녹원학원 수학과학영재교육 010-3549-5206 : 여러가지 소수 ( Prime numbers )

이 사진은 메르센느 소수를 이진수로 쓴 것이다.

소수라고 하면, 약수(자연수인 약수만 따진다면)가 1과 그 자신밖에 없는 수를 일컫는다.
보통 유명한 소수들 하면, 메르센느 소수 라든지 페르마 소수 등 이 있는데, 이번 글에서는 정말 여러가지 종류의 이름이 붙은 소수들을 소개하고자 한다.Balanced primes ( 균형잡힌(?) 소수 )

그 전 소수와 그 다음소수의 평균이 소수가 되는 수.
즉, 소수들만 모아놓은 수열 {Pn} 이 있을 때,
$p_n = {{p_{n - 1} + p_{n + 1}} \over 2}$ 을 만족하는 소수 Pn 을 균형잡힌 소수라 한다.
예를들어서 소수 53은 그 전 소수 47과 그 다음 소수 59의 평균이므로 균형잡힌 소수이다.
( OEIS의 A006562번 수열에서 확인 할 수 있다. )

균형잡힌 소수들의 종류로는
5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 1753, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733 등이 있다.Bell number primes ( 벨 수 소수 )

벨 수 는, 수학자 Eric Temple Bell 에서 따온 이름으로, 조합론에서 n 개의 원소로 구성되어 있는 집합을 분할하는 방법을 나타내며, 몇 가지 벨 수는 다음과 같다. 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975 등 이 있다.
이 때, 이 벨 수 들 중에서 소수인 것들을 벨 수 소수 라 한다. 처음 몇 벨 수 소수로는
2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837
등이 있으며, 이는 OEIS 의 A051130 번 수열에서 찾을 수 있다.

Carol primes ( 캐롤 소수 )

크리스마스 캐롤이 아니다. ( 정확히 누구의 이름을 따왔는지는 모르겠다. )
이 캐롤 소수는 다음의 식을 만족하는 소수이다.

(2 n - 1) 2 - 2 처음 몇 캐롤 소수로는 7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527 등이 있다. Centered decagonal primes ( 딱히 한국말로 뭐라 할 지 모르겠다. 십각 소수(?) ) 다음을 만족하는 소수다. (5(n 2 - n)) + 1 다음 식만 만족하는 수 들은 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451,551, 661, 781, 911, 1051, 등이 있으며, 이 들 중, 소수 인 것을 바로 Centered decagonal number 이라 한다. 이 십각수의 특징은 다음 그림의 구슬들의 개수를 이룬다. 즉, 가운데 구슬이 하나 있고 그 주위를 10각형이, 그 주위를 20각형이 ... 이렇게 둘러 쌓아낳아가는 수이다.

아마 이 그림에 나와잇는 구슬들의 개수를 만족하는 수가 십각수, 그 들 중 소수가 십각소수이다.

처음 몇 개의 십각 소수 ( 내가 지어낸 말로, 아마 그냥 편히 부르기 위함이다.) 들은 다음과 같다.
11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281, 6301, 6661, 7411, 9461, 9901, 12251, 13781, 14851, 15401, 18301, 18911, 19531Centered heptagonal primes ( 칠각 소수 )

이는 위 십각 소수와 똑같지만, 칠각형으로 둘러 쌓아나간다는 점이 다르다.
칠각수는 (7n² − 7n + 2) / 2 식을 만족하는 수를 가리키며, 이들 중 소수들을 칠각 소수라 한다. 처음 몇 개의 칠각 소수들은 다음과 같다.
43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697, 4663, 5741, 8233, 9283, 10781, 11173, 12391, 14561, 18397, 20483, 29303, 29947, 34651, 37493, 41203, 46691Centered square primes ( 사각 소수 )

이는 위 십각소수나 칠각 소수와 같지만, 이는 사각형으로 둘러 쌓아나간다는 점이 다르다.

이는 다음의 그림을 만족하며,

n 2 + (n + 1) 2 의 공식을 만족하는 소수 이기도 한다.

처음 몇 개의 사각 소수로는 5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, 4513, 5101, 7321, 8581, 9661, 9941, 10513, 12641, 13613, 14281, 14621 이 있다.Centered triangular primes ( 삼각 소수 )

다음의 그림과 같이, 한 점을 중심으로 삼각형으로 덮어 나갈 때, 만족하는 점의 개수를 삼각수 (우리가 흔히 아는 삼각수가 아니라 딱히 Centered triangular primes 를 그냥 지어낸 말이다.)라고 하고, 이 삼각수들 중에 소수가 되는 수를 삼각 소수라 하자. 이는 (3n² + 3n + 2) / 2 의 공식을 만족하기도 한다.
처음 몇 삼각수들을 나열해 보자면, 19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, 2341, 2971, 3529, 4621, 4789, 7039, 7669, 8779, 9721, 10459, 10711, 13681, 14851, 16069, 16381, 17659, 20011, 20359, 23251 등이 있다.Chen primes ( 첸 소수 )
첸 소수는 어떤 소수 p 에 대해 p+2 가 소수거나 준소수 ( 두 소수의 곱으로 되어있는 소수, 예를들어 2의 제곱인 4나, 2×3 인 6 등이 준소수에 해당한다.) 일 경우 그 소수 p 를 첸 소수라 한다. 이때, 이 첸 소수가 무한하다는 것을 1966년 Chen Jingrun 이 증명하였다.
참고로 Rudolf Ondrejka 라는 사람이 첸 소수만으로 이루어진 3×3의 마방진을 발견하였다.

17	89	71
113	59	5
47	29	101

처음 몇 개의 첸 소수를 나열해 보자면
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 269 등이 있다.Cousin primes ( 사촌 소수 )
마치 쌍둥이 소수 처럼 p 와 p+4 가 모두 소수인 소수 p , p+4 를 사촌 소수라 한다. 처음 몇 개의 사촌 소수들을 나열해 보자면 (3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281) 등이 있다.

Cuban primes ( 쿠바 소수 )

다음 방정식을 만족하는 소수가 바로 쿠바 소수다.
$\tfrac{x^3-y^3}{x-y}$ ,

x = y + 1 이 방정식을 만족하는 소수들을 나열해 보자면

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669 등이 있고,
$\tfrac{x^3-y^3}{x-y}$ ,

x = y + 2 이 방정식을 만족하는 소수들을 나열해 보자면, 13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313 이 있다.

Cullen primes ( 쿨렌 소수 )
쿨렌수는, C_n으로 나타내며 1905년에 수학자 James Cullen 에 의해 처음 연구되었다. 이 때, 쿨렌수 C_n은 n · 2ⁿ + 1 와 같다. 이 때, 이 쿨렌수 들 중, 소수인 것을 바로 쿨렌 소수라 한다.
처음 몇 개의 쿨렌소수들을 나열해 보자면 3, 393050634124102232869567034555427371542904833 등이 있으며, 이는 각각 n 이 1 과 141 일 때 이다. 참고로 n 이 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828 일 때 모두 C_n 은 쿨렌 소수이다. (숫자가 너무 커서 다 쓰지 못하겠다. )

Dihedral prime ( 숫자를 돌려도 소수가 나오는 소수 )

이 소수는 딱히 뭐라 부를 순 없고 뭐 거울소수(?) 라 불러야 적합하다. 이 소수는 어떤 소수를 돌려서 다시 소수가 나오면, Dihedral 소수라고 한다. 예를 들어서, 2 는 소수이지만 이를 돌리거나 대칭시키면 5 가 나오는데 이도 역시 소수므로 2와 5는 모두 Dihedral 소수이다.
처음 몇 개의 Dihedral 소수들을 나열해 보자면 2, 5, 11, 101, 181, 1181, 1811, 18181, 108881, 110881, 118081, 120121, 121021, 121151, 150151, 151051, 151121, 180181, 180811, 181081 등이 있고, 2006년에는 Phil Carmody 라는 사람이 10¹²⁷⁵⁷⁶ + 1081101080188810801011801 × 10⁶³⁷⁷⁶ + 1 인 가장 큰 Dihedral 소수를 찾았다.

Double Mersenne primes ( 복 메르센느 소수 )
p 가 소수일 때, $2^{(2^p-1)}-1$ 가 소수가 되면 이 $2^{(2^p-1)}-1$ 는 복 메르센느 소수가 된다. 처음 몇가지 복 메르센느 소수를 나열해 보자면

$M_{M_2} = M_3 = 7$
$M_{M_3} = M_7 = 127$
$M_{M_5} = M_{31} = 2147483647$
$M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727$

일 때에 각각이 모두 소수가 된다. 참고로 현재 2007년도 까지 이 4개들만 현재까지 알려진 복 메르센느 소수이며, p = 13, 17, 19, 31 때 에는 복 메르센느 소수가 아님이 밝혀졌다. 그 다음 메르센느 소수인 p=61 인 경우에 대해서 $M_{M_{61}}$ 의 값, 또는 2^{2305843009213693951}-1 이며, 이 조차 값이 너무 커서 (6.94×10¹⁷자리) 확인이 거의 불가능 하다.

  Emirps primes ( 대칭 소수 )
어떤 소수 p 를 대칭시켜도 (예를들어 13을 대칭시키면 31) 소수가 나오는 소수 p 를 Emirps 소수라 한다. 처음 몇 개의 Emirps 소수를 나열해 보자면 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, 167, 179, 199, 311, 337, 347, 359, 389, 701, 709, 733, 739, 743, 751, 761, 769, 907, 937, 941, 953, 967, 971, 983, 991 등이 있다.

  Euclid primes ( 유클리드 소수 )
유클리드 수 E_n 을 E_n = p_n# + 1 이라고 정의 할 때, ( 단, p_n# 은  p_n 이하의 모든 소수들의 곱이다 ), E_n 이 소수가 되면 이를 유클리드 소수라 하며 이는 그리스 수학자 유클리드가 E_n꼴의 소수를 이용해 소수의 개수는 무한하다라는 증명한 것에서 유래하였다.
처음 몇 개의 유클리드 소수를 나열해 보자면, 3, 7, 31, 211, 2311, 200560490131 등이 있으며 모든 유클리드 수는 소수가 아니다. 예를들어, E₆ = 13# + 1 = 30031 = 59 x 509 을 만족한다.

  Even prime ( 짝수 소수 )
모두가 알듯이, 짝수인 소수는 2 밖에 없다. 한가지 유머로는 2를 가르켜 "the oddest prime" 라고 한다. ( 이는 영어로 odd 가 홀수라는 뜻 도 있지만 기괴하다는 뜻 도 있다. )

  Factorial primes ( 계승 소수 )
  n! − 1 또는 n! + 1 꼴을 만족하는 소수이다.
처음 몇 개의 계승소수들을 나열해 보자면, 2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, 479001599, 87178291199, 10888869450418352160768000001, 265252859812191058636308479999999, 263130836933693530167218012159999999, 8683317618811886495518194401279999999 등이 있다.

   Fermat primes ( 페르마 소수 )
   $2^{2^n} + 1$ 의 꼴의 소수를 페르마 소수라 한다. 이는 페르마가 발견한 수로, 처음  F₀,...,F₄ 의 페르마 수들은 쉽게 소수임을 보일 수 있지만 ( 계산해서 ) 그 다음부터는 복잡해 지는데, 페르마는 모든 페르마 수들이 소수라고 추측했다. 하지만 1732년 레온하르드 오일러에 의해
$F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417. \;$ 가 소수가 아님을 보여 페르마의 추론이 틀림을 보였다.

  Fibonacci primes ( 피보나치 소수 )

피보나치 수열 { F_n } 을 F₀ = 0, F₁ = 1, F_n = F_n-1 + F_n-2 만족하는 수열로 정의할 때, 어떠한 자연수 n 에 대해 F_n 이 소수라면 이를 피보나치 소수라고 한다.   처음 몇 개의 피보나치 소수로는 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917 등이 있다.

  Genocchi primes ( Genocchi 소수 )

Genocchi 수 G_n는 다음을 만족하는 수 이다.
$\frac{2t}{e^t+1}=\sum_{n=1}^{\infty} G_n\frac{t^n}{n!}$
이 때, G_n중 소수인 것을 Genocchi 소수라 하며, 17 밖에 없다.

  Happy primes ( 좋은 소수 )

일단 Happy number , 즉 좋은 수 .는 다음과 같이 판별한다.
어떤 수를 골라서 각 자리를 제곱을 한 후 각각을 모두 더한다. 이때 새로나온 수의 각 자리를 제곱한 후, 다 더해 또 새로운 수를 만든다. 이 방법을 계속해 1이 되면 이 수는 좋은 수 이고, 1이 되지 않고 계속 똑같은 값이 순환이 되면 좋은 수가 아니다.
예를들어서 7이 좋은 수 인지 아닌지를 판별하려면

7² = 49

4² + 9² = 97

9² + 7² = 130

1² + 3² + 0² = 10

1² + 0² = 1 → 즉 7 은 좋은 수 이다.
컴퓨터의 계산에 따르면 10²⁰까지의 수들 중, 12% 정도는 좋은 수 라고 한다. 처음 몇 개의 좋은 수들을 나열해 보자면 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496 등 이 있다. 이 때, 이들 중 소수인 것들이 바로 좋은 소수이다.
좋은 소수들을 나열해 보자면 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487, 563, 617, 653, 673, 683, 709, 739, 761, 863, 881, 907, 937, 1009, 1033, 1039, 1093 등이 있다.

  Higgs prime ( 힉스 소수 )

어떤 소수 p 에 대해, p-1 ( 또는 φ( p) ) 이 p 보다 작은 모든 힉스 소수의 제곱을 나눌 때, 소수 를 힉스소수라 한다. 이를 공식화 하면, 힉스소수 Hp_n은
   $\phi(Hp_n)|\prod_{i = 1}^{n - 1} {Hp_i}^a\mbox{ and }Hp_n > Hp_{n - 1}$
을 만족한다. 이 때, a=2 이다.
처음 몇 개의 힉스 소수를 나열해 보자면 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 107, 127, 131, 139, 149, 151, 157, 173, 181, 191, 197, 199, 211, 223, 229, 263, 269, 277, 283, 311, 317, 331, 347, 349 등 이 있다.

  Kynea primes ( Kynea 소수 )

\frac{b^{p-1}-1}{p}

행운의 수를 구하는 방법

Mathematics

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2019년 1월 11일 금요일

여러가지 소수 ( Prime numbers )

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