와 수학의 비중이 상대적으로 올라간다는 뜻이다. 국어가 계속 어려워지는 양상을 보이므로 인문계열과 자연계열 어느 쪽도 국어를 무시할 수 없게 될 것이다. 자연계열 학생들은 특히 국어에서 변별력이 생길 가능성이 크므로 철저한 대비가 필요하다.

2018학년도 대입에서는 비중이 현저히 떨어지는 정시모집보다 수시모집에 많은 학생이 몰릴 것으로 예상한다. 그러므로 학생들은 수시모집을 먼저 준비하고, 정시모집은 패자부활전으로 여겨야 한다. 수시모집은 학생부종합전형을 중심으로 대비해야 한다. 최상위권 대학들은 학생부종합전형 위주로 선발하고, 2·3등급 학생들이 이 전형을 주 타깃으로 삼을 것으로 보인다. 4등급 학생들도 종합전형을 희망할 것으로 예상한다.

논술전형은 주로 정시모집을 염두에 두는 학생들이 준비할 것으로 보인다. 논술전형은 목표 대학에 비해 내신과 비교과 활동의 상황이 좋지 않거나 목표 학교군이 높을 때 주로 지원한다. 결국 논술은 최후의 필살기로 사용하는 경향이 높아진다.

내신 등급별로 보면 1등급은 학생부종합전형을 중심으로 준비해야 한다. 성적 유지에 힘쓰면서 비(非)주요 과목도 열심히 관리해야 한다. 최상위권 대학은 수능 최저학력기준을 활용하는 경우가 많으므로 국·영·수 중심으로 반드시 수능에 철저히 대비해야 한다.

2등급은 서울 상위권 대학을 목표로 하되, 현실적으로 서울 중위권 대학에서 승부를 봐야 한다. 서울권 대학을 염두에 두는 경우는 학생부종합전형을, 지방거점국립대 진학을 목표로 하면 학생부교과전형을 중심으로 각각 접근해야 한다.

3등급은 서울권 대학을 목표로 가능한 한 수시모집을 준비해야 한다. 남은 기간 내신 성적에 따라 여러 변수가 있을 수 있으므로 좋아하는 과목을 중심으로 집중 관리를 해야 한다.

4등급은 목표 전형을 미리 고려하지 말고 수능보다 내신 관리에 힘을 쏟는 편이 바람직하다. 다만, 정시모집을 고려해 영어와 수학은 반드시 수능에 대비해야 한다.

5등급 이하는 현실적으로 내신 성적을 올리는 것이 매우 힘들므로 정시모집을 목표로 수능을 준비하는 것이 현실적인 방법이다. \

조선일보

"논리적 칭찬으로 자존심 강한 아이 불편함 덜어줘야"

못하는 것은 안 하려는 아이

“과하게 칭찬해 주세요. 약간은 호들갑스러워도 좋습니다.”

얼마 전 “(자녀가) 못하는 건 안 하려고 하는데, 어떻게 해야 하는지…”를 묻는 학부모에 대한 필자의 대답이었다.

칭찬은 누구나 생각할 수 있는 솔루션일 수 있지만, 여기서 방점은 ‘과하게’에 있다. 자신이 잘못하는 것을 드러내지 않으려고 하는 그 이면에는 자녀가 자존심이 강하고 완벽함을 추구하는 성격을 가지고 있다고 해석할 수 있기 때문이다.

물론 이런 이유에는 성격적인 부분도 있을 수 있고, 과거에 못했기 때문에 상처를 입었던 경험 때문일 수도 있다. 어떤 이유에서든 못한다는 것이 주는 ‘불편함’을 자녀가 싫어하는 것이다. 따라서 그 불편함을 느끼는 것으로부터 벗어나기 위해 아주 조금만 잘해도 정말 잘한다는 메시지를 지속적으로 주는 것이 좋다.

실제로 필자의 경우에도 정말 수학을 하기 싫어하고 하지 않던 학생을 만났던 적이 있다. 이 학생도 자존심이 매우 강했다. 그래서 자꾸 못하는 것은 시도조차 하지 않는 것을 보았다. 수학책을 펴서 보니 많이 깨끗했다. 채점도 안 돼 있었다. 틀렸다는 표시를 하는 것을 무척 싫어했다. 그런데 어느 한 페이지는 채점이 잘 되어 있었고, 맞았다는 동그라미가 참 잘 쳐져 있었다. 우선 그 부분을 집중적으로 10분 가량 칭찬했다.

칭찬은 논리정연해야만 한다. 무조건 감성적으로만 칭찬하면 상대가 자신에게 아부한다고 생각할 수 있다. 예를 들어, 당시 그 학생에게 했던 칭찬은 3가지 측면으로 나눠서 근거를 명확히 하려고 했다.

첫째는 공부 의지를 갖고 채점을 했다는 것. 둘째는 문제 난이도가 중간단계의 이상이었다는 것. 셋째는 풀이과정이 깨끗하고 수학논리에 적합하게 잘 쓰여 있었다는 것이었다.

처음에 이 학생은 당황하는 것 같았지만, 길지 않은 시간이었지만 이 학생은 감화돼 갔다. 수학 전체로 보면 모르겠지만, 적어도 이 페이지에서만큼은 ‘수학을 정말 잘하는 아이’라는 자부심을 갖게 했다. 그리고 그런 페이지가 조금씩 꾸준하게 늘도록 했다.

처음에는 한 페이지였지만 그다음에는 두 페이지, 네 페이지 등. 이런 식으로 ‘수학을 정말 잘하는 아이’라고 칭찬할 수 있는 페이지들이 늘어가며 아이는 수학을 점점 잘하고 좋아하게 됐다.

이런 방식은 어릴수록 더 효과적이다. 하지만 칭찬은 고래도 춤추게 한다고 하지 않았던가. 충분히 성장한 아이들에게도 ‘과하게’의 수준이 조절된 칭찬은 나름의 효과가 있다. 칭찬을 듣기 싫어하는 사람은 없다.

다만, 비논리적이고 감정적이기만 한 칭찬은 효과가 없다는 것을 유의해야 한다. 아이들도 무척 합리적이기 때문에 이해가 되지 않는 부분을 무조건 공감하고 수용하지 않기 때문이다. ‘과하되, 논리적인 칭찬’의 힘을 믿어보자. 못하는 것을 잘하게 할 수 있도록 시간을 갖고 천천히 노력하면 아마도 아이는 점점 변해갈 것이다

 세계일보

한국선 줄어드는 '개천 龍'.. 美·日선 늘어

韓, 부모 배경 영향력 늘고 교육 형평성 줄어.. OECD 흐름에 역행
- OECD 국제학업성취도 평가 결과
부모 학력·소득 따른 성적 차이, 9년새 美 13점·英 8점 줄였지만
韓, 13점 늘어 회원국 평균 이상

우리나라에서 부모의 학력이나 소득수준이 학생들 학업 성적에 미치는 영향력이 갈수록 커지고 있다는 사실이 국제 학업 성취도 평가에서 드러났다.

경제협력개발기구(OECD)는 지난 6일 발표한 '2015 국제 학업 성취도 평가(PISA)'에서 소속 35개 회원국 학생들의 읽기·수학·과학 성적과 함께 학생의 사회·경제·문화적 배경이 과학 성적에 어떤 영향을 미쳤는지 분석한 결과도 함께 발표했다.

35개 회원국 부모의 직업과 교육 수준, 집안의 책 보유 규모 등에 대한 설문 조사를 벌여 이 결과와 학생들의 학업 성취도를 비교한 것이다.

◇학생 '배경'이 학력에 미치는 영향 커져

그 결과 우리나라 학생들의 사회·경제·문화적 배경에 따른 점수 차이는 2006년 31점에서 2015년 44점으로 13점이나 커졌다. 부모의 학력·소득수준이 높은 학생과 그렇지 않은 학생 간의 성적 차이가 9년 전보다 더 벌어진 것이다. OECD 전체 회원국의 평균 점수는 9년 전과 비슷한 수준이었다.

특히 한국은 이 격차가 2006년엔 OECD 평균(39점)보다 8점 낮았지만, 2015년엔 OECD 평균(38점)보다 오히려 6점 높아졌다. 반면 미국은 이 격차를 9년 만에 13점이나 줄였고 영국·덴마크도 8점, 7점씩 줄였다.

사회·경제·문화적 배경이 우리나라 학생들의 과학 성적에 끼치는 영향력은 전체적으로 10.1%로 분석됐다. 지난 2006년 7.0%에서 3.1%포인트 증가했다. 이 지표는 학생 자신의 노력과 학교에서의 학업 환경 등 과학 성적에 영향을 미치는 다양한 요인 가운데 부모의 학력·소득수준이 미치는 영향력을 계산한 것이다. OECD 35국은 이 수치가 평균 1.4%포인트 줄었다. 미국의 경우 같은 기간 17.4%에서 11.4%로 6%포인트나 줄었다.

어려운 환경 속에서도 높은 과학 성적을 받은 학생 비율도 감소했다. OECD는 각국에서 사회·경제·문화적 배경 수준이 하위 25%에 속하는 학생 가운데, 자신과 비슷한 배경을 가진 전 세계 학생 중 상위 25%에 해당하는 성적을 받은 경우를 '회복력 있는 학생(resilient students)'으로 규정한다. 어려운 상황을 극복하고 높은 성적을 받는, 이른바 '개천에서 난 용'이 많은 회원국을 그만큼 '교육 형평성'이 높은 국가로 보는 것이다.

하지만 한국은 이런 학생이 지난 2006년 43.6%에서 지난해 40.4%로 3.2%포인트 줄었다. 사회·경제적 배경이 하위 25%인 한국 학생들의 과학 성적은 여전히 높은 수준이지만 그 비율은 소폭 떨어진 것이다.

반면 OECD 국가 평균은 같은 기간 27.7%에서 29.2%로 1.5%포인트 올랐다. 일본은 2006년 40.5%에서 지난해 48.8%로 8.3%포인트 증가해 1위였다.

◇"교육형평성 악화는 국가성장에 부정적"

OECD 교육기술국 PISA팀의 최안나 정책분석관은 "한국은 다른 국가에 비해 아직 학업 성취도가 높은 편이지만, 과거보다 기초 학력 미달 학생 비율이 늘고 사회·경제적 배경의 영향력이 커지는 등 교육 형평성이 악화되고 있다는 점은 분명하다"고 말했다.

김희삼 광주과학기술원 교수(KDI 겸임연구위원)는 "우리나라는 개인의 노력으로 성공할 수 있는 가능성이 2000년대 들면서 줄기 시작했는데, PISA 평가에서도 같은 추세가 확인된 점은 매우 심각한 것"이라며 "교육 형평성 악화는 사회 통합적인 측면뿐 아니라 인적 자본을 통한 국가 성장에도 매우 부정적인 현상"이라고 말했다.

김 교수는 또 "일찍부터 사교육을 받은 아이들이 학교에서 높은 성적을 받고 좋은 대학에 진학해 사회적으로 성공할 가능성이 계속 높아진다면 사람들의 좌절감이 더 커질 것"이라며 "교육제도가 계층 이동의 사다리 역할을 할 수 있도록 제도 개선이 필요하다"고 말했다.

 조선일보

숫자 1에 담긴 수학

우리는 태어나자마자 한 살이 되고, 학교는 1학년부터 시작된다. 이처럼 숫자 1은 시작을 의미한다. 시작, 처음과 같은 설렘을 안고 숫자 1에 담긴 수학 이야기를 만나 보자.

네 가지 그림에서 떠오르는 숫자는 무엇일까? <출처: gettyimages(왼쪽 위, 오른쪽 위), sxc.hu(왼쪽 아래, 오른쪽 아래)>

자연수 집합을 만드는 1

숫자 1은 일종의 티끌이다. 무슨 말일까? 1에 1을 차례로 더하면 2, 3, 4, 5,… 등 모든 자연수를 만들 수 있다. 즉, 1을 이용해 자연수라는 큰 집합을 만드는 것이다. 이런 숫자 1의 역할은 19세기 이탈리아의 수학자인 주세페 페아노(Giuseppe Peano, 1858~1932)가 자연수 집합을 정의하기 위해 제시한 페아노 공리계에서 잘 드러난다. 수학에서 공리란, 어떤 이론의 기초로서 증명 없이 받아들이는 명제를 말한다.

이게 도대체 무슨 말인가 의아할 수 있다. 하지만 조금만 생각해 보면 페아노 공리계가 당연한 사실을 이야기하고 있다는 걸 깨닫게 된다. 우선 1이 자연수라는 첫 번째 공리는 매우 당연하다. 또한 1의 다음 수는 2, 2의 다음 수는 3인 것처럼 어떤 자연수 n 다음에는 자연수 n+1이 존재한다. 세 번째 공리에서는 어떤 자연수 n의 다음 수인 n+1=1이 되려면 n=0이 돼야 하기 때문에, 어떤 자연수의 다음 자연수는 1이 될 수 없다는 걸 이해할 수 있다.

네 번째 공리 역시 서로 다른 두 자연수 3과 4, 그리고 그다음 자연수인 4와 5가 다른 것을 바로 확인할 수 있다. 다섯 번째 공리는 지금까지 살펴본 이전의 4개 공리를 만족하는 여러 집합 중 가장 작은 집합은 자연수 집합이라는 의미를 갖고 있다. 페아노 공리계에서 보듯 1은 자연수의 시작점이자, 자연수 집합을 만들어 내는 중요한 티끌이다.

소수도, 합성수도 아닌 1

1은 소수일까? 합성수일까? 두 질문에 대한 답은 둘 다 ‘No’이다. 특이하게도 1은 자연수 중에서 유일하게 소수도 아니고, 합성수도 아닌 수다. 소수란 양의 약수가 1과 자신뿐인, 1보다 큰 자연수를 말한다. 따라서 소수는 약수를 2개만 갖는다. 북한에서는 소수를 ‘씨수’라고 부르는데, 그 이유가 수학적이다. 어떤 자연수라도 소인수분해를 통해 소수들의 곱으로 나타낼 수 있다. 따라서 모든 자연수의 근원은 소수라고 생각할 수 있다. 그런 점에서 북한에서 소수를 씨앗이 되는 수, 씨수라고 부르는 것이다.

그러면 1은 왜 소수가 될 수 없을까? 만약 1을 소수로 받아들인다면, 숫자 10을 소인수분해한 결과가 2X5 단 한 가지만 나오는 것이 아니라 1x2x5, 12x2x5, 13x2x5, ... 등 다양한 형태로 나타난다. 이것은 어떤 수를 소인수분해 했을 때, 단 한 가지 형태로 나타나야 한다는 산술의 기본정리에 어긋나는 것이다. 따라서 1은 소수가 되기에는 적당하지 않다. 그렇다면 자연수 중에 소수는 몇 개나 있을까? 자연수가 무한히 많은 수들로 이루어져 있듯, 소수의 개수도 무한하다.1)이 사실에 대한 증명은 기원전 3세기경 그리스의 수학자 유클리드(Euclid, BC330?~BC275?)가 쓴 책인 [유클리드 원론]에 기록돼 있을 정도로 역사가 매우 깊다.

제곱을 해도 값이 같은 1

모두 1로 이루어진 자연수를 제곱하면, 1부터 n의 자리까지 자연수가 순서대로 점점 커졌다가 다시 점점 작아지는 신기한 답이 나온다.

그 이유는 4자리의 자연수 1111을 제곱한 계산 과정에서 찾아볼 수 있다.

위의 계산을 살펴보면, 11112=1111×1111=1111+11110+111100+1111000이 된다. 따라서 일의 자리에서 1, 십의 자리에서 1+1, 백의 자리에서 1+1+1, ... 이런 식으로 1이 차곡차곡 더해진 결과 1234321이란 답이 나오는 것이다. 이 계산 과정에서 1의 성질을 찾을 수 있다. 1은 0을 제외하고 원래의 값(=1)과 제곱한 값(=12)이 같은 유일한 수다. 이를 방정식으로 나타내면 다음과 같다.

0도 원래의 값과 제곱한 값이 같기 때문에 0×0=0, 00×00=000, 000×000=00000과 같이 쓸 수는 있다. 하지만 각 자리의 값이 0인 수는 모두 0이므로 의미가 없다.

위에서 본 계산 과정에 따라 9자리의 자연수 111111111을 제곱한 값은 12345678987654321이라는 것을 쉽게 알 수 있다. 하지만 이 계산은 각 자리의 값이 모두 1로 이루어진 9자리의 자연수까지만 적용이 된다. 9자리를 넘게 되면 덧셈의 과정에서 올림이 일어나므로 위의 규칙을 완벽하게 적용할 수 없기 때문이다. 예를 들어, 1로 이루어진 10자리 자연수 1111111111을 제곱하면 덧셈의 과정에서 앞의 자리로 올림이 일어나 답은 1234567900987654321이 된다.

벤포드의 법칙과 1

벤포드는 상용로그표의 앞부분, 즉 1부터 10중 1에 가까운 숫자를 더 많이 찾아보았다는 사실을 발견하고, 벤포드의 법칙을 만들었다.

기업의 가계부에 해당하는 대차대조표를 보면 재미있는 현상을 확인할 수 있다. 1로 시작하는 경우가 전체의 약 30%를 차지한다는 사실이다. 각 숫자가 나올 확률은 숫자 1부터 9까지 동일하게 100÷9≒11.1%가 나와야 한다. 그런데 왜 1이 30%라는 큰 비율로 나오는 걸까?

1937년 미국 가전회사인 GE의 물리학자 프랭크 벤포드(Frank Benford, 1883~1948)는 자신이 사용하던 상용로그표 페이지를 넘기다가 이 신기한 사실을 발견하고는 벤포드의 법칙 2)을 만들었다. 상용로그표에서 벤포드가 신기하다고 생각한 점은 로그표의 앞부분이 뒷부분보다 더 때가 타고 너덜너덜해졌다는 점이었다. 이것은 상용로그표의 앞부분, 즉 1부터 10 중 1에 가까운 숫자를 더 많이 찾아보았다는 것을 의미한다. 벤포드는 왜 찾아본 수가 고르게 분포하지 않고 1에 가까운 쪽에 집중됐는지 궁금했다. 그래서 다른 통계에도 이런 경향이 있는지 확인해 보았다. 그러자 놀랍게도 인구, 주식, 소득, 매출, 야구 기록, 강의 길이 등 다른 여러 경우에서 이와 같은 현상을 발견할 수 있었다. 벤포드는 통계의 어떤 항목의 값이 1부터 9까지 각각의 숫자로 시작할 확률을 정리해 다음과 같은 결과를 얻었다.

인구수의 예를 통해 벤포드의 법칙에 대해 간단히 접근해 보자. 한 도시의 인구가 10년 만에 1만 명에서 2만 명으로 증가했을 때, 다음 10년 뒤 인구는 어떻게 될까? 얼핏 3만 명이라고 생각할 수도 있지만, 실제 인구의 증가는 곱셈과 연관돼 이루어진다. 따라서 처음 1만 명에서 10년 만에 2배가 되어 2만 명이 되고, 다시 10년 뒤 인구는 2만 명의 2배인 4만 명으로 늘어난다. 이렇게 10년 단위로 2배씩 변화하는 인구수를 표로 나타낸 뒤, 각 수가 어떤 숫자로 시작하는지 확인해 보자.

위의 표에서 20개의 숫자 중 1로 시작하는 건 6번, 2로 시작하는 건 4번, 3으로 시작하는 건 2번인 것을 확인할 수 있다. 그 확률은 각각 (6/20)×100=30(%), (4/20)×100=20(%), (2/20)×100=10(%)로 벤포드가 구한 결과와 비슷하다. 모든 통계의 결과가 벤포드의 법칙을 따르는 것은 아니지만, 통계의 항목들 중에 곱셈과 관련이 있는 건 벤포드의 법칙을 적용할 수 있다. 따라서 곱셈과 관련 있는 통계 항목에서 각 값의 처음 숫자가 1, 2, 3이 아닌 다른 숫자가 더 많이 나타나거나 모든 숫자들이 같은 빈도로 나타난다면, 이 장부는 누군가 허위로 조작했을 가능성이 크다. 실제로 미국의 몇 몇 주에서는 횡령, 조작, 탈세 등을 탐지하기 위해 벤포드의 법칙을 활용하고 있다.

1은 자연수 중에서도 가장 작고, 약수도 1개뿐인 볼품없는 수로 생각하기 쉽다. 그러나, 숫자 1이 쌓은 튼튼한 기초는 수학이 더 많은 발전을 이룰 수 있는 든든한 버팀목이 되고 있다.

소수의 개수는 무한하다

소수를 최대한 많이 찾아보았을 때, n개의 서로 다른 소수를 발견했다고 하자.

P₁, P₂, P₃, P₄, …, P_n

더 이상 소수를 찾을 수 없다면 소수는 n개뿐이므로 유한개일 것이다. 하지만 아래의 소수를 1개씩 계속 추가할 수 있다. 먼저 발견한 n개의 소수를 모두 곱한 뒤에 1을 더한 수를 P라고 하자.

P = P₁ × P₂ × P₃ × P₄ × … × P_n+1

이 때, P는 P₁, P₂, P₃, P₄, …, P_n 중 어떤 소수로도 나누어지지 않는다. 또한 P는 1보다 크므로 소수나 합성수이다.

case 1) P가 소수일 때
P는 n개의 소수 중 어떤 수로도 나누어지지 않으므로, 약수가 1과 자기 자신밖에 없는 소수가 된다. 결국 처음에 미처 찾지 못한 소수 P를 1개를 더 발견한 것이므로, n+1번째 소수 Pn+1=P가 추가된다.

case 2) P가 합성수일 때
P가 합성수라면 P는 1과 자기 자신 외에 소수인 약수 p를 갖게 된다. 그런데 이 p는 P1, P2, P3, P4, …, Pn 중 어떤 소수와도 같지 않으므로 역시 처음에 찾지 못한 소수를 1개 더 발견한 것이 된다. 따라서 n+1번째 소수 Pn+1=p를 추가하게 된다.

결국 처음에 최대한 찾은 소수가 n개이더라도, 위와 같은 방법으로 이전에 미처 발견하지 못한 소수를 1개씩 더 찾아낼 수 있고, 이 방법은 무한히 반복 가능하므로 소수의 개수는 무한하다.

2벤포드의 법칙의 이유

벤포드의 법칙은 통계의 많은 항목의 값이 곱셈과 관련이 깊기 때문에 발생한다. 값이 곱셈과 관련해 나타난다면, 그 값 y 는 상수 k 와 t 에 대해 y = k t ^x 과 같이 나타낼 수 있다. 이 때, y 가 m +1 자리이면서 처음 숫자가 자연수 a 가 된다는 것은 다음 부등식을 만족하는 것이다.

a ×10^m ≤ kt^x < (a+1) × 10^m

양 변에 상용로그를 씌우면, m + loga ≤ logk + xlogt < m + log(a+1)

따라서 이 조건을 만족하는 x값의 범위는 두 수 loga와 log(a+1) 사이의 차와 비례한다. 그런데 자연수 a에 대하여 loga와 log(a+1)의 차는 다음과 같이 a=1일 때 0.3010으로 가장 크다는 것을 볼 수 있다. 또한 다음 표의 값을 100배하여 1의 자리까지 반올림한 값을 b라 하고 나타내면, 그 값이 벤포드가 조사한 확률과 거의 같다는 것을 확인할 수 있다.

　　

• 네이버캐스트

각의 삼등분은 불가능한가

인터넷을 검색하다 보면 수학적 문제를 소재로 논쟁을 벌이는 경우가 있는데, 그 대표적인소재 중 하나가 “임의의 각의 삼등분 작도문제”이다. 임의의 각의 삼등분 ‘작도’가 불가능함은 이미 잘 알려져 있다.(자세한 내용은 [삼대 작도불능 문제] 참조) 그러나, 그 말이 임의의 각을 삼등분할 수 없다는 뜻은 아니다. 도대체 이것은 무슨 말일까?

왜, 각의 삼등분 ‘작도’ 문제에 관심을 가질까?

고대 그리스 수학자들은 작도를 위한 도구로 단 두 가지만 제시하였다. 하나는 컴퍼스이고, 다른 하나는 눈금 없는 자이다. 현재 우리는 이 두 도구를 유클리드 도구(Euclidean tools)라고 부르고 있다. 다음은 교과서에 나오는 수학적 의미의 ‘작도’의 정의이다.

눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것을 작도라고 한다.

이러한 정의를 기초로 하여 처음으로 제시 되는 작도 문제가 바로 ‘선분의 이등분 작도’와 ‘각의 이등분 작도’ 문제이다. 이러한 작도 문제를 해결하고 나면,선분의 삼등분 작도 문제가 나온다.평행선 사이의 선분의 길이 비가 동일하다는 성질을 이용하면, 임의의 선분에 대한 삼등분은 간단하게 작도될 수 있다.

선분의 이등분.

각의 이등분.

이 두 도구를 이용하여 선분의 이등분, 각의 이등분 작도 문제 및 선분의 삼등분 작도 문제는 쉽게 해결하였지만, 당연히 해결되리라고 생각한 각의 삼등분 작도 문제해결에는 결국 실패하고 말았다. 이러한 역사적인 배경으로 인해 많은 사람들이 각의 삼등분 작도 문제해결에 큰 관심과 흥미를 가지고 있는 듯 하다.

선분의 삼등분.

각의 삼등분 문제가큰 관심을끄는 또 다른 이유는 우리 일상 생활과 관련이 있기 때문이다. 다른 작도불능문제(원적문제, 배적문제)와 달리 각의 삼등분 문제는 우리가 일상에서 흔히 경험할 수 있는 문제라는 것이다.

각의 삼등분 ‘제도(protraction)’는 가능하지만, ‘작도(construction)’는?

각의 삼등분 문제에 대해 논쟁을 하는 이유를 보면, 작도라는 용어에 대해 약간의 오해가 있는 것 같다. 작도는 수학의 고유한 용어이기도 하지만, 일상 용어이기도 하기 때문이다. 수학에서 모서리는 ‘선분’을 의미하지만, 일상에서 모서리는 ‘모가 진 가장자리’를 의미하는 것과 같은 경우로 볼 수 있다.

구체적으로 작도에 대한 사전적인 의미를 찾아 보자. 네이버 어학사전을 검색하면 작도(作圖)는 첫째, ‘그림, 설계도, 지도 따위를 그림(drawing figures)’, 둘째, ‘자와 컴퍼스만을 써서 주어진 조건에 알맞은 선이나 도형을 그림(construction)’이라고 정의되어 있다. 결국 삼등분 문제의 논쟁은 첫 번째 의미로 작도를 받아들이는 사람과 둘째 의미로 작도를 받아들이는 사람들 사이의 오해 때문인 것이다.

수학에서 작도는 유클리드 도구만을 사용한 도형 그리기 활동이다. 그런데, 이 도구의 사용에 몇 가지 강력한 조건이 포함되어 있는데, 이것을 무시함으로 인해 다른 여러 가지 문제들이 도출되고 있는 것이다.

첫째, 자에는 눈금이 없을뿐 아니라, 내가 임의로 눈금을 표시하여 사용할 수도 없다.
자의 크기 자체를 눈금으로 사용해도 안 된다.
둘째, 컴퍼스로 그릴 수 없는 다른 곡선(쌍곡선,타원,포물선)을 사용할 수 없다. 또한,
작도로 얻어질 수 있는지 불명확한 곡선이나 도형은 작도에 활용할 수 없다.
셋째, 작도 도구의 사용은 유한 번만 허용된다. 즉, 무한 번 사용할 수는 없다.
넷째, 눈금 없는 자, 컴퍼스 이외의 도구는 사용할 수 없다.

반대로 위의 강력한 조건을 무시하면 어떻게 된다는 것인가? 바로 각을 삼등분할 수 있다는 것을 의미한다. 위의 조건을 무시하여 각을 삼등분하는 활동을 편의상, ‘각의 삼등분 작도’가 아닌 ‘각의 삼등분 제도’라고 해보자.

임의의 각을 삼등분 하는 방법

1)눈금이 있는 자눈금 없는 자에 1(임의의 크기)을 표시하면 임의의 각을 삼등분할 수 있다.

눈금 1이 표시된 자를 이용한 각의 삼등분.

삼등분할 ∠AOB가 주어져 있다. 반지름이 1인 원의 중심 O에 삼등분할 ∠AOB를 둔다. 자 위에 원의 반지름과 같은 크기 즉, 1의 크기인 눈금을 표시한다. 여기서 눈금의 한쪽을 점 P, 다른 한 쪽을 점Q라 하고, 반지름이 1인 원과 직선 OA가 만나는 점을 R이라고 하자. 점 P는 직선 OB의 연장선 위에 놓이도록 하고, 점 Q는 점 O를 중심으로 하는 원 위에 오도록 한다.자가 점 R를 지나도록 위치를 이동하면, ∠RPO가 ∠AOB를 삼등분한다. 비슷한 원리를 이용하면, 눈금을 자 위에 그리지 않더라도 자의 크기 자체를 눈금으로 이용해서 각을 삼등분하는 것 역시어렵지 않게 가능하다.

2)컴퍼스로 얻을 수 없는 곡선을 이용 1) 
둘째, 컴퍼스로 얻을 수 없는 다른 곡선을 이용하면 임의의 각을 삼등분할 수 있다. 아래 그림은 '체바의 사이클로이드'라는 곡선을 이용한 예이다. 이 곡선은 대학 이상에서 배우는 것이므로 분량상 자세한 설명은 생략하는 것을 양해하기 바란다. 특이한 곡선을 사용하면 각의 3등분 '제도'가가능하다는 것만 이해하면 되겠다.

체바의 사이클로이드를 이용한 각의 삼등분.

삼등분할 임의의 ∠AOB를 직선 MN 위에 놓이게 한다. 그 다음 직선 OA위에 OE=1이 되도록 하는 점 E를 잡는다. 점 E를 지나고 직선 MN에 평행인 직선이 사이클로이드와 만나는 점을 P라 하고, 직선 O'P를 긋는다. 마지막으로 O를 지나면서 직선 O'P에 평행한 직선을 그으면, 이 직선이 ∠AOB를 삼등분한다.

3) 도구를 무한 번 사용셋째, 눈금 없는 자와 컴퍼스를 무한 번 사용하면 임의의 각을 삼등분할 수 있다.

무한 번 시행을 통한 각의 삼등분.

삼등분을 하기 위한 ∠AOB가 주어져 있다. 이 각을 이등분하여 (1)을 얻는다. 이것을 a₁ 이라고 하면, a₁은 전체 각의 반에 해당하기 때문에 1/2이라고 할 수 있다. 그 다음, 앞에서 얻은 각의 반을 다시 이등분하여 (2)를 얻는다. 이것을 a₂ 라고 하면 a₂= 1/2-1/4이 된다. 이제 (1)과 (2) 사이의 각을 이등분하면 (3)을 얻는다. 이것을 a₃라고 하면, a₃= 1/2-1/4+1/8이 된다. 이와 같은 과정을 계속 반복하여 보자. 그러면, 일반항으로 아래를 얻을 수 잇다.

그런데, 이것은 첫째 항이 1/2 이고 공비가 -1/2인 무한등비급수이므로, 다음 값을 얻을 수 있다.

즉, 무한 번 시행 후의 결과가 각을 삼등분한 것이 된다.

4) 다른 도구의 사용
넷째, 눈금 없는 자와 컴퍼스 이외 도구를 사용하면 임의의 각을 삼등분할 수 있다. 닮음의 원리에 따라 만든 아래 기구를 이용하면 각을 삼등분할 수 있다. 아래 왼쪽 그림과 같이 막대를 사용하여 등변사다리꼴 모양을 하면서 이음새 부분이 움직일 수 있는 기구를 만든다. 그 다음, 앞에서 만든 등변사다리꼴의 짧은 막대(막대 CO)를 새로운 등변사다리꼴의 대각선이 되도록 하는 새로운 등변사다리꼴을 추가적으로 구성한다. 또한 막대 DO를 새로운 등변사다리꼴의 대각선이 되도록 하는 새로운 등변사다리꼴을 추가적으로 구성하면 아래의 오른쪽 그림과 같은 기구가 만들어진다. 이 때, 세 등변사다리꼴은 모두 닮음이 되도록 구성한다.

닮음의 원리에 따라 만든 기구를 이용한 각의 삼등분.

처음에 두 막대가 이룬 각이 θ이므로, 이 과정을 세 번 반복하면 3θ의 각을 얻을 수 있다. 즉, ∠AOB를 삼등분하는 각은 막대 DO, 막대 CO가 가리키게 된다. 따라서 삼등분하고 싶은 각 위에 위와 같이 만든 기구를 가지고 가기만 하면 자동적으로 삼등분된 각을 아래 사진과 같이 얻을 수 있게 된다.

각의 삼등분 작도는 불가능 하나 제도는 가능하다

일반적으로 말하는 작도는 엄밀한 유클리드 작도를 의미한다. 즉, 눈금 없는 자, 컴퍼스만을 사용하여 유한 번 시행을 통해 도형을 그리는 활동이다. 이러한 의미에서 각의 삼등분 작도는 불가능하다는 것이 수학적 결론이다. 하지만, 각의 삼등분 제도가 불가능한 것은 결코 아니다. 작도에 대한 엄밀하면서도 강력한 조건들을 무시함(?)으로서 얼마든지 각을 삼등분할 수 있다. 직접 종이 위에 각을 그리고, 정말 위에서 소개한 방법으로 각이 삼등분 되는지 확인 해보는 것도 흥미로운 경험이 될 것 같다.

• 네이버캐스트