녹원학원 수학과학영재교육 010-3549-5206 : 수학의재미 2010 AMC 8 / Problem 25 규칙을 찾아 문제해결하기

2019년 8월 15일 목요일

수학의재미 2010 AMC 8 / Problem 25 규칙을 찾아 문제해결하기

매일 학교에서 6 계단을 오르는데, 한번에 1 , 2 , 3 계단을 올라 갈수있다.

예를 들어 3 계단을 오르고 , 1 계단 , 2 계단을 오르면 6 계단 을 올라갈수 있다.

계단을 오르는 방법은 몇가지 인가?

Problem

Everyday at school, Jo climbs a flight of 6 stairs. Jo can take the stairs 1 , 2 ,3 at a time.
For example, Jo could climb 3, then 1, then 2.
In how many ways can Jo climb the stairs?

$\textbf{(A)}\ 13 \qquad\textbf{(B)}\ 18\qquad\textbf{(C)}\ 20\qquad\textbf{(D)}\ 22\qquad\textbf{(E)}\ 24$

Solution 2

A recursive approach is quick and easy. The number of ways to climb one stair is 1. There are 2 ways to climb two stairs: $1$ , $1$ or $2$ . For 3 stairs, there are $4$ ways: ( $1$ , $1$ , $1$ ) ( $1$ , $2$ ) ( $2$ , $1$ ) ( $3$ )

For four stairs, consider what step they came from to land on the fourth stair. They could have hopped straight from the 1st, done a double from #2, or used a single step from #3. The ways to get to each of these steps are $1+2+4=7$ ways to get to step 4. The pattern can then be extended: $4$ steps: $1+2+4=7$ ways. $5$ steps: $2+4+7=13$ ways. $6$ steps: $4+7+13=24$ ways.

Thus, there are $\boxed{\textbf{(E) } 24}$ ways to get to step $6.$

풀이 )

계단이 한개 있다면, 오르는 방법은 한가지 밖에 없다.

계단이 두개 있다면, 오르는 방법은 두가지 가 있다.

한번에 두계단을 오르거나, 한계단 한 계단 오를수있다.

계단이 모두 3개 있다면, 오르는 방법은 4가지 가 있다.

한번에 3계단을 오르거나, 2 계단을 오른후 1 계단,

1 계단을 오른후 2 계단, 한번에 한 계단씩 1, 1 ,1

계단이 모두 4개 있다면, 오르는 방법은 7가지 가 있다.

3 1 , 1 3 , 2 2 , 2 1 1 , 1 2 1 , 1 1 2 , 1 1 1 1

모두 7 가지이다.

그런데, 여기서 규칙을 찾을수 있다.

계단이 모두 4개 있다면, 앞에서 구한 결과를 이용할수가 있다.

계단이 한개 있으때 1 가지

계단이 2개 있으때 2 가지

계단이 3개 있으때 4가지

계단이 4개 있으때 1 + 2 + 4 = 7 가지

계단이 5개 있으때 2 + 4 + 7 = 13 가지

계단이 6개 있으때 4 + 7 + 13 = 24 가지

그다음은 7 + 13 + 24

...........

궁금 하면 문의 하세요.

010-3549-5206

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