KMO 대비 문제, m 의 값에 관계없이..

문제

2009 이하의 양의정수 n 중에서, 양의정수 m 의 값에 관계없이 m(m+1)(m+n)이

6의 배수가 되게 하는 n의 개수를 구하시요?

풀이
m(m+1)(m+n)에서 m(m+1)은 2의 배수이다.
음이 아닌 정수 k 에 대하여
n= 3k + r     ( r= 0, 1, 2) 이라 하면

m(m+1)(m+n)= m(m+1)(m+ 3k + r) = 3m(m+1)k  + m(m+1)(m + r)
여기서 3m(m+1)k 는 6의 배수이므로
m(m+1)(m + r)은 m의 값에 관계없이 6의 배수가 되어야한다.
따라서 r = 2 이다.
즉 ,  n = 3k +2 이다.

... 0 < 3k +2  <=2009
 - 2/3 < k <= 669
따라서 k 가 정수이므로, 구하는  n 의 개수는 670개이다.

(KMO  금메달 수학

 

해설

m(m+1)(m+n)에서 m(m+1)은 2의 배수이다.
연속된 두수는 짝수를 포함하니 짝수이고 2의 배수이다.

연속된 세수 m(m+1)(m+2)은 어떤경우든  2의 배수와 3의 배수를
반드시 포함하니 6의 배수이다.

모든 양의정수는 3으로 나누면 나머지가 1 , 2  아니면 0 이다.
고로, 양의정수 n 은 n= 3k + r     ( r= 0, 1, 2) 로 나타낼수가 있다.


m(m+1)(m+n)이  6의 배수가 되게 하는 n은 n= 3k + r 을 대입하여 구할수있다.
m(m+1)(m + r)은 r = 2 일때 m(m+1)(m + 2)가 되어
 m의 값에 관계없이 6의 배수가 된다.
따라서 r = 2 이다.
즉 ,  n = 3k +2 이다.

2009 이하의 양의정수 n 중에서 6의 배수를 구하는 문제이니
 0 < n  <=  2009
 0 < 3k +2  <=2009
 -2 < 3k <= 2007
 - 2/3 < k <= 669

따라서 k 가 정수이므로, k는 0부터 669 까지 이며,
구하는  n 의 개수는 670개이다.