다음 방정식의 양의 정수해를 모두 구하시요

문제
다음 방정식의 양의 정수해를 모두 구하시요
1 ! +  2 ! + 3 !......... x ! = y ^ 2

풀이
(i) x = 1 일때 , y =1 이 된다.
즉 ( x , y ) = ( 1 , 1) 이다.
(ii) x = 2 일때 , 좌변이 3이 되어 제곱수가 아니므로 정수 y 가 존재하지 않는다.
(iii) x = 3 일때 , 좌변이  9가 되어 y =3 이다.
     즉 ( x , y ) = ( 3 , 3 ) 이다.
(iv)  x = 4 일때 ,좌변은 33이 되어 제곱수가 아니므로 정수 y 가
(v) x 가 5 이상일때 살펴보자
n 이 5 이상이면 5 ㅣ n ! 이므로
 1 ! +  2 ! + 3 !......... x ! = 1 ! +  2 ! + 3 ! + 4 ! ㅌ  3 ( mod 5 ) 이다

그런데 , 완전제곱수는 법 5에 대한 나머지가  0 , 1 , 4  와  합동이므로
합동식의 해는  존재하지 않는다.
따라서  주어진 방정식의 양의 정수해가 존재하지 않는다.

위의  ( i ) ~ ( v )로 부터 주어진 방정식의 양의 정수해는 
 ( x , y ) = ( 1 , 1)  , ( 3 , 3 ) 이다.
<kmo bible  정수론 4.31>

해설