내일의 아마추어 수학자를 위한 안내서

어떤 분야를 본업으로 삼지 않고 순수하게 취미로 즐기는 사람을 ‘아마추어’라고 한다. 수학에도 아마추어가 있다. 수학자가 아니지만 수학 역사에 이름을 남긴 이들이다. 누가 있을까 싶지만, 우리가 당연히 수학자라고 생각한 사람도 실은 ‘아마추어’였던 경우가 많다는 사실!

수학을 전공하지 않았거나, 직업이 수학자가 아니라고 해서 놀라운 수학적 발견을 하지 못하는 것일까? 때로는 아마추어이기에 제약 없이 상상력을 발휘할 수도 있고, 전혀 다른 분야에서 색다른 발상을 할 수 있다. 

김종락 서강대학교 수학과 교수는 “아마추어 수학자에겐 프로 수학자와 다른 ‘또 다른 길과 가능성’이 있다”며, 자기만의 방법을 찾고 수학을 좋아하는 사람끼리 교류하길 권했다. 

결국, 여러 수학자와 아마추어 수학자가 입을 모아 말한 것은 ‘좋은 문제를 만나고, 고민하고, 즐겨라!’이다. 즐길 준비가 됐다면, 아마추어 수학자의 길은 언제나 활짝 열려 있다. 

수학을 전공하지 않았다고 놀라운 발견을 못하는 것일까? 오히려 제약이 없기에 상상력을 발휘할 수도 있다 - 사진 GIB 제공

● 아마추어 수학자 가이드

1. 재미있어 보이는 문제를 찾아라.
수학 연구의 시작은 ‘나에게 재미있는 문제’를 찾는 것이다. 김영욱 교수는 “푸는 것 이상으로 문제가 중요하며, 좋은 문제가 곧 좋은 수학”이라고 조언했다. 그동안 재미를 느끼지 못했다면 그건 내 탓이 아니라 문제 탓이었는지도 모른다. 

2. 문제를 만들어서 풀자.
좋은 문제를 내가 개척하는 방법도 있다. 많은 수학자가 문제를 만들어서 푼다. 재미있어 보이는 명제를 만들고 조건을 바꿔서 증명해 보는 거다. 어쩌면 내 이름을 딴 난제가 탄생할지도?

3. 현실을 모델로 수학식을 찾아보자.
책 속에만 문제가 있는 것은 아니다. 일상 속에서 알고 싶은 것들, ‘이런 조건에선 어떻게 될까?’ 하고 궁금했던 것을 수학으로 표현해 보자. 조건을 정하면 얼마든지 내게 맞는 난이도로 바꿀 수 있다.

4. 다른 사람의 연구를 읽자.
어느 정도 재미가 있으면 이제 다른 사람의 연구를 읽어보는 게 좋다. 내용을 읽으며 새로운 걸 배울 수도 있고 아이디어가 떠오를 수도 있기 때문이다.

5. 오래된 미해결 문제를 풀어보자.
미해결 문제에 도전하는 방법도 있다. 수학자든 수학자가 아니든 상관없다. 누구든 문제를 푼 사람이 이름을 남기는 법이다. 

문제를 푼 사람이 이름을 남기는 법 - 사진 GIB 제공

● 당신을 ‘일류 아마추어 수학자’로 만들 문제

1997년 영국 수학자 앤드루 와일스가 페르마의 마지막 정리를 풀자, 수학계는 다음 문제를 찾기 시작했다. 그때 미국 수학자 게리 뮬렌은 오랫동안 풀리지 않았던 상호직교 라틴방진에 관한 다음 문제를 증명하는 것을 ‘페르마 다음 문제’로 삼자고 제안했다.

‘크기가 n인 상호직교 라틴방진이 최댓값 n-1개 존재하는 경우에, 반드시 n은 소수의 거듭제곱이다.’

라틴방진은 같은 행과 열에 서로 다른 기호를 써서 만든 n×n의 정사각행렬을 말한다. 같은 크기의 서로 다른 라틴방진을 순서대로 포갰을 때 행렬이 다시 라틴방진이 된다면 처음 두 라틴방진을 상호직교 라틴방진이라고 한다.

즉, 페르마 다음 문제는 이 상호직교 라틴방진의 개수가 최댓값이 되는 경우는 오직 크기 n이 2=2의 1승, 3=3의 1승, 8=2의 3승 같은 소수의 거듭제곱일 때 밖에 없다는 가설이다 

 

가설의 역인 소수의 거듭제곱일 때 최대가 나온다는 건 이미 증명됐지만, 이 명제는 아직 풀리지 않았다.  문제는 어렵지만 계산 과정 자체는 간단해서 누구나 도전할 수 있다. 

수학동아