We shall walk together on this path of life, for all things are part of the universe and are connected with each other to form one whole unity. --Maria Montessori

An Open Letter to the Children

--by Randall Amster, syndicated from huffingtonpost.com, Dec 14, 2014

Dear Children,
I know that this world must often seem confusing to you. It's noisy, dirty and filled with adults scurrying about their busy lives without noticing you all that much sometimes. It's filled with rules and people telling you what to do, mostly without asking what you want to do. It's also a world where adults teach you about all of the dangers around you, but not as much about the wonderful, beautiful things.

You see, things weren't quite like this when we were kids. We had our rules and dangers, to be sure, but nothing like the ones you face today. Back then (which is not really that long ago), people talked to each other more, neighbors knew one another and schools were less like factories and more like playgrounds. There were less televisions, computers and phones calling for our attention, and there were more open spaces to play like kids are supposed to do.
Most importantly, it wasn't a world where it felt like people were hurting each other all the time. Today, it seems like so many of the things you see -- both real things in the news and fake things like in video games and movies -- include people hurting each other, hurting themselves and hurting the world around them. It isn't your fault that things are like this. It's the fault of us adults, and we're sorry.
I know that an apology doesn't make it all better. I also know that you might have heard some terrible things lately about children who were hurt, and even killed, at a school in Connecticut. Please know that this horrible thing has a lot of adults feeling heartbroken, and that many of us are determined to work for a world where things like this don't happen anymore.
But we can't keep everything bad from happening. Most of the adults you know are just trying to live and work in the world, but don't always control what happens in it. We have appointments to keep, messages to answer, bills to pay and chores to do. All of this leaves us little time for the things that really matter. Sadly, it leaves us little time to think about what the world is doing to all of you.
This is not an excuse for our actions. We've let ourselves get caught up in the pace of our lives, and we've become distracted from the important issues that we all need to work on together. For too long, we've ignored your ideas and failed to listen to your voices. If we had, we would better appreciate the sense of wonder and innocence that you represent, how you see things from closer to the earth than we do, how you express your emotions honestly and revel in your imaginative play.
Meanwhile, too many of us adults have looked the other way while the world we're leaving behind for you has been damaged in ways that will be hard to fix. Basic things that people have mostly taken for granted in recent years -- like food, water and shelter -- will be harder for you to find. Quiet moments, nature experiences and open spaces will be more difficult to come by. Your chance to be hopeful about the future will be less than ours was, unless...
Unless adults listen to you more and stop acting like we have all the answers. We don't. We've just learned how to exist in this world, but we need you to help us remember how to live in it. Can you help us? That might sound strange, to have adults asking you to help us, but we really need you to. In return, you can count on us to help you, by making a better world, and mostly by loving you with all our hearts.
And that means all of you, every child in the world. We can't let even one of you go through this life feeling unloved or unappreciated. This means children here in the United States, and all around the world. It means that we have to start thinking more about other people's children, and about how too many of them are being hurt every day -- sometimes even by the choices we make as adults when we buy things, ignore things or focus only on our own lives and forget about all the other people out there.
It also means that you, as the future of the world, will have to start learning right away what it means to be a "citizen of the world." You are connected to people all over the globe and in the places where you live, and this will not change. You are connected to the trees and animals, to the air and water and to everything in nature that provides us with everything we need to live. You are connected to each other, to your families and friends, to the ancestors who came before you, and to the children of your own that you will have someday. Please do not forget this. It is probably the most important thing for you to know.
Please forgive us, dear children. Forgive us for not telling you all of this sooner, for not slowing down in our busy lives and looking in our hearts long enough to speak with you rather than at you. Please forgive us for waiting until a terrible tragedy happened to realize how important you all are to us, and how irresponsible we've been by not paying close enough attention to the future of the world we're leaving for you. It's your world, after all, and we're just borrowing it.
Finally, please know that we love you. We always have and we always will. If you ever felt unloved, it's our fault and not yours. We can't fix the past, but we can work together to make a better future. It won't be easy, but it can be fun: more playing, more sharing, more listening, more friends, more love! Not only will this help you -- it will also help us adults remember what it means to be happy, healthy, safe, valued, and filled with joy for life.
Thank you, children, for reminding us of this. You are our teachers, and we are ready to learn again.

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This article originally appeared in the Huffington Post and is republished here with permission. Randall Amster, J.D., Ph.D., is Director of the Program on Justice and Peace at Georgetown University, and serves as Executive Director of the Peace and Justice Studies Association. He is the author of books including Peace Ecology (Paradigm Publishers, 2014), Anarchism Today (Praeger, 2012), and Lost in Space: The Criminalization, Globalization, and Urban Ecology of Homelessness (LFB Scholarly, 2008).  

세계 모든 어린이에게 보내는 편지 '어린이들에게 보내는 공개편지(An open letter to the children)

올 한 해에도 수많은 어린이가 희생되거나(fall victims) 학대를 당했다(be abused). 그래선지 미국 조지타운대학교 랜덜 앰스터 박사가 2년 전 신문에 기고한(contribute to a newspaper) 글이 새삼 관심을 끌고 있다. 제목은 '어린이들에게 보내는 공개편지(An open letter to the children)'.

"이 세상이 너희에겐 혼란스럽게 보일 거다(seem confusing to you). 시끄럽고, 더럽고, 생존경쟁에 허둥대는 어른들로 가득하지(be filled with adults scurrying about their rat race). 원하는 건 물어보지도 않고, 해야 할 일만 강요하고, 학교는 제품들 찍어내는 공장 같고…. 예전엔 이렇지 않았단다. 서로 상처 주고(hurt each other), 주변 사람들 해치고, 그러지는 않았어. 이 모든 것이 어른들 잘못이다. 미안하다.

먹고살기(make ends meet) 급급해 그런 거지. 이래저래 할 일도 많아서 세상이 너희를 어떻게 대하는지 돌아봐 줄 여유도 내지 못한다. 삶의 흐름에 갇혀(get caught up in the pace of lives) 정작 중요한 것들에선 주의가 흐트러져 있지(be distracted from the really important issues). 그래서 너희 생각, 너희 목소리도 들어주지 못하는 거야(fail to listen to your voices).

너희에게 남겨두고 갈(leave behind) 이 세상은 고치기 어려울(be hard to fix) 정도로 망가져 있어. 과거 어른들 시절엔 당연한 것으로 여겨졌던(be taken for granted) 음식, 물, 주거지 등이 너희에겐 점점 구하기 어렵게 될 거다. 평온한 순간, 자연 경험, 열린 공간도 얻기가 더 힘들어질(be harder to come by) 거야. 미래에 대한 희망을 가질 기회들도 과거보다 많이 적어질 테고.

이 세상 어느 어린이도 사랑받지 못하고 인정받지 못한다는 느낌으로 세상 풍파에 부대끼게(go through life's vicissitudes feeling unloved or unappreciated) 해서는 안 되는데, 그걸 망각하고 오직 우리 인생에만 매달리느라(be only preoccupied with our own lives) 그리하지 못했다. 어른들의 무심한 선택(careless choice)이 되레 어린 생명을 중노동과 열악한 환경에 몰아넣기도(push young lives into heavy labors and poor circumstances) 했지.

이 세상의 미래인 너희는 세계 시민(a citizen of the world)으로 살아라. 이 지구의 모든 너희는 서로 연결돼 있단다. 너희가 사는 데 필요한 공기, 물, 나무, 동물 등 자연의 모든 것에 연결돼 있고, 어느 날 너희가 낳을 너희 자손들도 그렇게 연결돼 살아가게 될 거야.

너희가 어른들을 용서해라. 이런 얘기 진작 해주지 못한 것, 너희 모두가 얼마나 소중한지 깨닫게 하는 끔찍한 비극이 일어날 때까지 마냥 그러고 있었던(wait until a terrible tragedy) 것, 너희에게 남기고 갈 이 세상의 미래에 보다 세심한 주의를 기울이지(pay closer attention to the future of the world) 못한 것을 용서해다오. 이 세상은 너희 것이야. 어른들이 지금 빌려쓰고 있을 뿐이지.

너희를 사랑한다는 걸 알아주기 바란다. 그리고 지나간 과거는 고칠 수 없지만, 더 나은 미래를 만들어가는 데는 힘을 함께 모을 수 있다는 사실을 늘 기억해주기 바란다."
 프리미엄조선

"영국·프랑스처럼 초·중·고서 토론식 시민교육 하자"

자율·책임의식 길러주는 선진국

프랑스, 학생이 교칙 정해 지키게

독일, 정치시민교육 통해 상호 존중

"나만 도덕적이면 되는 윤리와 달리

시민교육은 더불어 사는 법 가르쳐"

대학생들이 질소가 든 과자 봉지로 만든 뗏목을 타고 한강을 건너고 있다. 과대 포장을 꼬집기 위해 지난 9월에 실시된 행사다. 불합리하다고 느끼는 사안 개선을 위해 적극적으로 나선 사례 중 하나다. [김경빈 기자]

서울에서 중학교를 다니다 지난 9월 프랑스 파리로 전학 간 정수진(14)양은 현지 중학교 개학 날 풍경을 잊지 못한다. 9월 새 학기를 맞아 학생들은 생활 규칙을 정하는 토론을 벌였다. 학교 측은 이 중 핵심적인 것을 뽑아 학부모의 서명을 받아오게 한 뒤 교칙으로 삼았다. 정양은 “한국에서 교칙은 학교가 정해 지키라고 하는 건데 프랑스에선 학생의 자율성을 존중하더라”며 “하지만 책임도 막중해 처벌은 엄격했다”고 말했다. 교칙을 두 번 어기면 부모가 학교에 나와야 하고 같은 사유로 세 번 어기면 퇴학이다. 프랑스의 시민교육을 연구한 대전 대정초 정현이 교사는 “권한과 자율을 주는 대신 책임의식도 길러주는 게 프랑스 교육의 핵심”이라고 설명했다.

한국의 교실 풍경은 딴판이다. 서울의 한 중학교 사회교사인 임모(53)씨는 “수업 때 학생의 3분의 1이 잠을 자는데 깨우면 화를 내는 아이도 있다”며 “배려나 공동체의 질서를 배우지 못하고 어른이 되는 것 같아 안타깝다”고 토로했다. 경기도 지역 고교 사회교사 김모(56)씨는 “사회나 도덕 교과서에 나오는 시민교육 내용이 현실과 동떨어져 학생들이 자신과 상관없다고 느낀다” 고 지적했다. 한국교육과정평가원이 2007년 각국 초등학생을 조사한 데 따르면 ‘교실에서 사회 생활에 필요한 질서와 규칙을 배우고 실천한다’고 답한 한국 학생은 18.4%에 그쳤다. 프랑스(63%)·영국(54.3%)의 3분의 1 수준이다.

공존하는 사회를 만들려면 책임감과 주인의식을 지닌 시민이 육성돼야 하지만 긴 역사 속에서 시민성이 자발적으로 성장해온 서구와 달리 한국은 그런 경험이 적다. 사회 구성원의 시민의식이 길러지지 못하다 보니 대가로 치러지는 비용도 막대하다. 2009년 삼성경제연구소가 신뢰와 규범 등 사회적 자본의 수준이 낮아 발생하는 갈등 비용을 추산해 보니 연 82조∼246조원에 달했다.


전문가들은 지금부터라도 시민교육을 시작해야 한다고 얘기한다. 박재창 한국외대 석좌교수는 “자기 성찰적 시민이 부족하기 때문에 거국적인 민주시민교육이 필요하다. 시민들이 정치적 의사결정 과정에 직접 참여해 경험을 쌓는 게 가장 효과적인 방법”이라고 말했다. 강원택 서울대 정치외교학부 교수는 “미국 아빠들은 아이가 세금이 뭐냐고 물으면 ‘도둑이 들거나 불이 나면 경찰이나 소방관에 도움을 청해야 하는 데 필요한 장비나 그들의 봉급이 아빠가 내는 세금에서 나온다’고 설명한다”며 “세금을 공동체에 대한 기여 측면에서 가르치는 자세를 한국 부모들도 적용해볼 만하다”고 말했다.

학교 교육의 변화도 주장한다. 이범웅 공주교대 윤리교육과 교수는 “초·중·고에서 이뤄지는 시민교육은 영국·프랑스 등의 서구 사회에서처럼 문제를 해결하는 내용과 토론식으로 구성하고, 현장에서 체험 과정을 반드시 거치게 설계해야 한다”고 주문했다. 홍후조 고려대 교육학과 교수는 “중학교를 마칠 무렵까지 공동체에 대한 책임과 의무를 가르치겠다는 목표를 세우고 경쟁보다 협동을 강조해야 한다”며 “과제도 개인별로 내지 말고 팀별·조별 활동을 유도하는 게 좋다”고 의견을 냈다. 이동수 경희대 공공대학원 교수는 “나만 도덕적이면 되는 윤리교육과 달리 시민교육은 혼자 잘해선 안 되고 더불어 사는 법을 익히게 하는 게 핵심”이라고 강조했다.

선진국의 학교 시민교육은 토론 위주인 게 특징이다. 1985년 초·중학교에 ‘시민교육(Education Civique)’을 의무화한 프랑스는 고교에서도 99년부터 필수과목으로 지정했다. 초등 3학년이 배우는 시민교육 교과서의 ‘자유’ 단원엔 운동장에서 노는 아이들의 그림을 보여주면서 ‘남에게 피해를 끼치는 인물의 행동을 찾고 무엇이 잘못인지 생각하라’는 질문을 던진다.

독일은 ‘정치시민교육’으로 다양성을 존중하는 자세를 갖게 하는 데 집중한다. 이규영 서강대 국제대학원 교수는 “독일 시민교육은 평생교육이 특징”이라며 “연방교육센터나 시민대학 같은 기관에서 성인들도 사회적 이슈에 대해 활발히 토론한다”고 소개했다.
중앙일보

자폐 동생 돌보려 중학 中退… '수시 5관왕' 누나

서울대·연세대 등 5개大에 합격한 손혜원 양
집에서 계획표 짜 혼자 공부… 매일 2~3시간 동생 지도
검정고시로 고교 진학 전교 1등… "프로그래머가 꿈"

2009년 중학교 1학년이던 손혜원(19)양은 자퇴를 결심했다. 공부를 곧잘 하는 딸의 선택에 부모님이 펄쩍 뛰었다. "공부는 집에서 혼자 할 수 있어요. 쉬면서 동생을 도와주고 싶어요." 세 살 아래인 남동생은 발달 장애가 있다. 부모님은 "동생은 우리한테 맡기고 공부에 열중하라"고 했지만 혜원이는 고집을 꺾지 않았다. 혼자 홈스쿨링을 시작한 혜원이는 동생을 가르치며 독학으로 고교(서울 오금고)에 진학했다. 또래보다 멀리 돌아온 듯했던 혜원이는 이번 수능에서 만점 가까운 성적을 받고 서울대·연세대·카이스트·성균관대·한양대 수시 전형에 합격했다.

중학교를 자퇴한 뒤 혜원이는 동생을 위한 '눈높이 교육'을 시작했다. 동생이 초등학교 특수반에서 돌아오면 하루 2~3시간씩 교과서를 펴놓고 함께 공부했다. 혜원이는 "그때 동생은 학교에서 뭘 배운다는 것 자체가 힘들어 보였다"고 했다. 추상적인 개념을 어려워하는 동생을 위해 누나는 눈에 보이는 것을 이용해 가르쳤다. 혜원이의 어머니 박윤주(44)씨는 "혜원이는 동생과 피자를 나눠 먹으며 '나눗셈'을 가르쳤고 탁상시계와 액자를 보여주며 삼각형·사각형 같은 도형을 이해시켰다"고 했다. '밀도'를 설명할 때는 설탕과 쌀을 가져와 만져보게 했다. 혜원이는 동생이 고개를 끄덕일 때까지, 쉽게, 더 쉽게 설명했다.

손혜원양이 30일 오후 서울 방이동 자택에서 동생 창오군의 공부를 도와주고 있다. 손양은“동생이 내 스승이었다”고 말했다. /성형주 기자

자폐증을 앓아 1시간 이상 집중하기 어려운 동생을 위해 30분 공부, 15분 휴식 원칙을 지켰다. 쉬는 시간에는 퍼즐 맞추기, 블록 쌓기 같은 집중력을 높여주는 게임을 함께 하고 배드민턴도 같이 쳤다. 지금은 중학생이 된 동생은 훨씬 상태가 좋아졌다고 한다. 성적은 중하위권이지만 학교생활에는 무리가 없어 현재 중학교 일반 학급에서 공부하고 있다.

혜원이는 스스로 택한 홈스쿨링 기간에는 사교육의 도움 없이 전적으로 혼자 공부했다. 손수 만든 계획표에는 오전 8시부터 오후 3시까지 '영어 원서로 독해 연습' '수학의 정석' '일본어 공부' 등의 일정이 빼곡했다. 3시 이후는 동생과 함께했고, 나머지 시간은 전부 책을 읽는 데 썼다. 2년 남짓한 독학 기간에 독서 노트에 기록한 책 목록만 200여 권이다. 그의 대입 자기소개서에는 "남동생이 태어나면서 부모님이 나에게서 멀어진 뒤, 혼자 있는 시간에 유일한 친구가 책이었다"고 적혀 있다.

검정고시로 중학교를 졸업한 혜원이는 서울 송파구 오금동에 있는 오금고에 진학했다. 고교 2~3학년 동안 한 번도 전교 1등을 놓치지 않았다. 그러면서도 여름방학 때는 장애아동 특수 체육 보조 교사로 봉사했고, 공부에 어려움을 겪는 친구들을 위한 '또래 학습 멘토' 프로그램에 2년간이나 참여해 '눈높이 교육' 솜씨를 발휘했다. 혜원이의 고3 담임 고화윤(52) 선생님은 "공부를 잘한다고 자만하지 않았고 주변 친구들을 항상 돕는 헌신적인 학생이었다"며 "쉬는 시간에 '관성의 법칙'을 묻는 친구에게 의자를 끌어당기면서 직접 설명해주는 모습이 인상적이었다"고 했다. 혜원이는 "동생과 친구들이 스승이었다"고 했다. 가르치려면 확실히 알아야 했기에 더 깊게 공부할 수밖에 없었다는 것이다.

고교 시절 컴퓨터 동아리를 만든 혜원이의 꿈은 컴퓨터 프로그래머다. 한 프로그래머의 책에 나온 '조물주가 되어 창조하는 즐거움은 소프트웨어 개발자만이 누릴 수 있는 특권'이라는 구절이 그를 사로잡았다. 다섯 대학에 합격한 혜원이는 서울대 컴퓨터공학과를 택했다. 혜원이는 "가상현실을 이용해 동생처럼 발달 장애가 있는 친구들이 언어 능력과 사회성을 키울 수 있는 학습 프로그램을 만들 것"이라고 말했다.

프리미엄조선

Happy New Year - Auld Lang Syne by Sissel

Auld Lang Syne

1절

Should auld acquaintance be forgot,

and never brought to mind ?

Should auld acquaintance be forgot,

and auld lang syne?

(후렴)

For auld lang syne, my jo,

for auld lang syne,

we’ll take a cup o’ kindness yet,

for auld lang syne.

2절

And surely ye’ll be your pint-stowp !

and surely I’ll be mine !

And we’ll tak a cup o’ kindness yet,

for auld lang syne.

3절

We twa hae run about the braes,

and pu’d the gowans fine ;

But we’ve wander’d mony a weary fit,

sin auld lang syne.

4절

We twa hae paidl’d i' the burn,

frae morning sun till dine ;

But seas between us braid hae roar’d

sin auld lang syne.

5절

And there’s a hand, my trusty fiere !

and gie's a hand o’ thine !

And we’ll tak a right gude-willy waught,

for auld lang syne.

강소천이 역사한 한국어 가사는 다음과 같다.

1절

오랫동안 사귀었던 정든 내 친구여

작별이란 웬 말인가 가야만 하는가

어디간들 잊으리오 두터운 우리정

다시 만날 그날위해 노래를 부르네

2절

잘가시오 잘있으오 축배를 든손에

석별의 정 잊지못해 눈물만 흘리네

이자리를 이마음을 길이 간직하고

다시 만날 그날 위해 노랠 부르자

AMAZING GRACE & AULD LANG SYNE-ANDRE RIEU-BERLIN ORCHESTRA

한글은 떼고 입학해야 하나요? 수학은 어느 정도 하면 되나요?

'한글을 뗀다'는 것은 참 정의하기 어려운 일입니다. 어른들도 한글을 정확히 사용하는 것을 어려워하는데 아이들은 훨씬 더하겠지요. 가끔 학부모님들로부터 이런저런 설문이나 글을 받아 보면 거기에도 맞춤법이 틀린 경우가 꽤 많답니다. 그래도 의미 전달은 되니까 다행이지요.

순전히 교사 입장에서 보면, 아이들의 한글 해득 수준이 다들 비슷했으면 좋겠다는 생각을 합니다.

그러나 사정이 어디 그런가요? 초등학교 3학년 교실에 가도 문제 없을 만한 아이들이 있는가 하면, 유치원을 조금 더 다니고 와야 할 아이들도 함께 섞여 있기 마련이지요. 요즘 대부분의 아이들은 어린이집과 유치원에서 미리 많은 것을 배우기 때문에 한글을 대충 어느 정도 익히고 초등학교에 입학합니다.

반드시 정해진 것은 아니지만 대략 학교에서 요구하는 한글 해득 수준은 동화책을 천천히 읽을 줄 알고, 소리 나는 대로 쓰더라도 한글의 자음과 모음을 글자답게 쓸 수 있으며, 자기가 하고 싶은 말을 짧게라도 구성해서 말할 줄 아는 정도면 됩니다.

이 수준이면 학교 공부를 따라가기에 큰 무리가 없습니다. 물론 이것은 평균적인 수준을 말하는 것이고, 실제로는 이보다 능숙하거나 훨씬 못 미치는 아이들이 많습니다. 주변 여건에 따라 학교별 평균 수준도 많은 차이가 있을 것이고요.

학교에서는 아이들을 평균적인 수준으로 가르치면서 게임을 많이 활용하고 있습니다.

한글을 깨치고 들어온 아이들에게 교과서 첫머리에 나오는 'ㄱ', 'ㄴ'을 가르치면 재미없어 합니다.

그래서 낱말을 만드는 놀이나 더 나아가서는 문장을 자연스럽게 만드는 연습을 시키죠. 글자를 읽고 쓰는 것을 어려워하는 아이들은 자음과 모음의 결합 원리부터 가르쳐줍니다. 그러면 약간의 차이는 있더라도 대부분의 아이들은 초등학교 1학년이 달성해야 할 수준에 도달하게 됩니다. 그렇기 때문에 아이가 한글을 잘 읽거나 쓰지 못한다고 지레 걱정할 필요는 없습니다. 1학년이 끝나갈 무렵에는 거의 비슷해지니까요.

수학도 미리 많이 준비하고 올 필요는 없습니다.

아이들이 1학년에 들어와서 배우는 수학 내용은 숫자부터 시작됩니다.

한 학기 내내 10이 되는 더하기와 빼기, 여러 가지 모양과 규칙, 50까지의 수와 덧셈, 뺄셈을 배웁니다. 따라서 숫자를 50까지 읽고 쓸 수 있으며, 생활에서 말하는 물건의 단위를 알고 있는 정도면 됩니다. 그런데도 어떤 아이들은 구구단까지 외워 와서 자랑을 하죠. 구구단은 2학년에 올라가 배우는 것이므로 구구단을 외우게 해 학교 공부에 벌써부터 질리게 할 필요는 없습니다. 1학년 때 필요한 수에 대한 공부는 생활에서 숫자를 아는 정도면 충분하니까요.

다시 한 번 강조하지만, 집에서 책을 많이 읽고 부모님과 끊임없이 대화를 나누며 공부한 아이들은 학습능력이 빨리 향상됩니다. 그러나 부모님이 공부하라고 지겹게 강요한 아이들은 다 아는 것이라며 학교에서는 놀고 집에 가서 공부합니다. 이렇게 뒤바뀐 생활을 하게 할 바에야 차라리 아무것도 가르치지 않은 아이들이 학교생활에 훨씬 잘 적응할 뿐만 아니라 학습에서도 탁월한 능력을 발휘합니다. 넘치는 것보다는 조금 부족한 것이 낫습니다.

저자 : 이현진

출판사 : 예담프렌드

『초등1학년 365일』은 취학 전 준비부터 아이가 초등학교에 입학한 후 1년 동안 학교생활을 원만히 해나가는 데 꼭 필요한 실질적인 내용들을 담았다. 저자는 20년차 현직 초등학교 교사이자 10년 넘게 초등 저학년만 지도해온 이현진 선생님. 초등학교 2학년 아이의 엄마이기도 한 저자는 자녀를 초등학교에 입학시키면서 생각하고 느낀 점을, 교사로서뿐만 아니라 학부모의 입장에서도 이야기해주고 있어 더욱 공감 가는 부분이 많다.

프롤로그_ 내 아이의 첫 입학, 어떻게 준비할까?

제1부 입학 준비부터 겨울방학까지 정말 궁금한 초등 1학년

12월 아이가 아직 어린데 입학을 늦추는 것이 좋을까요?
1월 학교생활을 잘하기 위해서는 어떤 생활습관이 필요한가요?
2월 한글은 떼고 입학해야 하나요? 수학은 어느 정도 하면 되나요?
3월 아이가 학교에 가기 싫다고 하는데 어떻게 해야 할까요?
4월 친구들과 잘 지낼지 걱정이 돼요. 아이가 따돌림을 당하면 어쩌죠?
5월 그래도 ‘스승의 날’인데 뭔가 선물을 해야 하지 않을까요?
6월 교과 공부를 위해 문제집과 학습지를 시켜야 하지 않을까요?
7월 첫 방학을 어떻게 보내야 하나요?
8월 아이가 방학 내내 TV와 게임에만 빠져 있는데 어떻게 할까요?
9월 집과 학교에서 다른 태도를 보이는 아이, 어떻게 해야 하나요?
10월 건전한 또래 문화 대신 이상한 유행에 빠져 있는데 어쩌죠?
11월 아이가 통 책을 읽지 않으려고 하는데 방법이 없을까요?
12월 영어는 언제 시작하는 것이 좋을까요?
1월 2학년 국어와 수학 공부를 미리 해두어야 할까요?
2월 2학년 학급 배치는 어떻게 이루어지나요? 또 담임선생님은요?


제2부 우리 아이 1학년 365일 궁금 키워드

입학 준비기 11월~1월
학교에 맞는 올바른 생활습관을 들이는 때입니다
공립, 사립, 국립초등학교 중 어디를 보내는 것이 좋을까요? | 입학을 걱정하는 아이에게 학교생활에 대해 어떻게 이야기할까요? | 아이가 조숙한 편인데 조기 입학은 어떨까요? | 신입생 예비소집일인데 어떻게 해야 하나요? | 학교생활을 잘하기 위해서는 어떤 건강관리가 필요할까요?

입학 직전 2월
학부모로서 만반의 준비를 갖출 때입니다
입학식 행사는 어떻게 진행되나요? | 학용품이나 일상용품은 어떤 것을 준비하면 좋을까요? | 1학년도 시험을 보나요? | 방과후학교의 부서로는 무엇을 선택하는 것이 좋을까요? 방과후학교는 꼭 해야 하나요? | 맞벌이 부부라서 아이가 학교에서 돌아온 후가 걱정인데 ‘돌봄교실’이나 ‘방과후교실’은 어떻게 이용하나요? | 유치원처럼 소풍도 가나요? | 학부모가 학교에 방문해야 할 때는 언제인가요? | 학부모가 참여할 수 있는 단체로는 무엇이 있나요?

입학 직후 3월, 4월
학교와 선생님을 좋아하게 만들어야 할 때입니다
아이가 학교생활에 잘 적응하게 하려면 어떻게 해야 하나요? | 알림장 등 준비물 관리를 어떻게 도와주어야 하나요? | 아이가 아픈데 학교에 보내지 않아도 되나요? | 가족여행을 가려고 하는데 결석을 해도 괜찮을까요? | 토요휴업일과 학교자율휴업일은 무엇이지요? | 화장실을 자주 가는 아이인데 학교에서 실수하지는 않을까요? | 우리 아이는 행동이 느린데 어떻게 해야 하나요? | 아이가 부산하고 주의력이 부족한데 어떻게 해야 하나요? | 점심 급식은 어떻게 이루어지나요? 아이가 편식을 하면 어떻게 하죠? | 짝꿍은 어떻게 정하나요? 아이가 짝을 싫어하는데 방법이 없을까요? | 아이가 친구들과 싸우고 왔어요 | 학교에서 친구가 밀어서 다쳤는데 어떻게 대처해야 하나요? | 다른 반 담임선생님과 자꾸 비교가 될 때는 어떻게 해야 할까요? | 선생님과 상담을 하고 싶은데 먼저 요구해도 되나요?

학교생활에 적응했다 싶은 5월, 6월
공부에도 관심을 갖기 시작할 때입니다
선생님이 학교에 오라고 은근히 무언의 압력을 넣는데 어떻게 해야 하나요? | 선생님께 매를 맞았을 때는 어떻게 할까요? | 어린이날, 학급 친구들에게 선물을 하는 것이 좋을까요? | 아이들이 받는 상으로는 어떤 것이 있나요? 시상은 공정한가요? | 매일 물건을 잃어버리고 오는데 좋은 방법이 없을까요? | 성교육은 어떻게 시키는 것이 좋을까요? | 아이가 자신 있게 발표하고 바른 수업태도를 갖게 하려면 어떻게 해야 할까요? | 글씨가 엉망인데 예쁘게 쓰는 법을 가르쳐야 하나요? | 받아쓰기도 따로 공부시키는 것이 좋을까요? | 일기는 어떻게 쓰게 하는 것이 좋을까요? | 미술학원에 다니면 효과가 있나요? | 피아노를 배우는 것이 좋을까요? | 한자도 가르쳐야 할까요?

여름방학 7월, 8월
부족한 점들을 보완하면서 2학기를 준비할 때입니다
여름이라 더울 텐데 학교에 냉방 시설이나 식수는 준비되어 있나요? | 우리 아이가 학급에서 대충 몇 등 정도나 하나요? | 학교생활통지표는 어떻게 보면 되나요? | 입학 후 첫 방학인데 어떤 계획을 세워야 하나요? | 요즘 방학숙제는 어떤 것이 나오나요? | 방학 중 체험보고서는 어떻게 쓰는 것이 좋을까요? | 방학 동안 친구 집에 가서 자는 것이 괜찮을까요?

2학기 9월∼12월
학습에 대한 집중력을 기를 때입니다
집에서는 잘하는데 학교에서 보는 시험은 왜 자꾸 틀려올까요? | 우리 애가 똑똑한 것 같은데, 학습장애가 있다면 어떻게 하지요? | 국어, 수학 말고 통합교과는 성적이 어느 정도인지 어떻게 알 수 있나요? | 글짓기 학원이나 속셈 학원에 보내야 할까요? | 운동회나 학예발표회 연습이 수업에 지장을 주지는 않나요? | 2학기가 되었으니 이제 학교 과제물을 혼자 해결하게 하는 것이 좋을까요? | 아이가 계속 눈을 깜박이고 코를 씰룩이는데 어떻게 고쳐주어야 하나요? | 아이가 몸이 약한데 어떻게 해야 하나요?

겨울방학 1월, 2월
남은 초등학교 5년을 준비하는 중요한 시기입니다
겨울방학을 어떻게 보내면 좋을까요? | 겨울방학에는 학습 면에서 어떤 점을 보충해야 할까요? | 생활면에서 어떤 점을 보충해야 할까요? | 예체능과 체험활동 면에서 어떤 점을 발전시켜야 할까요? | 2학년이 되기 전 겨울방학 중에 가급적 읽어두어야 할 책이 있나요? | 2학년이 되면 1학년과 비교해 무엇이 달라지나요?


제3부 꼭 알고 넘어가야 할 과목별 학습 내용

과목별 학습 내용 1 3월 학교생활 적응기에 무엇을 배우나요?
3월에 무엇을 배우나요? | 3월 학교생활 적응기, 이것만은 꼭! | 3월에 필요한 준비물

과목별 학습 내용 2 국어 시간에 무엇을 배우나요?
국어 시간에는 무엇을 배우나요? | 국어, 여기까지는 꼭! | 미리 보는 국어 준비물

과목별 학습 내용 3 수학 시간에 무엇을 배우나요?
수학 시간에는 무엇을 배우나요? | 수학, 여기까지는 꼭! | 미리 보는 수학 준비물

과목별 학습 내용 4 통합교과 시간에 무엇을 배우나요?
통합교과 시간에는 무엇을 배우나요? | 통합교과, 여기까지는 꼭! | 미리 보는 통합교과 준비물


제4부 학부모를 돋보이게 하는 부모십계명

부모십계명 1 선생님을 믿고 도와주세요
부모십계명 2 아버지도 교육에 동참하세요
부모십계명 3 부모의 욕심을 접으세요
부모십계명 4 아이가 학교생활에 잘 적응하도록 도와주세요
부모십계명 5 칭찬을 많이 해주세요
부모십계명 6 사랑을 절제하세요
부모십계명 7 아이 싸움은 그냥 아이들 싸움으로 놔두세요
부모십계명 8 아이가 답답해도 기다려주세요
부모십계명 9 아이와의 갈등은 빨리 해결하세요
부모십계명 10 I message로 표현하세요

부록 1학년 1학기 교과서에 수록된 원문도서
1학년 2학기 교과서에 수록된 원문도서
2학년 1학기 교과서에 수록된 원문도서
[교보문고 제공]

창의력 길러주는 세계수학올림피아드대회(WMO)

팀워크로 문제 풀어나가는 과정 중시

지난 7월 2014 세계수학올림피아드대회(WMO)에서 학생들이 풍선인형을 타고 수학 문제를 푸는 모습.

6명이 막대기 모양의 풍선인형을 함께 타고 달려가 수학 문제 풀기, 콜라 병에 음료수 캔을 세워 이를 수학·과학적으로 표현하기….

지난 7월 21~22일 싱가포르 SIM대학에서 열린 2014 세계수학올림피아드대회(WMO)에서 제시된 문제 형태다.

협력활동 결합된 수학 문제 출제

WMO협회가 주최하고 중국 교육부 산하 CNC교육발전센터가 주관한 이 대회엔 우리나라를 포함해 중국·싱가포르·말레이시아·인도네시아 5개국 초·중학생 200여 명이 참가했다. 이 대회에서 CMS가 선발한 한국팀 10명이 모두 금·은·동상을 휩쓸었다. 단체전에서 모두 1위를 차지했다.

WMO는 여느 경시대회와는 다르다. 개인의 문제풀이 능력이 아니라 팀의 협업 능력을 중요하게 평가한다. 서로의 장점과 아이디어를 결합해야 해결할 수 있는 과제를 제시한다. 이 때문에 학생들은 국적이 다르고 언어가 달라도 문제 해결에 필요한 수학적 사고력을 발휘하는 데 있어선 교집합을 이뤘다.

2014 WMO는 개인전과 단체전으로 진행됐다. 개인전은 지필고사 형식으로 진행됐다. 지필고사 문제는 간단한 응용력부터 고난도까지 고루 출제됐으며 서술형 문제 8개 문항도 제시됐다. 단체전은 5~6명씩이 한 조가 돼 3개 과제를 수행한다. 이 가운데 풍선인형을 타고 문제 풀기처럼 문제와 활동이 결합된 과제가 인기가 높다.

은상을 받은 김강현(서울 성신초 6)군은 “해결 방법을 찾는 과정이 힘들면서도 재미있었다”며 “협동이 문제를 푸는 열쇠여서 수학에서도 친구들과의 소통이 필요하다는 게 놀라웠다”고 말했다.

각국 수학 영재들 교류의 장

WMO는 교류의 장도 제공한다. 언어와 국적이 다른 수학 영재들이 만나 친구가 되는 자리를 선사한다. 이날 5개국 학생들은 자신들의 재능을 선보이는 장기자랑 자리를 갖고 함께 사진을 찍으며 서로의 문화를 이해하는 시간을 보냈다. 한국팀은 뮤지컬 ‘난타’를 응용해 컵으로 연주하며 춤추고 노래하는 ‘컵타’를 공연해 인기를 끌었다.

WMO 조직위원회 부위원장인 이충국 CMS 대표는 “필기고사 점수가 학생들의 잠재력과 가능성을 모두 평가하던 시대는 지났다”며 “혼자서는 풀지 못하는 어려운 문제라도 여럿이 아이디어를 모으면 해결할 수 있다는 점을 깨닫는 것도 이 대회의 목적”이라고 말했다. 그는 이어 “이는 의사소통·친화·인내심·협동 등 비인지적 능력도 수학 문제를 푸는 도구가 될 수 있음을 알려준다”며 “외국에 비해 발명이나 창의력 대회가 아직 안착되지 않은 우리나라에서 WMO가 창의력을 심어주는 계기가 되도록 발전시켜 나갈 것”이라고 덧붙였다.

WMO 아시아대회는 내년 2월에 우리나라에서 열릴 예정이다.
중앙일보

바른 수학공부를 위한 4단계 사고

초등생 자녀 수학공부의 중요한 목표 중 하나는 문제 해결 능력을 키우는 것이다. 여기서 ‘문제 해결 능력’이란 문제를 분석하고 해결 전략을 세울 수 있는 능력을 말한다. 흔히 초등생 자녀들이 단원별 수학 문제집의 문제를 모두 풀 수 있는데도 학교 수학시험에서는 100점을 못 받는 이유가 바로 이 문제 해결 능력이 부족하기 때문이다.

개념이나 공식을 공부한 후 바로 적용해서 답을 구하는 문제를 푸는 학습으로는 문제 해결 능력을 키울 수 없다. 완벽한 수학실력을 완성하기 위해서는 바른 수학공부법을 익혀야 한다. 즉, 문제를 해결할 수 있는 전략을 스스로 세움으로써 어떤 문제 앞에서도 당당할 수 있도록 공부해야 하는 것이다.

문제분석→해결전략수립→풀이실행→반성

㈜미래엔이 발행한 ‘문제 해결의 길잡이’는 초등생 자녀가 바른 수학공부법을 익힐 수 있도록 문제를 해결하는 4단계 사고 과정을 제시한다. 문제 해결의 길잡이에 나온 4단계 사고 과정을 소개한다.

1단계는 문제 분석(읽고 이해하기)이다. 문제를 정확히 이해하는 단계인데, 문제를 풀기 전에 문제에 주어진 조건은 무엇인지, 구하려는 것이 무엇인지 파악해야 한다. 문제를 정확하게 분석하기 위해서는 문제를 소리 내어 읽거나, 문제를 쉽게 풀어서 말해보는 것도 도움이 되므로 초등생 자녀가 이 방법을 통해 문제를 이해할 수 있도록 유도하자.

2단계는 해결 전략 수립(풀이 계획하기)이다. 문제의 풀이 계획을 수립하는 단계. 구하려는 것을 얻기 위해 어떤 계산을 할지, 그림이나 표를 어떻게 사용할지 계획해야 한다. 하지만 초등생 자녀가 이러한 계획을 세우기는 쉽지 않다. 그래서 ‘문제 해결의 길잡이’에서는 식을 만들어 해결하기, 그림을 그려 해결하기 등 계획 수립을 돕기 위한 8가지 기본 해결 전략을 소개하니 참고해보자.

3단계는 풀이 실행(차근차근 풀이 과정 전개하기)이다. 앞에서 세운 계획을 실행하는 단계로, 문제를 풀어 보는 것이다. 이때 식을 잘 세우고, 계산 과정에서 틀리지 않게 풀이 과정을 차근차근 쓰는 것이 중요하다.

4단계는 반성(풀이 과정 다시 검토하기)이다. 풀이에서 얻은 결과를 확인하는 단계. 계산에서 틀린 곳은 없는지, 구하려는 것은 옳게 찾았는지, 단위는 바르게 썼는지 살피고 최종 답을 찾아야 한다. 이때 ‘다른 해결 방법은 없을까’ 하고 생각해봄으로써 창의력을 향상시키는 과정을 거치도록 한다.

‘문제 해결의 길잡이 원리’ 학년용을 학기용으로

‘문제 해결의 길잡이’는 실생활에서 접할 수 있는 수학의 개념과 원리를 문제에

적용해 창의적인 수학 문제 해결력을 키우는 데 도움을 주는 자기주도 학습서. 개편 출시된 ‘문제 해결의 길잡이 원리’의 경우 이전에 ‘학년용’으로 나오던 문제집을 두 학기로 나눠 ‘학기용’으로 새롭게 제작했다. 각 학기에 배우는 수학 단원 내용과 연계한 내용을

다뤄 학생들이 편리한 학습을 할 수 있도록 했다.

동아일보

짧아진 자기소개서 ‘키워드’ 뽑아 강점 어필”

2015학년도 합격생이 전하는 외고·과학고 자기소개서·면접 준비법

2015학년도 경기 수원외고와 경기북과학고 입시에 각각 합격한 경기 서원중 3학년 엄채린 양(왼쪽)과 경기 망포중 3학년 이소정 양. 자기소개서 작성 노하우에 대해 “키워드를 꼽고 핵심소재로 항목을 묶어 서술하면 자신의 강점을 효과적으로 드러낼 수 있다”고 말했다.

2015학년도 외국어고 및 과학고 입시의 최종 합격자가 최근 발표되면서 특목고 입시가 마무리됐다. 올해 전국 31개 외고의 평균 경쟁률은 2.3 대 1, 전국 20개 과학고 평균 경쟁률은 3.7 대 1로 지난해(외고 1.9 대 1, 과학고 2.9 대 1)보다 높았다.

중학교 성취평가제(절대평가)가 적용되면서 상위권 학생들이 늘어나 더 많은 지원자가 나왔다는 분석이 있다. 기존 9등급이던 내신평가가 5등급으로 줄면서 내신 변별력이 줄고 자기소개서와 면접은 당락을 좌우하는 결정적 변수가 되었다.

엄채린(경기 서원중 3학년), 이소정 양(경기 망포중 3학년)은 이번 특목고 입시에서 각각 경기 수원외고(경쟁률 3.29 대 1)와 경기북과학고(경쟁률 6.83 대 1)에 합격한 예비 고교생. 두 고교는 각각 전국 외고와 과학고 중 가장 높은 경쟁률을 기록했다.

수원외고와 경기북과학고가 각각 ‘우수 합격생’으로 추천한 이들을 만나 자기소개서 작성과 면접 준비 노하우를 들었다.

핵심 소재로 ‘두 마리 토끼’ 잡아라

올해 특목고 입시에서 달라진 점은 자기소개서 분량이 크게 준 것. 과학고는 5200자 이내에서 3000자 이내로, 외고는 2300자 이내에서 1500자 이내로 줄었다.

자기소개서가 더 짧아지면서 역설적으로 수험생들은 자신의 강점을 드러내기가 더 어려워졌다. 무엇을 넣고 뺄지를 더 고민해야 하기 때문이다.

짧은 자기소개서로 자신을 어필하는 방법은 뭘까. 이 양은 ‘키워드’를 하나 꼽은 뒤 자기소개서의 모든 항목을 이 키워드로 관통시키는 전략을 세웠다. 그가 선택한 키워드는 ‘책’이었다.

이 양은 △지원동기와 학습계획 △수학활동 △과학활동 △인성활동으로 나뉜 4개 문항에 그동안 읽은 책 내용을 녹여 씀으로써 독서에 대한 높은 관심을 강조했다. 인성활동의 경우 모금운동 경험을 서술하면서 ‘자선단체 설립자에 관한 책을 읽고 가난한 아이들에게 미래를 만들어 주는 일이 소중하게 느껴졌던 그 순간이 떠오르면서 모금활동이 더욱 가치 있게 생각되었다’고 밝힘으로써 봉사활동과 독서를 연결지은 것이다.

지원동기, 학습계획, 진로계획, 인성활동 등 자기소개서에 반드시 포함되어야 하는 항목을 차례대로 열거하는 대신, 이 중 두세 개 항목을 묶어 하나의 소재로 관통시키는 방법도 짧고 효과적인 자기소개서 작성법. 엄 양은 과감했다. ‘영어토론동아리’란 소재로 지원동기와 학습계획을 묶어낸 것.

그는 ‘영어토론동아리 활동 중 영어로 자기 생각을 말하는 과정이 재밌어서 외국어 능력을 집중적으로 키우는 수원외고에 지원했으며, 동아리에서 배운 비판적 사고력을 더 함양하기 위해 수원외고에서 시행하는 토론수업에 적극 참여할 것’이라고 작성함으로써 ‘두 마리 토끼’를 잡았다.

‘평범’ 속 ‘비범’을 찾아라

자기주도 학습의 경험을 서술할 때 대부분의 지원자는 자기만의 학습법을 자랑하듯 열거한다. 중요한 것은 학습법이 아니라 학습 의지와 태도를 보여주는 것이다.

엄 양은 수업시간에 배운 사회 이슈들과 관련한 신문기사와 자료를 직접 찾아본 뒤 이런 사회적 문제점이 해결되지 않는 근원적 이유에 대해 친구들과 토론한 경험을 서술했다. 평소 학습에 의욕을 갖고 스스로 발전해나가는 모습을 생생하게 묘사함으로써 외고 진학 후에도 학습적으로 진화해나갈 것이란 자신의 잠재력을 드러낸 것.

성공적인 자기소개서는 자신의 특별한 활동이나 경험을 찾아내어 소개하는 것이 아니라, 자신의 일상적이고 소소한 습관이나 활동이 알고 보면 매우 특별하고 소중한 가치가 있음을 어필하는 데서 출발한다. 여기서 자기소개서의 진정성이 보장된다.

이 양이 그랬다. 수학·과학 활동내용으로 그는 북촌한옥마을에서 매듭 만드는 체험을 한 뒤 전통매듭에 얽힌 수학적 원리를 스스로 탐구해본 경험, 실험도구를 사서 집에서 전지의 전류출력량을 높이는 실험을 직접 해본 경험을 언급했다. 일상이 특별해지는 순간이었다.

면접은 ‘소통’이다

수원외고는 1단계에서 영어 내신성적을 바탕으로 면접 대상자를 선발하고 2단계에서 1단계 점수와 면접 점수를 합산해 최종 합격자를 가렸다. 그만큼 면접은 당락을 결정짓는 요소.

면접은 그 자체로 커뮤니케이션(소통) 행위다. 내가 말하는 나를 면접관이 이해하고 받아들이지 못한다면 실패인 것이다. 엄 양이 ‘자기 객관화’를 화두로 삼은 까닭도 여기에 있다.

먼저 엄 양은 면접관의 예상 질문을 머릿속에 떠올리며 답변하는 연습을 거울 앞에서 했다. 만족스럽지 않았다. 자신도 모르는 자신의 단점을 찾아내기 위해 친구들과 선생님 앞에서 면접 연습을 했다. 친구로부터 “말할 때 경직되어 보이고 웃지 않는다”는 지적을 받고는 밝게 웃으며 답하는 연습을 했다. 그래도 만족스럽지 않았다.

“말하는 제 모습을 카메라로 수십 번 찍어 다시 보며 점검했어요. 영상 속 저는 의외로 발음이 정확하질 않더라고요. 또렷하게 발음하는 연습을 하고 또 했어요.”(엄 양)

면접에서 넘어야 할 가장 높은 산은 ‘긴장’이다. 특히 과학고 입시 면접에선 수학·과학 역량을 알아보기 위해 중학교 교과내용만 제대로 알아도 답해낼 수준의 문제도 나온다. 긴장하면 이것도 어렵게 느껴진다.

면접에서 ‘이등변 삼각형을 이용해 삼각뿔 만들기’ ‘유리관을 뒤집어 압력 측정해보기’와 같은 특별히 어렵다고 볼 수 없는 질문을 받은 이 양이 긴장 없이 당당히 답변해냈던 것은 면접에 준하는 실전경험을 많이 쌓아왔기 때문이다. 그것은 바로 교내외 각종 수학·과학 경시대회.

“수상 실적을 자기소개서에 쓸 수 없다는 이유로 수학·과학 경시대회를 ‘필요 없다’며 아예 나가지 않는 친구들이 많아요. 크고 작은 대회와 행사를 가리지 않고 적극적으로 참여했던 경험이 면접에서 큰 힘이 되었어요. 난관에 부딪혀도 당황하지 않고 문제를 해결하려는 자세를 갖게 되었거든요.”

 동아일보

베이징 세인트폴 미국학교 美·中 교과과정 융합… 컬럼비아·브라운대 합격 성과

'컬럼비아대''브라운대''퍼듀대''맨체스터대''홍콩시립대''단국대''숙명여대''인하대'…. 중국 베이징 세인트폴 미국학교(Saint Paul American School·이하 SPAS)를 지난 6월 졸업한 32명의 대학 진학 결과다. 이들이 합격한 전 세계의 명문대는 100여 개교다. 한 학생당 평균 3건 이상 중복합격했다. 이들 중 한국 학생은 퍼듀대, 홍콩시립대, 단국대, 조지메이슨대 등에 우수한 성적으로 합격했다. 한국 학생만 밀착 관리하는 학업관리 교사 덕이다. 영어와 중국어를 동시에 배울 수 있는 글로벌 국제학교 SPAS의 교육과정을 살펴봤다.

맛있는유학 제공

SPAS의 교육은 미국식 커리큘럼과 중국 교과과정이 융합돼 있다. 미국 미네소타주(州) 세인트폴고등학교(Saint Paul Preparatory School)와 중국의 명문 베이징사범대 제2부속중학이 △공동 학사 운영 △상호 학점 인증을 합의해 지난 2007년 설립됐다. 평일 오전 8시부터 오후 4시까지는 미국 본교의 교육과정을 따른다. 교사진 26명은 모두 미국 본교에서 파견한 미국인이다. 수업은 5~15명 내외 소수 그룹형 수업으로 이뤄진다. 베이징사범대 제2부속중학의 중국인 교사는 방과 후 수업에서 중국어 교과과정을 가르친다. 매일 2시간씩 중국어를 배운다. 토요일에는 중국의 문화·역사·예술을 익히는 프로그램이 짜여 있다.

졸업생 대부분은 미국 등 전 세계의 명문대로 진학한다. 뛰어난 대입 실적은 미국 북중부학사인증위원회(NCA)로부터 지난 2010년 미국 내 고등학교와 동일한 자격을 인정받은 덕이다. NCA는 △학교시설 △교사진 △커리큘럼 △학생생활 관리를 수년간 검증했다. 학교는 대학 진로 진학 전담 교사 2명을 둬 재학생의 명문대 진학을 돕는다. 이에 필요한 토플(TOEFL), SAT(미국 대학입학자격시험) 수업이 방과 후에 이뤄진다.

교육 환경은 중국 베이징 내 최고 수준이다. 지난 2008년 베이징올림픽선수촌 내 캠퍼스로 확장·이전해 잔디운동장, 실내체육관, 국제규격 수영장 등 최신식 시설을 이용한다. 기숙사는 재학생의 95%를 수용한다. 2014년 12월 현재 7~12학년까지 280여명이 재학 중이다. 미국, 일본, 중국, 캐나다, 독일, 스페인, 러시아, 탄자니아 등 24개국에서 온 외국 학생이 전체의 75%에 달한다. 층마다 생활지도 교사가 24시간 학생의 생활 지도를 돕는다. 학부모는 온라인 학생관리시스템으로 실시간 학생의 △성적 △숙제 내용 △출석 등을 확인할 수 있다. 조선일보 

영어 생활화하고 토론·탐구… 진짜 공부를 배웠어요

국제적인 IB 프로그램 '장점'
체육·봉사 등 교내활동 다양

글로벌 인재를 국내에서 기른다. 지난 6월 제주영어교육도시(제주도 서귀포시 대정읍 소재)에서 첫 고교 졸업생을 배출한 ‘노스런던컬리지잇스쿨 제주’(North London Colle giate School Jeju·이하 ‘NLCS 제주’) 얘기다. 졸업생 54명 중 대부분이 옥스퍼드대, 스탠퍼드대, 예일대 등 해외 유명대에 진학했다. 국내 대학을 지망하는 학생들 역시 수시모집이 마무리되며 연세대 등 명문대 합격 소식을 전하고 있다. 글로벌 특성화학과인 연세대 ‘언더우드학부’‘글로벌융합공학부’에 합격한 졸업생 세 명이 그 비결을 전했다.

이경민 기자

참가자 소개(사진 왼쪽부터)
△김효정(18·연세대 언더우드학부〈생명과학공학〉 입학 예정)
△방지현(19·연세대 언더우드학부〈인문·사회〉 입학 예정)
△차순용(19·연세대 글로벌융합공학부 입학 예정)

Case 1｜차순용 "입학 3개월 만에 영어가 익숙해져"

차순용군은 2011년 NLCS 제주에 입학하기 전 외국에서 거주하거나 유학한 경험이 없었다. 처음에는 수업을 이해하는 게 어려웠다. 말하기는커녕 듣기조차 힘겨워 숙제를 못 하는 경우도 있었다. 차군은 기숙사 사감인 실라비어 박사(Dr. Shillabeer)와 친분을 쌓으며 영어 실력을 높였다.

"실라비어 선생님과 기숙사에서 자주 이야기를 나누고 요리도 함께했어요. 덕분에 영어가 자연스러워졌습니다. 딱 3개월이 지나자 수업 내용이 머릿속에 들어오더라고요. 꾸준히 에세이를 쓰면서 작문 실력도 높였고요. 3년이 지난 지금은 외국인과 편하게 대화할 정도입니다."

차군은 연세대 IT명품인재계열 전형에 합격한 이유로 IB 디플로마(국제 공통 대학 입학 자격)의 물리 수업을 꼽았다. 자기소개서, 우수성 입증자료 제출 등 1차 서류평가와 2차 구술면접에 고루 도움을 받았기 때문이다. 물리 수행평가는 '물''중력' 등 추상적인 주제에서 실험 목표를 세우고 보고서를 작성하는 것이었다. 그는 상자와 공, 가속도 감지기를 이용해 '중력 측정기'를 만들었다. 차군은 "스스로 생각하게 하는 수업이라 탐구력을 길렀다"고 말했다.

Case 2｜방지현 "선택과 집중하는 공부 덕에 심화학습해"

"제가 지원한 연세대 특기자전형(국제계열)은 서류평가에서 학교 내신과 학교생활기록부, 교사 추천서, 자기소개서만으로 장점을 드러내야 했습니다. 교과과정의 우수성 덕에 합격했다는 말이 과언이 아닙니다."

방양은 천생 문과 유형으로 경제, 역사, 영문학을 심화 공부했다. 수업은 토론 위주였고 숙제는 에세이로 제출하는 식이었다. 그는 "토론하거나 에세이를 쓰려면 배운 내용을 암기하는 게 아니라 훨씬 더 깊게 조사해야 했다"며 "시간과 노력이 많이 들었지만 그만큼 진짜 공부를 한다는 느낌이 들었다"고 말했다.

방양은 전 세계 각지에서 선발된 교사진 덕택에 진로 선택에 도움을 얻었다. 어느 대학에서 어떤 전공 공부를 할지 어려움을 겪던 지난해 여름방학 때였다. 그는 스페인어 중급을 가르치던 파울린(Paulin) 교사에게 대입 상담을 받았다. "선생님은 국제관계나 법, 경영 등 다양한 학위가 있었어요. 제 다양한 질문에 대답해 줄 수 있었죠. 덕분에 외국과 국내 대학에 모두 지원해 영국 런던정경대, 미국 UCLA, 홍콩대, 연세대, 성균관대 등에서 합격증을 받았습니다. 연세대에서 심층적으로 공부하고 싶은 분야를 찾고 외국에서 대학원에 진학할 계획입니다."

Case 3｜김효정 "다양한 교내활동으로 동기부여"

NLCS 제주에 입학하면서 기숙사 생활과 영국식 교육을 처음 경험한 김효정양은 금세 학교생활에 적응했다. 잘 갖춰진 학교 교과과정 및 우수한 교사진 덕이다. 학교는 △예술활동 △운동 △봉사활동에 일정 시간 이상 참여하게 한다. 처음에 김양은 의무 시간만 채웠다. 점점 배구, 연극, 생화학동아리, 해외기부 프로젝트 등에 자발적으로 참여하며 중요한 역할을 맡았다. 김양은 "매사에 소극적이고 부정적이던 성격이 바뀌었다"며 "건강한 생각이 깃들자 대학·사회생활을 기대하고 준비하게 됐다"고 말했다.

김양은 IB 과정에서 수학, 화학을 심화학습할 정도로 이공계열에 관심이 많았다. 생각을 표현하거나 글을 분석하는 데 약점이 있던 김양은 역사 교사인 맥넛(Mcnutt)씨에게 도움을 요청했다. "'20세기 독재자'를 주제로 에세이를 썼는데 맥넛 선생님께서 '의견이 부족하다'는 거예요. 아돌프 히틀러, 마오쩌둥에 대한 사실을 공부했다면 각 내용이 어떤 인과관계가 있는지 생각해 보라는 말이었죠. 에세이를 완성할 때까지 매일 교무실에 찾아가 조언을 구했습니다. 수시모집에 지원하기 전에도 3~4개월간 매주 한 번씩 국어 선생님께 자기소개서를 첨삭 받았어요."
2015년도 9월 학기 신입생 모집
NLCS 제주는 2015학년도 9월 학기 신입생 모집을 위해 내년 3월에 입학시험을 실시한다. 내년 1월 중순에 홈페이지(www.nlcsjeju.co.kr)에서 지원서를 내려받아 응시하면 된다. 모집정원 등 입학관련 문의는 전화하거나 홈페이지, 이메일을 통해 안내받을 수 있다.

●문의: (064)793-8004 admissions@nlcsjeju.kr

폰 질롱카 총교장이 말하는 명문 여자사립 브랭섬홀 아시아

과학·기술·공학·수학… '여자라서 안 되는 건 없다' 가르쳐"

1903년 설립된 브랭섬홀 캐나다는 전 세계에서 손꼽히는 명문 여자사립학교다. 보스턴컨설팅그룹이 선정한 세계 톱8 기숙학교에 선정되기도 했다. 2012년 제주영어교육도시에 둥지를 튼 브랭섬홀 아시아(Branksome Hall Asia, 제주 서귀포시 대정읍 구억리 613)는 브랭섬홀 캐나다의 유일무이한 자매학교다. 2015년에는 첫 졸업생 배출도 앞두고 있다. 베벌리 폰 질롱카(von Zielonka) 브랭섬홀 아시아 총교장에게 모두가 궁금해하는 학교 이야기를 들었다.

◇전 학년 IB 인증… 제주도 국제학교 가운데 유일
국제공통대학입학자격제도(International Baccalaureate, IB)는 미국 아이비리그나 영국 옥스브리지 등 세계 최상위 명문대가 선호하는 과정으로 유명하다. IB 과정을 운영하려면 스위스 IBO 본부의 인증을 받아야 한다. 브랭섬홀 아시아는 18개월 만에 PYP(Primary Years Program·초등교육과정), MYP(Middle Years Program·중등교육과정), DP(Diploma Program·고등교육과정) 모두 공식 승인을 받았다. 폰 질롱카 교장은 "전 교육과정을 IB 교육과정으로 운영하는 곳은 제주도 국제학교 가운데 브랭섬홀 아시아가 유일하다"고 말했다.

"IBO는 △교사의 선발 기준과 자질 △교사 연수 비용 예산 △소장 도서 목록 △교육 프로그램 적용·실행·활성화 정도 등을 엄격하게 평가합니다. 브랭섬홀 아시아가 공신력 있는 학교임을 보여주는 지표죠."

양질의 교육 과정은 입시 성과로 이어진다. 내년 졸업을 앞둔 브랭섬홀 아시아 12학년생 32명은 한국·미국·영국을 포함해 총 300곳의 해외 명문대에 원서를 냈다. 영국 케임브리지대나 미국의 컬럼비아대·다트머스대 등 세계 최고 명문대에서 입학 허가를 받았거나 면접이 진행 중이다. 제주도특별법에 따라 다른 국제학교와 달리 브랭섬홀 아시아에는 해외 거주 경험이 없는 학생도 입학 가능하다. 국내 학력도 인정되기 때문에 졸업 후 국내 대학으로 진학할 수도 있다.

◇여학생만을 위한 독보적 교육 과정
브랭섬홀 아시아는 영·유아 대상 과정부터 한국의 고 3에 해당하는 12학년까지 전 학년 과정을 운영한다. 이 가운데 4학년부터 12학년까지는 오직 여학생만 다닐 수 있다. 폰 질롱카 교장은 "여학교 학생이 남녀공학에 다니는 여학생보다 뛰어난 학업 성과를 거둔다는 연구 결과가 많다"며 "우리는 '여학생에게도 불가능은 없다'는 점을 가르치기 위해 애쓴다"고 말했다.

"여학생은 대개 이공계 분야 공부를 어려워합니다. 그래서 우리는 재학생이 'STEM-V'에 관심을 갖도록 지도하죠. 과학(Science)·기술(Technology)·공학(Engineering)·수학(Math)·시각예술(Visual Arts)의 앞 글자를 딴 것입니다." 이 밖에도 재학생을 다양한 과목·분야에 노출해 흥미를 느끼는 지점에 매진하도록 돕는 분위기도 조성됐다. 책임감·독립심·도전의식은 브랭섬홀 아시아식 교육의 키워드다.

◇'세계 톱8 명문학교' 캐나다 본교와 지속적인 교류
지난 4일 그랜드하얏트 서울 호텔에서는 캐런 쥬레브치(Jurjevich) 브랭섬홀 캐나다 총교장 등이 방한해 '브랭섬홀 동문'이 누릴 수 있는 혜택을 설명하는 자리가 마련됐다. 111년 전통을 자랑하는 세계 일류 명문사립학교답게 인적 네트워크 또한 풍부하다.

제주영어교육도시 내에 위치한 브랭섬홀 아시아(아래 사진)에서는 여학생의 자신감을 길러주기 위한 다양한 교육 과정이 마련됐다. /브랭섬홀 아시아 제공

브랭섬홀 아시아 재학생은 9학년이 되면 누구든 캐나다 본교와 진행하는 교환학생 프로그램에 참가하게 된다. 이 '그레이드 9 익스체인지 프로그램(The Grade 9 Exchange Program)'은 내년이면 벌써 네 번째를 맞이한다. "9학년 학생은 모두 캐나다 온타리오주 토론토에 있는 본교에서 생활하며 새로운 문화를 온몸으로 흡수하게 되죠. 통합적 사고를 통해 현실 속 문제를 직접 해결해 보는 리더십 캠프 등 다채로운 프로그램도 마련됐습니다. 토론토에서 누릴 수 있는 즐거움의 극히 일부지만요"(웃음).

세계 톱8 명문 여자사립학교 브랭섬홀 캐나다의 유일한 자매학교인 브랭섬홀 아시아가 입학설명회를 개최한다. 참가 신청은 온라인을 통해 가능하며 선착순 마감된다.

●일시: 2015년 1월 31일(토) 오전 10시 30분
●장소: 라마다 서울호텔 지하 1층 바흐홀(서울 강남구 삼성동)
●예약: events.branksome.asia

발명이란?

• 경제가 발전하면서 인간의 지적활동의 결과로 얻어지는 문학, 예술 및 과학 작품 등과 같은 형태가 없는 결과물에 대해 법으로 보호받는 권리를 지적재산권이라고 합니다. 지적재산권은 크게 저작권, 산업재산권, 신지적 재산권으로 나눌 수 있습니다. 살펴볼까요?

산업재산권제도와 발명은 어떤 관계이며 왜 필요할까요?

• 발명이란 자본투자, 인력투자, 연구노력에 의하여 나온 인간의 지적창작물로서 이용할 수 있는 새로운 기술을 말합니다. 이러한 발명은 어떠한 특정한 제도에 의하여 적절히 보호되지 않는다면, 발명자는 다른 사람들이 모방할까봐 그 발명을 공개하는 대신 비밀로 하여 자기만이 그것을 활용하거나 아예 발명하고자 하는 의욕을 잃을 수도 있습니다.
• 새로운 기술인 발명을 공개한 사람에게 그 공개의 대가로서 발명에 대한 소유권을 주어 그 발명을 적절히 활용할 수 있도록 하는 것이지요. 발명가가 기업을 창업할 수도 있고, 다른 사람이나 다른 기업에 돈을 받고 소유권을 넘겨줄 수도 있으며 여러 사람이 공개된 기술을 더 연구하여 보다 높은 기술을 유도할 수도 있습니다. 이러한 발명소유권을 일정기간 동안 인정해 주고 보호해 주는 제도가 바로 산업재산권 제도입니다.
• 특허
  • 아직까지 없었던 물건(제품, 재료) 또는 방법(제조방법, 특정 용도로 사용하는 방법 등)을 최초로 개발한 발명자에게 주어지는 권리 (대(大)발명)
  • 전화기가 없던 때 전자를 응용하여 전화기를 처음으로 생각해 낸 것과 같은 발명. 전 세계적으로 새로운 것으로 기존의 것보다 한층 진보되고 산업적으로 이용할 수 있는 것(그레함 벨-전화기, 에디슨-전구 등)
  • 특허권의 보호기간 : 출원일로부터 20년간
• 실용실안
  • 이미 발명된 물건의 실용적 가치를 높이기 위해 새로운 아이디어로 모양이나 구조를 개선한 발명자에게 주어지는 권리 (소(小)발명)(물건의 제조방법이나 사용법은 해당 안 됨)
  • 송화기와 수화기가 분리되어 있는 것을 합쳐서 편리하게 한 것과 같은 발명 (지우개 달린 연필, 6각형 연필 등)
  • 실용신안권의 보호기간 : 출원일로부터 10년간
• 디자인
  • 물품의 형상, 모양이나 색채 또는 이들을 결합한 것으로써 시각을 통하여 아름다운 느낌을 가질 수 있도록 한 디자인을 만든 사람에게 주어지는 권리(새롭고, 창작적, 공업상 이용 가능한 것) 2005. 7. 1.의장에서 명칭 변경 사용됨
  • 둔탁한 모양의 탁상전화기를 보다 간편하고 맵시 있는 디자인으로 바꾼 것
  • 성냥갑처럼 각이진 자동차를 유선형으로 바꾸어 세련된 모양으로 개선한 것
  • 디자인보호법의 보호기간 : 등록일로부터 15년간
• 상표
  • 자기 상품의 신용을 유지하고, 자기 상품을 다른 상품과 구별하기 위해서 제품 또는 포장에 사용하는 상호나 마크 (기호, 문자, 도형, 입체적 형상 또는 이들을 결합 및 색채를 결합한 것으로 기업의 이름이며 얼굴)
  • 상표권의 존속기간 : 등록일로부터 10년간 (계속 연장 가능)

저작권

• 예술, 문학, 음악 등의 발전이 목적입니다. 요즘 가요계에서 다른 나라나 다른 사람이 작곡한 노래를 자기가 작곡한 노래인 것처럼 하여 문제가 되는 경우 많지요. 바로 이런 경우 본래의 작곡가가 갖는 권리가 저작권입니다.(Copyright)

신지적재산권

• 최근 정보기술 등 첨단기술의 급속한 발달에 의하여 출현한 새로운 지적창작물들은 기존의 산업재산권과 저작권으로는 보호가 어려워 새로 생겼습니다. 컴퓨터 소프트웨어권, 반도체 보호권, 영업비밀, Data-Base 보호권 등이 있습니다.

무엇을 발명했을까요?

• 어떤 사람이 너무 많이 일을 하다가 신경통에 걸리게 되었습니다. 병원에 가서 진찰을 해 본 결과 의사가 스케이트를 열심히 타면 좋다고 하였습니다. 그 후 스케이트를 열심히 타서 몸이 많이 좋아 졌으나 여름에는 탈수가 없었습니다. 고민을 하던 어느 날 길가에서 어린아이가 고무바퀴가 달린 자전거를 타면서 놀고 있었습니다. 순간 머리가 번쩍이고 있었습니다. 무엇을 발명하였을까요?

발명을 위한 기본 방법

• • 1. 무엇인가 찾아서 메모하자.
    • 인간의 기억력은 그리 길지 못하다. 이 모순점을 해결하기 위한 가장 좋은 방법이 메모지에 기록해 놓는 것이다. 세계적으로 유명한 에디슨, 링컨, 루즈벨트, 우장춘 박사 모두 다 메모광이었다. 메모를 습관화시켜야 조직적으로 많은 일을 할 수 있다.
  • 2. 왜 그럴까? 다른 방법은 없을까? 라는 의문점을 가지자.
    • 모든 상품이나 자연을 관찰할 때 한 가지 이상 의문점을 품고 그것을 해결함으로써 더 발달된 사고가 나오기 때문이다. 카메라는 우리 눈과 구조가 거의 비슷하게 만들어졌다. 자연을 응용하여 만든 상품이 매우 많다. 풀잎의 물방울을 보고 렌즈를 만들지 않았을까?
  • 3. 분해 작업을 시작하라.
    • 발명품은 머리로 만드는 것이 아니고 손으로 만드는 것이다. 못쓰게 된 물건을 분해하여 다른 곳에 사용처가 없는가 조사해 보고 버리자. 못 쓰는 물주전자로 물조리를 만들지 않았는가?
  • 4. 침착하게 조언자의 말을 귀담아 들어라.
    • 아무리 하찮은 발명품이라고 혹평을 하더라도 침착하게 그 사람의 말을 들어주면 좋은 아이디어가 나오게 된다. ‘이미 나와 있어, 그것은 안 돼’ 라는 것 속에 알파를 더하라!
  • 5. 과학적인 공상을 많이 하고 그림으로 나타내어라.
    • 옛날 만화나 공상과학영화에 구름 잡는 듯한 이야기가 오늘날에는 현실로 되고 있다. 공상을 현실화 시켜라!
  • 6. 제일 잘 안되고 불편한 점을 찾아라.
    • “궁하면 생긴다.” 라는 말이 있다. 조금 부족하고 가난한 사람이 발명을 잘하는 이유도 여기에 있다. 일을 하다가 「이것이 불편하다. 잘 안 된다.」 하는 점을 빨리 메모하였다가 해결책을 연구하는 것이 가장 빠른 성공의 지름길이다.
  • 7. 긍정적으로 생각하고 할 수 있다는 것을 믿어라.
    • 문제점을 해결해 나가다가 어려움이 닥치면 “불가능이란 없다”는 신념을 가지고 일에 임하라! 천재와 바보는 백지 한 장 차이 뿐이다. 노력하면 얼마든지 타개해 나갈 수 있다.
  • 8. 현 위치에서 문제를 찾아라.
    • "행복은 저 멀리 있는 것이 아니고 바로 자기 옆에 있다." 라는 말이 있다. 아이디어도 마찬가지로 자기 주위로부터 시작해야 된다. 불로장생약을 만드는 것은 불가능하다. 가까운 것부터 먼저 시작하라!
  • 9. 남보다 먼저 계획하고 실천하라.
    • 발명을 하다 보면 주위에서 “그건 나도 생각했었는데”라는 말을 많이 듣는다. 생각은 자유이다. 그러나 행복을 가져다주지는 못한다. 계획과 동시에 실천하라!

발명 아이디어 발상 기법

• 발명기법 1. 더하기 (합쳐 보자)
  글자 그대로 새로운 물건이나 방법이 아니라 기존의 물건(A)에 다른(B)를 더하(동일한 것(A)도 가능)거나, 방법을 더해서 보다 편리하고 새로운 발명품(C)를 만들어 내는 방법
  • 더하기 발명품) 양말/컵 ＋ 고무 = 미끄러지지 않는 양말/컵
    볼펜 ＋ 전구 = 라이트 펜
    여러 가지로 변형이 가능한 변신합체로봇
    인터넷+MP3+디지털카메라+? = 다기능 휴대폰
    앞뒤 양쪽으로 비출 수 있는 양방향 랜턴
    여러 가지 기생충을 한 번에 잡을 수 있는 구충제
    스캐너+복사기+프린터+팩스 = 다기능 복합기
    운동화 + 공기펌프 ＝ 에어쿠션 운동화
    샴푸 + 린스 + 비듬약 + ? = 린스 겸용 샴푸
    모니터 + 전자레인지 ＝ 전자레인지 겸용 컴퓨터
    버섯 향기 나는 쌀, 인삼 쌀
    운동화 + 바퀴 ⇒ 롤러스케이트, 인라인, 힐리스
    자판기 + 전화 ⇒ 공중전화 자판기
• 발명기법 2. 빼기 (나누거나 빼 보자)
  우리 주위에서 사용되고 있는 물건 중에서 그 물건의 부품이나 기능, 만드는 방법을 빼버린다면 더욱 좋아져서 편리해지거나, 쓰지 않던 기능을 단순화해서 물건 값을 내릴 수 있고 사용법을 간단히 할 수 있는 것
  • 빼기 발명품) 바퀴 없는 자동차, 기차
    칼날 없는 칼(절단기) ⇒ 레이저칼
    자전거 － 체인 = 체인 없는 자전거
    필름 없는 카메라 ⇒ 디지털 카메라
    라디오 안테나 없는 자동차(뒷유리 열선 이용)
    수박/포도 － 씨 ⇒ 씨 없는 수박/포도
    자동차 － 지붕 ⇒ 지붕 없는 자동차(스포츠 카)
    추시계 － 추 ⇒ 추 없는 시계
    운동화 - 구멍 ⇒ 충격 흡수 운동화
    재떨이 － 홈 ⇒ 홈 없는 재떨이
    대나무 － 구멍 ⇒ 단소
    주사기 - 바늘 ⇒ 바늘 없는 주사기
    무선 키보드·마우스·전화기
    악취 제거 「냄새 없는 양말」
• 발명기법 3. 반대로 하기 (거꾸로 해보자)
  현재 사용하고 있는 물건들의 모양, 크기, 방향(위치), 성질, 수 등을 반대로 해보는 방법
  • 반대로 하기 발명품) 병뚜껑이 아래로 가게 거꾸로 세우는 화장품
    오른쪽으로 돌리면 조여지는 나사, 볼트 너트
    ⇒ 왼쪽으로 돌리면 조여지는 나사, 볼트, 너트
    거꾸로 가는 시계(초침이 가장 작은 시계)
    후륜구동(뒷바퀴 굴림)자동차
    ⇒ 전륜구동(앞바퀴 굴림) 자동차
    건물 밖에 노출된 엘리베이터
• 발명기법 4. 용도 바꾸기
  지금 사용되고 있는 대부분의 물건들은 나름대로의 용도를 가지고 있다. 그러나 조금만 생각을 바꾸어 잘 살펴보면 또 다른 용도로 사용할 수 있는 경우가 있다.
  • 용도 바꾸기 발명품) 조명등 ⇒ 살균등, 보온등, 신호등
    아스피린(해열제) ⇒ 돼지 성장 촉진제로 사용
    자동차 타이어 튜브 ⇒ 물놀이 튜브로 사용
    콩기름으로 달리는 무공해 오토바이
    어떤 것을 태우는 불 ⇒ 어떤 불을 끄기 위한 불
    레이저 ⇒ 포인터, 용접, 절단, 수술, 무기
    음식물 쓰레기 ⇒ 사료, 버섯 재배
• 발명기법 5. 작게 또는 크게 하기
  어떤 물건을 더욱 축소시켜 작게 만들거나, 더욱 크게 확대시켜서 새로운 물건을 만드는 방법으로 작게 한다는 것은 가볍게, 짧게, 얇게, 시간이 덜 걸리게, 가늘게 등의 뜻을 모두 포함하고, 크게 한다는 것은 무겁게, 길게, 두껍게, 시간이 더 걸리게 등의 뜻을 포함
  • 작게 또는 크게 하기 발명품) 휴대폰 노트북 컴퓨터
    대형 프로젝션 TV
    벽걸이형으로 아주 얇은 수족관, TV
    사람 몸 속을 보면서 수술할 수 있는 내시경
    휴대용 CD플레이어 (MP3플레이어)
    초미니 모터를 활용한 마이크로 로봇
    녹음기 ⇒ 미니 카세트 녹음기
• 발명기법 6. 모양 바꾸기
  물건의 모양을 좀 더 아름답고 편리하게 바꾸거나 기능을 좀 더 좋게 하기 위하여 모양을 바꾸는 것
  • 모양 바꾸기 발명품) 올록볼록 화장지(만화가 들어있는 화장지)
    끝이 두 개로 갈라지는 빨대(숫가락 달린 빨대)
    손으로 여닫는 쓰레기통 ⇒ 발로 여닫는 쓰레기통
    튜브에 들어있는 액체형 우주식량
    - 자 드라이버를 +, Y, N 드라이버로 개량
    컵 ⇒ 둥근·타원형·네모난·세모난 컵 등
• 발명기법 7. 재료 바꾸기
  어떤 물건을 만들기 위한 재료를 현재 사용되는 것과는 전혀 다른 것으로 바꾸는 것
  • 재료 바꾸기 발명품) 가락 ⇒ 나무, 금속, 플라스틱
    용기 ⇒ 금속, 플라스틱, 종이, 스티로폼
    자동차 연료 ⇒ 수소, 전기(연료전지), 태양광
    녹말로 만들어서 쉽게 분해되는 이쑤시개
    햇빛에 쉽게 분해되는 비닐(몸속에서 없어지는 실)
    대나무 낚싯대 ⇒ 카본 낚싯대
    장갑 ⇒ 고무·가죽·털·비닐·면 등
    먹는 비닐(순대 제작 및 포장용)
    벽지 ⇒ 불에 타지 않는 벽지
    상아 당구공 ⇒ 합성수지 당구공
• 발명기법 8. 움직이게 해 보자
  지금까지 고정되어서 움직이지(소리 나지/빛나지) 않던 것을 움직이게(소리 나게/빛나게)하는 발명
  • 움직이게 해 보자 발명품) 알람 따라 춤추는 시계
    사람이 있는 방향으로 자동적으로 움직이는 TV
    움직이는 계단 (에스컬레이터)
    통이 돌아가는 세탁기
    인터넷에서 만들어진 사이버 캐릭터
    사용자 마음대로 프로그램이 가능한 로봇(장난감)
• 발명기법 9. 남의 아이디어 빌리기
  이미 나와 있는 다른 사람의 아이디어 또는 아이디어 상품을 다른 물건 또는 아이디어에 적용시켜서 새로운 발명품을 만들어 내는 것
  • 남의 아이디어 빌리기 발명품) 접착제 활용제품 - 스티커(사진, 우표, 광고, 명함), 포스트 잇, 양면테이프가 붙어있는 봉투
    보온 효과 활용제품 - 보온병, 보온도시락, 아이스박스, 2중 내의, 2중창
    자연물 이용 - 장미 가시 덩쿨 ⇒ 철조망, 도꼬마리 열매 ⇒ 매직테이프
    냉각력 응용 제품
    ⇒ 냉각컵(밀폐 공간에 냉각액을 넣었기 때문에 컵에 들어있는 물을 차갑게 만들어 줌)
• 발명기법 10. 편리하게 해 보자 [실용적으로]
  어떤 물건의 불편했던 점을 좀 더 편리하도록 바꾸는 발명
  • 편리하게 해 보자 발명품) 손으로 누르거나 돌리던 스위치를 멀리서도 조절
    - 리모컨, 무선마우스, 자동차 원격 시동장치
    각종 감지장치를 가진 발명품
    - 움직임 감지 : 도난경보기, 과속단속기, 안전장치
    - 빛 감지 : 자동 점멸 가로등, 빛의 세기에 따라 색이 변하는 유리
    - 충격(접촉) 감지 : 자동차 경보기, 엘리베이터 문
    - 온도 감지 : 귀로 측정하는 온도계
    각종 인스턴트식품 : 라면, 컵라면, 통조림...
    몇 개월 동안 산소 공급이 필요 없는 초미니 어항
  • DAEGU NAMBU OFFICE OF EDUCATION

기원 후 1년은 예수 탄생의 해… 0년은 없답니다

'기원전' '기원후'는 예수 탄생 기준
기원전 1년의 다음 해는 기원후 1년… '0'을 숫자로 여기지 않아서랍니다

세기는 100년 단위로 세어요… 0년이 없으니 1세기는 1~100년

"메리 크리스마스!"

"그래. 민식이도 메리 크리스마스!"

민식이는 아침에 일어나 아빠를 보자마자 큰 소리로 인사했어요.

"아빠, 그런데 오늘이 예수 그리스도라는 분의 생일이라면서요? 오늘은 몇 번째 생일인가요?"

"올해가 2014년이니까, 태어난 날을 첫째 생일로 본다면 2014번째, 첫돌을 첫째 생일로 본다면 2013번째 생일이 되겠구나."

"어라, 신기하게 올해 연도와 같네요?"

"하하. 신기해할 것 없어. 오늘날 널리 쓰는 서양의 연대 표기는 기원전과 기원후로 기록한다는 건 민식이도 잘 알지? 여기서 '기원전(BC·before Christ)'과 '기원후(AD·Anno Domini)'로 나누는 기준이 바로 예수의 탄생 연도란다."

▲ /그림=이창우

"우아~ 정말요? 인류 역사를 기록하는 연대 표기 기준이 예수의 탄생일이라니, 정말 신기하네요. 그럼 예수가 태어난 해가 '0년'인가요?"

"하하. 민식이가 그렇게 생각할 줄 알았어. 지금 우리는 어떤 기준을 정할 때 자연스럽게 '0'을 사용해. 온도를 나타낼 때 물이 어는 온도를 0℃로 하여 영상과 영하로 나누고, 지도 상에서 적도를 0˚로 놓고, 북위와 남위를 나누는 것처럼 말이야. '0'을 기준으로 증가하거나 감소하는 수는 감소하는 수에 '-(마이너스)' 표시만 붙일 뿐 그 절댓값은 같기 때문이야. 만약 기준을 '1'로 정하면, 1보다 1만큼 적은 수는 0이고, 1만큼 많은 수는 2가 되므로, 두 수가 기준과 얼마만큼 차이 나는지 한눈에 알아보기 어렵겠지? 그런데 이상하게도 예수가 탄생한 해는 '0년'이 아니라 '기원후 1년'이란다."

"왜 그런 거예요?"

"당시에는 '0'이란 개념이 없었거든. 0은 '아무것도 없다'는 뜻인데, 아무것도 없다는 것은 수가 아니라고 생각했지. 그래서 달력에도 0을 사용하지 않았어."

"어라? 그럼 기원후 1년의 바로 전해는 0년이 아니에요?"

"그렇단다. 기원후 1년의 바로 전해는 기원전 1년이야. 이것은 마치 1층의 아래가 0층이 아니라 지하 1층인 것과 비슷하지."

"그럼 중간에 0년이 없으니까, 기원전 100년은 지금으로부터 2114년 전이 아니라, 2113년 전이라고 해야겠네요?"

"그렇지. 실제로 날짜 계산이 매우 중요한 천문학에서는 기원후 1년의 전해를 '0년'으로 놓고, 그 이전 해를 '마이너스(-)'로 나타내. 만약 기원전 연도가 나오면 그 값에서 1을 빼고 앞에 '-'를 붙이는 것이지. 그래서 '기원전 5년'은 천문학에선 '-4년'이 된단다."

"아빠, 궁금한 게 또 있어요. 연대를 나타낼 때 '20세기' '21세기' 같은 용어를 쓰잖아요? 그럼 2000년은 20세기인가요, 아니면 21세기인가요?"

▲ /그림=이창우

"좋은 질문이구나. 세기(世紀)란 100년 단위 기간을 뜻해. 즉 1세기는 1~100년까지를 의미하지. 만약 0년이 있었다면, 0~99년까지가 1세기가 되었을 거야. 그러니까 2000년은 20세기의 마지막 해이고, 2001년 1월 1일부터 2100년 12월 31일까지가 21세기란다."

"아하! 이제 정확히 알 것 같아요. 그런데 생일에 관해 아직도 헷갈리는 게 있어요. 우리는 보통 열두 살 생일을 맞으면 '열두 번째 생일 축하해'라고 하잖아요? 그런데 우리나라 아이들은 태어날 때부터 한 살이고, 이듬해에 두 살이 되잖아요? 그러니 첫돌을 첫째 생일로 하면 열한 번째 생일이라고 해야 옳지 않은가요?"

"하하. 그건 기수와 서수를 통일하지 않아서 일어나는 오류라고 볼 수 있단다. 서양에서는 기수를 사용하여 태어난 지 1년이 흐른 후에 한 살이 되지만, 동양에서는 서수를 사용하여 태어난 첫해에 한 살이 돼. 그래서 우리나라는 해가 바뀌면 나이도 바뀌지만, 서양은 생일이 되어야만 나이가 바뀐단다. 이렇게 나이 세는 방식이 다르다 보니, 우리나라에서 스무 살인 사람이 서양 나이로는 열여덟 살이 되기도 해."

"그러면 2003년 5월 25일에 태어난 저는 우리나라 나이로 열세 살이 되어도, 서양 나이로는 내년 5월 24일까지 열한 살이겠네요?"

"그렇지. 우리나라에서 말하는 '첫돌' '두 돌' 등은 사실 서양과 같은 기수란다. 나이는 서수로, 생일은 기수로 세다 보니 서로 맞지 않는 거야. 그런데 사실 나이를 기수로 나타내면, 출생일을 더 빨리 정확하게 알 수 있어서 실생활에서 더 유용해. 그래서 공식 서류 등에 서양과 같은 '만 나이'를 적게 하는 경우가 많지."

"하지만 저는 나이를 더 빨리 먹는 우리나라 방식이 좋은걸요? 빨리 어른이 되고 싶거든요."

"하하. 민식이도 아빠 나이가 되면, 한두 살이라도 더 어려지고 싶을걸? 하지만 나이를 세는 방식을 바꾼다고 해서 실제로 시간을 빨리, 혹은 거꾸로 흐르게 하는 건 아니잖니? 다 마음먹기에 달린 것이지. 그러니 언제나 긍정적인 마음으로 하루하루를 소중하게 보내는 게 중요해."

"네! 2014년 크리스마스도 다시 돌아오지 않을 소중한 시간이니 우리 알차게 보내요."


[관련 교과] 2학년 2학기 '표와 그래프', 중학교 1학년 '정수'


[함께 생각해봐요]
지도에 지형을 나타낼 때는 높이를 나타내는 기준도 필요해요. 우리나라는 산 높이를 '해발고도'로 표시하는데, 해발고도는 무엇을 기준으로 한 것일까요?

해설: 해발고도는 밀물과 썰물의 중간, 즉 평균 해수면을 기준으로 합니다. 그래서 나라마다 조금씩 차이가 있는데, 우리나라는 인천항의 평균 해수면을 기준, 즉 '0'으로 정하여 산 높이를 나타냅니다.
조선일보

'바둑' 가로세로 19줄… 우주보다 큰 세계

2줄인 격자판엔 점이 4개… 81가지 방법으로 돌 놓을 수 있어
가로세로 19줄 바둑판은 점 361개

돌 놓는 법, 우주의 원자 수보다 많아… 같은 바둑경기 4000년 동안 없대요

"이야~ 이번에도 어려운 상황을 기막히게 빠져나왔군. 역시 바둑을 배운 사람다워."

준수와 함께 드라마를 보던 아빠께서 감탄한 목소리로 손뼉까지 치며 말씀하셨어요.

"아빠, 이 드라마는 직장 생활에 관한 내용이잖아요? 바둑과 무슨 상관이 있어요?"

"하하. 저 주인공이 과거에 바둑 기사였거든. 중요한 순간에 과감한 선택으로 어려움을 벗어나는 모습이 마치 바둑에서 승부수를 띄우는 상황과 비슷해서 하는 말이야. 준수도 이참에 바둑을 배워 볼래?"

"바둑은 검은 돌과 흰 돌을 번갈아가며 한 번씩 놓는 게 전부잖아요? 그게 무슨 재미가 있나요? 장기나 체스는 말(馬)마다 특징이 다르니 다양한 작전을 세울 수 있어서 재미있는데…."

"바둑은 검은 돌과 흰 돌을 번갈아 놓으며 상대 돌을 에워싸는 비교적 단순한 규칙이 있어. 하지만 그 속에서 만들어질 수 있는 상황, 즉 경우의 수가 무한에 가까워서 매번 다른 대결이 펼쳐진단다."

▲ /그림=이창우

"예? 경우의 수가 무한하다고요?"

"자, 바둑판을 잘 보렴. 가로 19줄, 세로 19줄의 격자로 되어 있지? 그럼 선이 교차하는 지점은 모두 몇 개일까?"

"361(=19×19)개요!"

"맞아. 그럼 쉽게 가로 2줄, 세로 2줄 바둑판이 있다고 가정해 보자. 여기에 검은 돌이나 흰 돌을 놓는 방법은 몇 가지나 될까? 아무것도 놓지 않는 경우를 포함해서 말이야."

"글쎄요? 아무것도 안 놓는 방법, 검은 돌만 놓는 방법, 흰 돌만 놓는 방법, 검은 돌 한 개와 흰 돌 세 개를 놓는 방법…."

"그런 식으로 언제 다 세겠니? 한 점만 생각해 보면, 아무것도 놓지 않는 방법, 검은 돌을 놓는 방법, 흰 돌을 놓는 방법, 이렇게 세 가지 경우가 있겠지? 그리고 점이 총 4개 있으니까, 경우의 수는 '81(=3×3×3×3)가지'가 된단다. 이렇게 경우의 수를 계산하는 방법은 중복이 허용되는 문제에 적용할 수 있어. 예를 들어 동전을 세 번 던졌을 때 나올 수 있는 가짓수는 (앞, 앞, 앞), (앞, 뒤, 앞), (앞, 앞, 뒤), (뒤, 앞, 앞), (뒤, 뒤, 앞), (뒤, 뒤, 뒤), (앞, 뒤, 뒤), (뒤, 앞, 뒤)의 8가지가 되잖니? 이건 동전 하나를 던졌을 때 '앞, 뒤'라는 2가지 경우가 나오기 때문에, 2를 세 번 곱하여 계산할 수 있지. 그럼 주사위를 2개 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 몇 가지나 될까?"

"주사위 하나는 6가지 수가 나올 수 있으니까, '36(=6×6)가지'인가요?"

"잘했어. 어때? 네 점만 봐도 경우의 수가 정말 많지? 그렇다면 가로와 세로가 모두 3줄인 격자판은 어떨까?"

"점이 9개니까 3을 아홉 번 곱하면…. 무려 '1만9683가지'예요! 정말 엄청나네요."

"맞아. 물론 바둑 규칙에 따라 몇 가지 경우는 제외해야 하지만, 그렇게 하더라도 1만 가지가 넘지. 네덜란드의 한 컴퓨터과학자가 가로와 세로가 모두 19줄인 바둑판에서 돌을 놓을 수 있는 경우의 수를 계산했더니, 약 2×10¹⁷⁰이 나왔다고 해. 그 값은 천체물리학에서 말하는 우주 전체의 원자 개수(약 12×10⁷⁸)보다 큰 수란다."

"와~ 정말 경우의 수가 무한한 거나 다름없네요."

"그래서 4000년이 넘는 바둑 역사 속에서 형태가 같은 대국은 한 번도 나오지 않았다는 말이 있을 정도야."

▲ /그림=이창우

"아빠, 그런데 돌을 순서대로 놓는 방식이라면, 먼저 두는 쪽이 유리하지 않은가요? 오목만 해도 먼저 둘 때 더 많이 이기는데요."

"맞아. 바둑뿐 아니라 오목, 장기, 체스 등 서로 번갈아 가며 하는 경기는 먼저 두는 쪽이 유리할 수밖에 없단다. 실제로 오목은 먼저 두는 쪽이 무조건 이길 수 있다는 사실을 컴퓨터 전문가들이 증명하면서 공평하지 못한 게임으로 여겨지게 되었지."

"승패는 정정당당하게 겨루어야 하는데 그러면 안 되죠! 바둑을 공평하게 두기 위한 규칙은 없나요?"

"물론 있지. 공정함이 생명인 대회에서는 나중에 두는 상대에게 '6집 반'이라는 점수를 주고 시작한단다. 처음에는 '4집 반' '5집 반'을 주기도 했는데, 수많은 바둑 경기 승패를 분석한 끝에 '6집 반'이 어느 쪽에도 치우치지 않는 가장 공평한 점수라는 결론을 내렸대."

"와~ 아빠 말씀을 듣다 보니 바둑에 흥미가 생겨요."

"바둑은 서로 번갈아가며 두는 게임 중에 가장 심오한 게임으로 인정받았어. 재미있게도 컴퓨터 프로그램이 체스나 장기 챔피언을 이기기는 했어도, 바둑 챔피언을 이기지는 못했대. 그래서 바둑은 컴퓨터끼리 대결하게 하여 프로그램의 우수성을 겨룬단다. 그만큼 바둑의 수는 무궁무진하지. 또 앞서 말했듯이 바둑은 수학과도 관련이 깊어서 배우는 과정에서 수학적 사고력도 기를 수 있단다."

"아빠, 우리 당장 바둑 둬요! 집 안에서 아빠와 할 수 있는 정말 좋은 놀이를 찾았네요!"


[관련 교과] 6학년 2학기 '경우의 수와 확률'


[함께 생각해봐요]
0~9까지 숫자로 만들 수 있는 세 자릿수는 모두 몇 가지일까요?(단 숫자는 중복되어도 괜찮습니다.)

해설: 한 자리에 10가지 숫자를 쓸 수 있으니 '1000(=10×10×10)가지'라고 생각할 수 있으나, 백의 자리에 '0'이 들어가면, 세 자릿수를 만들어야 하는 조건에 맞지 않아요. 백의 자리에는 1~9까지 숫자만 쓸 수 있지요. 따라서 답은 '990(=9×10×10)가지'입니다.
 조선일보

6, 28, 496… 왜 '완전한 수'일까?

자신을 뺀 약수의 합과 같은 '완전수'
6의 약수는 1, 2, 3, 6이고 1+2+3=6
8의 약수는 1, 2, 4, 8이고 1+2+4=7
6은 완전수, 8은 완전수가 아니랍니다

"춤 잘 추고 노래도 잘 부르는데, 얼굴까지 잘생겼어! 어쩌면 저렇게 완전한 사람이 있을 수 있지?"

TV 음악 프로그램을 보던 수인이는 좋아하는 가수가 나오자 넋이 나간 듯이 이렇게 말했어요. 그러자 아빠께서 말씀하셨습니다.

"수인아, 어떤 사람도 완전할 수는 없단다."

"왜요? 저 오빠가 완전하지 않다면, 세상에 뭐가 완전하다는 건가요?"

"사람은 완전할 수 없지만, 세상에 완전한 수는 있지."

"완전한 수? 혹시 제가 좋아하는 7인가요?"

"아니. 7은 완전한 수가 아니야."

"그럼 어떤 수가 완전한 거예요?"

"수인아, 약수(約數)가 무엇인지 아니?"

"네, 지난번에 학교에서 배웠어요. 약수란 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수잖아요. 예를 들어 8의 약수는 '1, 2, 4, 8'이에요."

▲ /그림=이창우

"와~ 수인이가 학교 수업을 열심히 들었구나. 약수를 정확하게 알고 있네."

"그런데 완전한 수와 약수가 무슨 상관이에요?"

"사실은 완전한 수라고 부르지 않고, '완전수'라고 불러. 자신을 제외한 약수의 합으로 나타낼 수 있는 수가 바로 '완전수'란다. 아까 수인이가 예로 든 8을 보면, 자신을 제외한 약수를 더했을 때 7(=1+2+4)이 나오잖니? 따라서 8은 완전수가 아니야. 수인이가 좋아하는 7도 약수가 1과 7뿐이라서 완전수가 아니지. 그렇다면 한 자릿수 가운데 완전수는 무엇일까?"

"아빠, 제가 완전수를 찾아볼게요! 우선 1, 2, 3, 4, 5는 전부 완전수가 아니고…. 찾았어요! '6'이 바로 완전수예요. 6의 약수는 1, 2, 3, 6이고, 자신을 제외한 약수를 더했을 때 6(=1+2+3)이 나오니까요."

"하하. 수인이가 완전수를 제대로 이해했구나. 그럼 다른 완전수도 찾을 수 있겠니?"

"네, 한번 해볼게요. 7, 8, 9는 완전수가 아니고…. 10의 약수는 1, 2, 5, 10이니까, 10도 완전수가 아니네요. 어휴, 찾기가 너무 어려워요. 모든 수의 약수를 구한 다음에 또 그걸 더해야 하잖아요. 아빠, 완전수를 찾는 쉬운 방법은 없어요?"

"하하. 아까 찾은 6이 대표적인 완전수로 알려졌고, 그다음으로 큰 완전수는 28, 496 등이 있단다. 수인이가 해본 것처럼 완전수를 구하는 일은 쉽지 않아. 그래서 많은 수학자의 도전 대상이 되었지. 그래서 여섯째 완전수는 '8,589,869,056'인 것을 찾아냈단다. 그러나 여전히 더 큰 완전수를 찾는 일은 컴퓨터로도 힘든 일로 남아 있어."

▲ /그림=이창우

"완전한 사람을 찾기 어려운 것처럼, 완전한 수를 찾는 것도 엄청나게 어려운 일이군요?"

"하하. 그렇지. 그럼 좀 더 쉽게 구할 수 있는 다른 수들을 알려줄게. '우애수'와 '부부수'라는 말 들어봤니?"

"들어본 적은 없지만, 우애수와 부부수는 두 수의 관계를 알려주는 이름 같아요. 우애수는 두 수가 친구 사이고, 부부수는 두 수가 부부 사이인 거예요?"

"우애수와 부부수는 두 수가 가진 특징 때문에 붙은 별명이란다. 이 수들도 약수를 이용해서 구하지. 220과 284처럼, 자기 자신을 제외한 약수를 모두 더한 값이 다른 하나의 수가 되는 두 수를 우애수라고 부른단다. 220은 자신을 제외한 약수를 모두 더하면 284(=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110)가 되고, 284도 자신을 제외한 약수를 모두 더하면 220(=1+2+4+71+142)이 되거든."

"와~ 정말 신기해요! 그럼 부부수는 뭐예요?"

"부부수도 우애수와 비슷한데, 1과 자기 자신을 제외한 약수의 합이 다른 하나의 수가 되는 두 수를 말한단다. 이번에는 수인이가 75의 부부수를 구해 볼까?"

"네! 75의 약수는 1, 3, 5, 15, 25, 75이니까, 그중에서 1과 75를 제외한 약수를 모두 더하면 48(=3+5+15+25)이네요. 그리고 48의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48이니까, 1과 자기 자신을 제외한 약수를 더하면 75(=2+3+4+6+8+12+16+24)가 돼요. 그래서 75와 48은 부부수예요! 와~ 수에도 이런 관계가 있다니 정말 신기해요."

"정말 재미있지? 앞으로 수인이가 새로운 수의 관계를 찾아보는 건 어떨까?"

"네! 지겹게만 보이던 숫자가 달리 보일 것 같아요."


[관련 교과] 5학년 1학기 '약수와 배수'


[함께 생각해봐요]
140의 부부수를 구해 보세요.

해설: 140의 약수 가운데 1과 자기 자신을 빼고 모두 더하면 195(=2+4+5+7+10+14+20+28+35+70)가 나와요. 195도 1과 자신을 제외한 약수를 모두 더하면, 140(=3+5+13+15+39+65)이 나오지요. 따라서 140과 195는 부부수예요.

 조선일보

고양이 한마리, 100분간 몇마리 쥐 잡을까?

- 고양이 5마리, 5분 동안 쥐 5마리 잡으면
고양이 한마리당 쥐 20마리씩 맡아 100분 안에 쥐 100마리 잡을 수 있어요

- 배달부 맹구, 3층까지 걸리는 시간 30초
한 층씩 오르는 시간 계산하면 15초… 5층까지, 네 층 올라가면 60초 걸리죠

"아, 속상해…."

집에 돌아온 성주가 시무룩한 표정으로 말했어요. 그 모습을 본 엄마께서 걱정스러운 목소리로 물으셨어요.

"왜 그러니? 학교에서 친구와 다투었니?"

"그게 아니라 수학 시간에 쪽지 시험을 봤거든요. 어려운 문제는 다 맞혔는데, 쉬운 문제를 실수로 틀렸지 뭐예요."

"어디 시험지 좀 볼까? '나무를 심기 시작한 지점부터 5m 간격으로 나무를 심어 100m까지 심으려면, 몇 그루의 나무가 필요할까?'라는 문제였구나. 답은 21그루인데 20그루라고 해서 틀렸네?"

"네. 전 '100÷5'만 하면 될 줄 알았는데, 처음 시작 지점에 심는 나무를 빼먹었더라고요. 저 말고도 틀린 아이가 많았어요."

"하하. 선생님이 좋은 문제를 내셨구나. 이런 문제를 자주 풀어 봐야 중요한 시험이나 실생활에서 실수하지 않는단다. 그럼 엄마가 내는 문제도 한번 풀어 보렴. 2쪽에서 시작해서 160쪽으로 끝나는 책은 총 몇 쪽일까?"

"그거야 160에서 2를 빼면 되잖아요? 158쪽이요."

"그럴 줄 알았어. 또 같은 실수를 했잖니. 잘 생각해 보렴. 책의 첫 페이지인 2쪽이 왼쪽이라면, 오른쪽 페이지는 3쪽이 되겠지? 그리고 이후 오른쪽 페이지는 '3, 5, 7, 9…'로 늘 홀수가 될 거야. 그럼 160쪽은 어느 쪽에 있을까?"

"그야 왼쪽이죠. 아, 그러고 보니 전체 페이지 수는 홀수가 되네요?"

"맞아. 더 쉽게 생각해 보면, 쪽수를 2에서 10까지로 놓았을 때 전체 쪽수는 9쪽이 되잖아? 즉, 마지막 쪽에서 처음 쪽을 뺀 수에 1을 더해야 전체 쪽수가 되는 거야. 그래서 답은 159쪽이지."

▲ 그림=이창우

"아, 정말 똑같은 실수를 했네요."

"그럼 이번에는 좀 더 신중하게 생각해 보렴. 자장면 배달부인 맹구는 3층을 올라가는 데 30초가 걸려. 그럼 맹구가 일정한 속도로 올라간다고 할 때, 5층을 올라가는 데는 몇 초 걸릴까?"

"그야 한 층 올라가는 데 10초가 걸리니 50초…. 아니지, 문제가 이렇게 쉬울 리 없겠죠? 아! 보통 지상을 1층이라고 하니, 한 층만 올라가도 2층이 되네요! 두 층을 올라가는 데 30초가 걸렸으니 한 층을 올라가는 데는 15초, 5층이면 네 층을 올라가니 60초가 걸려요!"

"잘 맞혔어! 앞으로도 문제를 풀 때는 지금처럼 문제 속의 조건을 충분히 읽고, '왜 이런 문제를 냈을까'를 먼저 생각해 봐. 그럼 실수를 줄일 수 있단다. 자, 다른 문제를 하나 더 풀어 보자. 고양이 5마리가 쥐 5마리를 잡는 데 5분이 걸린다면, 쥐 100마리를 100분에 전부 잡으려면 고양이가 몇 마리 필요할까?"

"음. 첫 부분에서 '5'가 반복되고 다음에는 '100'이 반복되니, 자칫 100마리라고 생각할 수 있겠네요. 하지만 차근차근 생각해 보면, 첫 부분에서 고양이 한 마리는 5분 동안 한 마리의 쥐를 잡을 수 있다는 것을 알 수 있어요. 즉 고양이 한 마리는 100분 동안 20마리의 쥐를 잡을 수 있기 때문에 5마리만 있으면 100마리의 쥐를 모두 잡을 수 있어요."

"와~ 이제 문제를 척척 잘 푸는데? 앞으로는 성급하게 풀다가 틀리지 않을 자신 있니?"

"네! 그런데 이런 문제를 풀다 보니 참 재미있어요. 또 실수하기 쉬운 문제가 있나요?"

"그럼 한 문제 더 풀어 볼까? A 세균은 1분이면 두 마리로 분열하여 각각 처음 크기와 같아지는 능력을 갖췄어. 이 세균을 밀폐된 병 속에 넣었더니 1시간이 지나자 정확히 병을 가득 채웠지. 그렇다면 같은 병에 A 세균 두 마리를 넣는다면, 병을 가득 채우는 데 얼마의 시간이 걸릴까?"

"당연히 30분 아닌가요? 하지만 엄마가 이런 쉬운 문제를 내실 리 없는데…."

"하하. 잘 생각해 보면 답이 59분이라는 걸 알 수 있어."

"예? 두 마리면 두 배가 된 건데 왜…. 아! A 세균 한 마리는 1분이 지나면 두 마리가 되기 때문이군요? 두 마리로 시작하면, 1분 후의 상황과 같아지는 것이고요! 그래서 59분이지요?"

"정답! 이것도 조금만 신중히 생각하면 참 쉽지? 그럼 이 문제를 조금 바꾸어 보자. 1분에 두 마리로 분열하는 A 세균이 정확히 병을 가득 채우는 데 1시간이 걸렸다면, 병 절반을 채우는 데는 몇 분 걸릴까?"

"59분요! 얼핏 생각하면 30분 같지만, 병이 가득 차기 1분 전에는 절반만 차 있어요. 그래야 1분 후에 2배가 되어 병이 가득 찰 테니까요."

"잘 맞혔어. 이번엔 문제의 의도를 빨리 파악했네?"

"헤헤. 엄마가 내 주신 문제를 풀다 보니 생각이 더 깊어지는 것 같아요. 오늘 문제를 틀린 게 다행이었네요. 그 덕분에 엄마와 이런 재미있는 시간을 가졌잖아요?"

"그래. 어떤 문제든 틀리는 건 부끄러운 게 아니란다. 틀린 문제를 통해 자신이 부족한 부분을 채우며 더욱 발전할 수 있거든. 그러니까 시험을 본 뒤에는 꼭 틀린 문제를 다시 보며 깊이 생각해 보는 습관을 가져야 해."

"네. 그렇게 생각하니 오답도 소중하게 느껴져요. 앞으로 오답노트도 잘 활용할게요."



[함께 생각해봐요]
10m 깊이의 우물에 빠진 A 달팽이는 우물 벽을 타고 1시간에 3m를 이동할 수 있지만, 1시간 이동한 후에는 지쳐서 1시간 동안 뒤로 1m 미끄러진다고 해요. A 달팽이는 몇 시간 만에 우물을 탈출할 수 있을까요?
해설: 정답은 9시간. A 달팽이는 2시간에 2m(=3m-1m)를 이동하므로, 10m를 오르기 위해서는 10시간이 필요하다고 생각하기 쉬워요. 하지만 실제로 A 달팽이는 8시간 후에 8m를 오르고, 9시간째에 3m를 올라 우물을 빠져나가기 때문에 뒤로 미끄러지는 경우를 생각하지 않아도 됩니다.


[관련 교과] 3학년 2학기 '규칙 찾기와 문제 해결'

• 조선일보

한 쌍의 숫자로 위치 찾기 가능해요

어떤 물건의 위치 정확히 표현하려면 원점 기준으로 가로선·세로선 그린 후 이동한 간격만큼 숫자로 나타내요
지구를 가로·세로로 나눈 위도와 경도… 우리 위치를 좌표로 표시할 수 있죠

"아! 도대체 어디에다 묻은 거야!"

"분명히 이 근처인데…."

시우와 승우는 어제 학교에 몰래 가져온 딱지를 선생님께 들킬까 봐 운동장 화단 속에 숨겼어요. 그런데 오늘 방과 후에 화단 여기저기를 파 보았지만 도무지 찾을 수가 없네요.

"그러니까 묻은 곳을 표시해 뒀어야지!"

"그러면 누군가 와서 가져갈 것 같았단 말이야. 아, 여기 있다! 야호~"

시우와 승우는 한참 만에 딱지를 발견하고는 환호성을 질렀어요.

"둘째 감나무에서 멀지 않은 곳에 있었네. 저 나무에서 몇 걸음 떨어졌는지 기억했으면 쉽게 찾았을 거야. 다음에는 그렇게 하자."

"거기서 뭐 하고 있니? 왜 땅을 여기저기 파놓은 거야!"

시우와 승우를 본 선생님께서 화난 목소리로 말씀하셨어요.

"사실은 어제 학교에 이 딱지를 가져왔는데, 선생님께 혼날까 봐 땅에 묻었거든요. 그런데 오늘 이곳저곳을 파 봐도 좀처럼 나오지 않아서 한참 고생하다가 방금 찾았어요."

▲ /그림=이창우

"묻은 위치를 기억해 두지 않았구나?"

"네, 안 그래도 저 감나무에서 다섯 발자국 떨어진 곳이라는 것만 알았어도 쉽게 찾았을 것이라고 얘기하던 중이었어요."

"와, 그거 좋은 생각인데? 그런데 감나무에서 다섯 발자국 떨어진 곳이 한 군데뿐일까?"

선생님께서는 운동장 바닥에 그림을 그리셨어요. 먼저 감나무를 그리고, 이를 기준으로 같은 거리에 있는 곳을 여러 군데 표시하셨습니다.

"잘 보렴. 이 풀이 자라는 곳도, 저 수도꼭지도, 벽에서 일곱째 벽돌이 있는 곳도 모두 감나무에서 다섯 발자국 떨어진 곳이야. 너희는 직접 딱지를 묻었으니까 어디인지 잘 알겠지만, 만약 딱지 위치를 다른 사람에게 알려주어야 할 때는 어떻게 할래? 또 사람마다 한 발자국의 너비가 다른 것도 문제가 되겠지?"

선생님의 질문에 시우와 승우는 곰곰이 생각했어요.

"그럼 두 가지를 기준으로 설명하면 어떨까요? '감나무에서 다섯 발자국, 화단 표지판에서 일곱 발자국인 곳'이라는 식으로요."

"야, 그렇게 찾으려면 여러 번 걸어 봐야 하잖아. 또 그런 곳도 한 군데가 아닐 수도 있어. 다른 좋은 방법이 없을까?"

"얘들아, 이런 방법은 어떻겠니? 화단 둘레에 놓인 벽돌을 기준으로 생각하는 거야. '가로 방향의 여섯째 벽돌과 세로 방향의 여덟째 벽돌에서 수직인 선을 뻗어 만나는 곳'처럼 말이야."

"우아~ 선생님, 정말 좋은 생각이에요. 바로 한 곳을 찾을 수 있는데요?"

▲ /그림=이창우

"이렇게 숫자나 기호를 써서 위치를 표시하는 것을 '좌표'라고 한단다. 좌표를 이용하면 서로 오해하는 일이 없도록 위치를 정확하게 말할 수 있지. 데카르트라는 수학자가 천장에서 움직이는 파리를 보고, '파리의 위치를 수학적으로 나타낼 방법이 없을까' 고민하다가 만들어낸 것이래."

선생님께서는 운동장에 다시 가로선과 세로선을 그리셨어요.

"위의 그림처럼 평면을 두 직선으로 나누어서 좌표를 표시하는 방법이 가장 일반적이야. 기준이 되는 한 점과 그 점을 직각으로 지나는 두 직선을 그리고, '기준이 되는 한 점에서 얼마나 떨어져 있는가'로 위치를 표시한단다. 기준이 되는 한 점을 '원점', 원점을 수직으로 지나는 두 직선을 '좌표축'이라고 하지. 원점에서부터 가로·세로 방향으로 얼마나 떨어져 있는지를 괄호 안에 순서대로 표시하면 돼. 예를 들어 위 그림에서 수도꼭지가 있는 곳은 '(1,5)', 풀이 자라는 곳은 '(4,2)'라고 나타내는 거야. 이렇게 하면 평면 위의 모든 점을 정확하게 나타낼 수 있단다. 그래서 좌표는 우리 생활 곳곳에 이용되고 있어."

"선생님, 하나의 직선 위에 나타내기는 하지만, 수학 시간에 배운 수직선도 좌표와 비슷한 것 같아요. 기준이 되는 '0'에서 얼마나 떨어졌는지를 표시해서 수의 위치를 나타내는 방법이니까요."

"그렇지. 그것도 좌표의 일종이란다."

"선생님, 혹시 지도에 그려진 선들도 좌표로 위치를 나타내기 위한 것인가요?"

"지도에는 가로와 세로로 많은 선이 그려졌는데, 가로선을 위도, 세로선을 경도라고 한단다. 위도는 적도를 중심으로 하여 지구를 위아래 방향으로 각각 90등분한 선이고, 경도는 영국의 그리니치천문대를 중심으로 하여 지구를 동서 방향으로 각각 180등분한 것이지. 위도와 경도로 지구상의 위치를 표시해. 예를 들어 '독도는 우리 땅'이라는 노래에 나오듯이 우리나라의 독도는 '동경 132, 북위 37'로 나타낸단다. 자동차의 내비게이션이나 휴대전화의 위치 찾기 기능 등도 좌표가 없으면 쓸 수 없지."

"선생님, 운동장에 좌표축을 그리면 줄 설 때 참 편하겠어요. '3반은 (7,15)부터 차례로 서시오'라고 말할 수 있잖아요. 하하."

"좋은 생각이구나. 참, 오늘은 이 딱지를 돌려주지만, 다음에 또 가져오면 위치를 알 수 없는 곳에 숨겨버릴 거야. 알겠지?"

"네!"


[관련 교과] 4학년 2학기 '수직선', 중학교 1학년 '순서쌍과 좌표'


[함께 생각해봐요]

다음 보물 지도에서 X표로 표시된 보물의 위치를 좌표로 나타내 보세요.

정답: (8,2)

 조선일보

구구단처럼 쉬운 두 자릿수 곱셈법은?

['15×15'를 쉽게 계산하는 방법]
일의 자리가 5인 같은 수끼리의 곱셈은
백의 자리… 십의 자릿수와 그 수에 1을 더해서 곱해
일의 자리… 일의 자릿수끼리 곱하면 돼요
백의 자리가 2, 일의 자리는 25… 225 나오죠

"아, 또 틀렸네. 두 자릿수끼리의 곱셈은 왜 이렇게 헷갈리지?"

수학 문제집을 풀던 민수가 짜증스럽게 말했어요. 그러자 엄마께서 말씀하셨습니다.

"민수야, 네가 지난번에 곱셈은 구구단만 알면 쉽게 할 수 있다고 했잖니?"

"사실 한 자릿수 곱셈 문제는 참 쉬웠거든요. 그런데 두 자릿수끼리 곱하려니까 중간의 덧셈 과정에서 자꾸 헷갈리더라고요. 어려워서 문제 풀기 싫어졌어요."

"하하. 그럼 엄마가 재미있는 곱셈법을 하나 알려줄게. 선을 긋고 점 개수만 셀 줄 알면 누구나 할 수 있는 곱셈법이야."

"네? 그런 방법이 있어요?"

▲ 그림=이창우

"예를 들어 '32×14'를 계산한다고 하자. 위의 그림처럼 32는 3개의 선과 2개의 선을 따로 떨어뜨려서 비스듬하게 그어 나타내. 그리고 뒤의 14는 먼저 그은 32의 선과 직각으로 교차하도록 1개의 선과 4개의 선을 그어 표시하지. 그리고 교차하는 점을 세기만 하면 돼. 그 교차점이 크게 위·가운데·아래에 위치하는데, 위는 백의 자리, 가운데는 십의 자리, 아래는 일의 자리란다. 백의 자릿점이 3개, 십의 자릿점이 14개, 일의 자릿점이 8개니까, 답은 448(=3×100+14×10+8×1)이야. 이 답이 맞는지, 민수가 계산기로 계산해 보렴."

"우아~ 정말 448이에요! 정말 신기해요. 하지만 숫자가 커지면 선 긋고 점을 세는 게 더 어렵겠는데요?"

"하하, 맞아. 그래서 재미로 해보는 방법이지. 곱셈은 사실 같은 수를 여러 번 더하는 것이어서 덧셈만 알아도 할 수 있어. 하지만 그렇게 하면 시간이 너무 오래 걸려서 곱셈법을 배우는 거야. 엄마가 또 다른 신기한 곱셈법을 알려줄까? 한 자릿수의 곱셈법으로 두 자릿수 곱셈을 쉽게 하는 방법이야."

"네, 엄마. 빨리 알려주세요!"

"예를 들어 '15×15' '25×25'를 계산한다고 해보자. 이런 문제는 십의 자릿수와 십의 자릿수에 1을 더한 수를 곱해서 백의 자리에 놓고, 일의 자릿수끼리 곱한 값을 일의 자리에 놓으면 돼. '15×15'는 십의 자릿수가 1이니까 2[=1×(1+1)]를 백의 자리에 놓아. 그리고 일의 자리는 25(=5×5)이니까, 답은 225가 되지. 25×25도 마찬가지야. 6[=2×(2+1)]을 백의 자리, 25(=5×5)를 일의 자리에 놓으면, 625가 나온단다."

"와! 이 방법도 정말 신기해요. 이런 방법을 학교에서는 왜 안 가르쳐 줄까요?"

"잘 살펴보면 '15×15' '25×25'는 '일의 자리가 5인 같은 수끼리의 곱셈'이라는 특징이 있어. 즉 이런 특징을 가진 문제만 이런 방식으로 풀 수 있단다."

"아, 그렇군요. 또 다른 규칙을 가진 곱셈은 없어요? 엄마 말씀을 듣다 보니 곱셈이 정말 재미있어요."

"당연히 있지. '48×68' '37×77' '45×65' 같은 곱셈엔 어떤 특징이 있을까?"

"음…. 일의 자릿수는 같고, 십의 자릿수끼리 더하면 10이 나와요."

"맞아. 이런 경우는 일의 자릿수끼리 곱한 값을 일의 자리에 놓고, 십의 자릿수끼리 곱한 값에 일의 자릿수를 더하여 백의 자리에 놓으면 된단다. '48×68'을 예로 들면, 64(=8×8)를 일의 자리에, 32[=(4×6)+8]를 백의 자리에 놓으면 '3264'가 되지."

"와! 정말 쉽게 답이 나오네요? 엄마, 그럼 반대로 십의 자릿수는 같고 일의 자릿수끼리 더해서 10이 되는 수들의 곱셈법도 있나요?"

"아주 좋은 질문인걸? '52×58' 같은 경우를 말하는 거지? 이런 경우는 일의 자릿수끼리 곱하여 일의 자리에 놓고, 십의 자릿수는 둘 중 하나에만 1을 더하여 곱하면 돼. '52×58'은 16(=2×8)을 일의 자리에, 30[=5×(5+1)]을 백의 자리에 놓아서 '3016'이 된단다."

"엄마, 정말 재미있어요. 이런 방법을 모든 곱셈에 적용할 수 있으면 좋을 텐데…. 정말 아쉽네요."

"이런 쉬운 곱셈법은 일부 경우에만 적용할 수 있어서 보통 수학 문제를 풀 때 사용하기 어려워. 하지만 곱셈 과정을 분석하여 규칙을 찾으면, 여러 가지 방법으로 곱셈할 수 있다는 사실을 알게 되지. 위대한 수학자들이 발견한 다양한 공식도 이런 창의적인 생각에서 시작되었단다. 예를 들어 '51×49' 같은 식은 '(50+1)×(50-1)'로 바꿔 곱하면, '2500+50-50-1'이 되거든. '42×38'도 '(40+2)×(40-2)'로 바꿔 곱하면 '1600+80-80-4'가 되고 말이야. 여기서 가운데 있는 '50-50'과 '80-80'은 '0'이 되므로 생략할 수 있어. 이 식을 기호로 바꾸면, '(X+a)×(X-a)=X²-a²'이라는 공식을 만들 수 있단다."

"아하! 공식이 이런 방식으로 만들어졌군요. 저도 열심히 공부해서 저만의 수학 공식을 만들래요. 하하."
[함께 생각해봐요]
‘75×75’ ‘27×87’을 쉬운 곱셈법을 이용해 암산으로 풀어 보세요.
해설: ‘75×75’은 백의 자리에 56(=7×8), 일의 자리에 25(=5×5)를 놓으면 ‘5625’가 나와요. ‘27×87’은 백의 자리에 23[=(2×8)+7], 일의 자리에 49(=7×7)를 놓으면 ‘2349’가 나옵니다.


[관련 교과] 4학년 1학기 '곱셈과 나눗셈'

 조선일보

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… 이 다음에 올 숫자는?

앞의 두 수를 합하면 뒤의 수 나오는 순서 가지고 있는 '피보나치 수열'
이웃하는 두 수에서 큰 수를 보면 작은 수의 두 배 넘지 않는 특징 가져
나란히 있는 배열에 규칙 숨어 있어요

지구에서 멀리 떨어진 '빈(bean)'이라는 행성에는 콩이 아주 많이 열려요. 그래서 빈 행성 사람들은 콩으로 만든 음식을 먹으며 살고, 매년 가을이면 화려한 '콩 페스티벌'을 열지요. 올해 콩 페스티벌에서는 모든 행성 주민을 대상으로 '콩 먹기 대회'가 열릴 예정이래요. 행성 곳곳에 아래와 같은 대회 규칙이 적힌 포스터가 나붙었어요.

포스터를 본 콩콩이는 이 대회에 참가하기로 결심했어요. 그래서 대회 준비 방법을 묻고자 학교 담임선생님을 찾아갔습니다.

"선생님, 이 대회에서 좋은 성적을 거두려면 매일 콩을 많이 먹는 훈련을 해야 할까요?"

"이건 무조건 콩을 많이 먹는다고 이길 수 있는 대회가 아니란다. 자기 차례에 콩을 몇 개 먹어야 상대방을 이길 수 있는지를 생각해야 해. 우선 콩 개수가 2~10개일 때 어떻게 해야 상대를 이길 수 있는지 생각해 보렴."

선생님 말씀을 들은 콩콩이는 콩의 개수를 하나씩 늘려가며 이길 수 있는 방법을 궁리했어요. 그 결과 다음과 같은 결론을 얻었습니다.
①콩이 2개 또는 3개 있으면 B가 이긴다.

②콩이 4개 있을 때, A가 1개를 먹으면 B도 1개를 먹어야 하므로 A가 이긴다.

③콩이 5개 있을 때, A는 1개를 먹어야 하고, B도 1개를 먹어야 한다. 남은 건 3개이니 B가 이긴다.

④콩이 6개 있으면 A가 1개를 먹는다. 남은 건 5개이니 A가 이긴다.
결과를 살펴보던 콩콩이는 한 가지 규칙을 발견했어요. 콩이 2개, 3개, 5개, 8개 있을 때 B가 이긴다는 것이었지요.

▲ 그림=이창우

"선생님, 신기한 걸 발견했어요. 콩 개수가 2, 3, 5, 8일 때 B가 이기는데, '2+3=5' '3+5=8'과 같이 이웃하는 두 수를 더하면 그다음 수가 나와요!"

"좋은 발견이구나. 이러한 수의 배열을 이탈리아 수학자인 레오나르도 피보나치의 이름을 따서 '피보나치 수열'이라고 한단다. 그럼 피보나치 수열이 콩 먹기 게임과 어떤 관련이 있는지 생각해 볼까?"

"2개, 3개, 5개, 8개일 때 B가 이겼으니까, 그다음 피보나치 수인 13과 21에서도 B가 이기나요?"

"글쎄? 정말로 그런지 선생님과 같이 알아볼까?"

콩콩이는 선생님과 콩 개수를 점차 늘리면서, 피보나치 수로 콩 먹기 게임에서 이길 수 있는 전략을 찾아보기로 했어요.

"선생님, 콩이 2~10개일 때 경우를 살펴보니 피보나치 수를 상대방에게 넘기는 사람이 이기는 것 같아요. 콩이 5개일 때 A가 1개, B가 1개를 먹고 나서 A 차례에서 3개가 남았는데, 결국 B가 이기는 것처럼 말이에요."

"그럼 콩이 20개일 때도 그 법칙이 적용되는지 알아보자. 20보다 작은 피보나치 수 중 가장 큰 수는 13이야. 우선 20을 '13+7'로 나눠서 콩콩이가 7개를 가져와 보자. 그럼 상대가 13개를 전부 가져가서 바로 지겠지? 그러니까 7보다 작은 피보나치 수를 가져와야 해. 20을 '13+5+2'와 같이 세 무더기로 나누는 거지."

"아하! 그럼 이때 제가 2개 무더기를 가져가면, 상대방은 5개 무더기를 통째로 가져갈 수 없겠군요? 적어도 1개가 남는데 그것을 제가 가져가면, 상대에게 13개를 넘길 수 있어요. 그 뒤로도 상대가 몇 개를 가져가든, 계속해서 남은 개수를 피보나치 수로 나눠 가져가는 전략을 쓰면 결국 제가 이기네요!"

"정말 신기하지? 단 한 가지 명심할 점이 있는데, 서로 이웃하지 않는 피보나치 수로 콩을 나눠야 이길 수 있다는 거야. 피보나치 수열의 특징 때문이지. '1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…' 같은 피보나치 수열에는 두 가지 특징이 있거든. 첫째, 이웃하는 두 피보나치 수에서 큰 수(21)는 작은 수(13)의 두 배를 넘지 않아. 둘째, 이웃하지 않는 두 피보나치 수에서 큰 수(21)는 작은 수(8)의 두 배를 넘는다는 것이지. 따라서 이웃하지 않는 피보나치 수로 콩 무더기를 나누면, 둘째 무더기에는 첫째 무더기의 2배가 넘는 콩이 있게 된단다. 그러니까 콩콩이가 첫째 무더기를 통째로 가져가면, 상대는 항상 다음 무더기를 통째로 가지고 갈 수가 없어. 결국 마지막에 남는 콩은 콩콩이 차지가 되는 거지."

"우아~ 선생님, 이제 콩 먹기 대회에서 콩이 몇 개 주어지더라도 제가 이길 수 있겠어요! 게임 전략 속에도 수학이 들었다니 정말 신기하네요!"
[함께 생각해봐요]
100을 연속하지 않는 피보나치 수의 합으로 나타내어 보고, 100개의 콩이 있을 때 콩 먹기 대회에서 이길 수 있는 방법을 찾아보세요.
해설: 100은 ‘89+8+3’으로 나타낼 수 있어요. 100개의 콩이 있을 때는 먼저 하는 사람이 처음에 3개의 콩을 가져오면 이길 수 있어요.

[관련 교과] 5학년 2학기, 6학년 2학기 '문제 해결 방법 찾기'

 조선일보

사람 수 맞히는 신기한 '배수(倍數)'

처음에 버스 탄 승객 수 맞히는 문제 '배수' 개념 적용하면 알기 쉽답니다
승객 중 3분의 1이 버스에서 내렸다면 처음 탄 인원이 3의 배수였다는 뜻… 조건 덧붙일수록 정답 좁힐 수 있어요

"엄마, 삼촌 댁에 도착하려면 아직 멀었어요?"

"응. 아직 여덟 정거장이나 더 가야 해."

다정이는 엄마와 함께 버스를 타고 삼촌 댁에 가는 길이었어요. 오랜만에 삼촌을 만나는 다정이는 엄마께 남은 정거장 수를 계속 되물었습니다.

"우리 다정이가 삼촌을 빨리 보고 싶은가 보네? 그럼 도착할 때까지 지루하지 않게 엄마가 내는 문제 한번 풀어 볼래?"

"어떤 문제인데요?"

"어떤 버스에 30명 이하의 사람들이 타고 있었어. 그런데 첫 번째 정거장에서 승객의 1/3이 내리고 다섯 명이 올라탔지. 그리고 두 번째 정거장에서도 역시 승객의 1/3이 내리고 네 명이 탔어. 그때 사람 수를 세어보니 아이의 수가 정확하게 어른 수의 1/5이었다고 하면, 처음에 타고 있던 승객은 모두 몇 명일까?"

▲ /그림=이창우

"예? 그런 내용으로 처음 탄 승객의 수를 알 수 있어요? 전 전혀 모르겠는데요?"

"하하. 쉽게 생각해 봐. 만약 버스에서 절반이 내렸는데 12명이 남았다면, 처음의 인원은 몇 명일까?"

"그거야 쉽지요. 24명이에요."

"그래. 처음에 낸 문제도 방금 다정이가 맞힌 문제와 크게 다르지 않아. 그럼 문제를 조금 쉽게 바꿔 볼게. 20명 이하의 사람들이 타고 있던 버스에서 1/3이 내리고 두 명이 탔는데 그때 남자가 여자보다 2배 더 많았다면, 처음에 탄 승객의 수는 얼마일까?"

"엄마, 전혀 쉬워지지 않았잖아요. 이번에도 잘 모르겠어요."

"차근차근 생각하면 어렵지 않아. 자, 아까 '절반의 인원'이라는 말을 들었을 때, 다정이는 2로 나누어떨어지는 수, 즉 2의 배수(倍數)를 생각했지? 마찬가지로 '1/3의 인원'이란 말은 처음 수가 3으로 나누어떨어진다는 뜻이야. 즉, 처음 승객의 수는 20 이하의 수 중에서 3의 배수인 수라는 거지."

"아하! 20 이하의 수 중 3의 배수는 {3, 6, 9, 12, 15, 18}이에요! 그런데 6가지나 되는데요?"

"그래서 다음 조건이 있는 거야. 1/3이 내리고 두 명이 탔다고 했지? 이때 승객의 수는 {4, 6, 8, 10, 12, 14} 중 하나가 될 거야. 그런데 여기서 남자가 여자보다 2배 많을 경우는 '6(=4+2)'과 '12(=8+4)'뿐이지."

"아하! 그래도 답이 2개 나오잖아요?"

"그럼 답이 하나만 나오도록 다정이가 조건을 하나 더 만들어 볼래?"

"음…. '4의 배수'라고 하면 어떨까요? 둘 중 4의 배수는 '12'뿐이니까요."

"그래. '마지막 인원은 4의 배수였다'는 조건을 달면, '12'밖에 나오지 않지. 마지막 인원이 12명이라면, 처음 승객 수는 15명이었던 거야."

▲ /그림=이창우

"와~ 생각보다 훨씬 재미있네요! 엄마가 처음 내신 문제도 풀 수 있겠어요. 30명 이하의 인원 가운데 첫 번째 정거장에서 1/3이 내렸다면, 처음 승객의 수는 {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} 중 하나예요. 1/3이 내리면 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}이 되고, 여기서 5명이 타면 {7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}가 되지요. 이 가운데 두 번째 정거장에서 1/3이 내릴 수 있는 경우는 {9, 15, 21}밖에 없어요. 1/3이 내리면 {6, 10, 14}가 되고요. 여기서 4명이 더 타면 {10, 14, 18}, 아이의 수가 어른 수의 1/5이라고 했으니까 '18(=3+15)'이 마지막 인원수예요. 18은 24에서 출발했으니까, 처음 인원은 24명이었네요!"

"아주 잘했어! 어때, 정말 재미있지?"

"네. 제가 직접 문제를 만들어 친구들에게 낼 수도 있겠어요."

"그럼 이번에는 응용문제를 풀어볼래? 도서관에서 영어책을 보는 사람은 1/3, 수학책을 보는 사람은 1/5, 과학책을 보는 사람은 1/6, 소설책을 보는 사람은 1/9, 만화책을 보는 사람은 17명이라면, 지금 도서관에는 총 몇 명이 있을까?"

"어라? 이건 3·5·6·9의 공배수를 찾는 문제 같은데요?"

"맞아. 도서관에 있는 사람 수가 3·5·6·9의 공배수여야 문제의 조건처럼 나누어떨어질 수 있지. 네 숫자의 최소공배수가 90이니까, 답은 90의 배수가 된단다. 먼저 90을 각 조건에 대입해 볼까? 영어책을 보는 사람은 30명, 수학책을 보는 사람은 18명, 과학책을 보는 사람은 15명, 소설책을 보는 사람은 10명으로, 총 73명이 돼. 여기에 만화책을 보는 사람이 17명이니까, 정답은 '90'이 되는 거야. 만약 만화책을 보는 사람이 34명이라고 했다면, 총 인원은 90의 배수인 180명이 되지."

"배수의 개념을 이용해서 이렇게 여러 가지 문제를 낼 수 있다니 정말 신기해요!"

"어머? 다정아, 우리가 내릴 정거장이 바로 다음인데?"

"와~ 엄마 덕분에 공부하면서 지루하지 않게 왔네요. 엄마 최고!"


[관련 교과] 5학년 1학기 '약수와 배수'


[함께 생각해봐요]

어떤 수의 각 자리 숫자를 더한 수가 3의 배수이면, 원래 수도 3의 배수입니다. 예를 들어 '7482'의 각 자리 숫자를 더하면 21(=7+4+8

+2)로 3의 배수가 되므로, '7482'도 3의 배수라고 할 수 있지요. 그 이유는 무엇일까요?

해설: 'abc'라는 세 자리 수는 '100×a+10×b+c'로 표현할 수 있어요. 이것은 다시 '(99×a)+(9×b)+a+b+c'로 나타낼 수 있지요. 3의 배수끼리 더하면 그 값도 3의 배수가 되는데, '99×a'와 '9×b'는 당연히 3의 배수예요. 따라서 남은 'a+b+c'가 3의 배수이면, 처음의 어떤 수도 3의 배수라고 할 수 있어요.

 조선일보

시곗바늘에 담긴 다양한 수학 원리

시침·분침 위치 확인하는 바늘 시계… 수학 원리 숨어 있어 두뇌 훈련에 좋아

시침, 12시에 오전·오후 바뀌는 12진법
분침, 60분 지나면 시간 바뀌는 60진법
바늘 위치 따라 '각속도' 구할 수 있어

"웅인아, 생일 축하해!"

아빠께서 생일을 맞은 웅인이에게 선물 상자를 건네며 말씀하셨어요.

"우아~ 아빠, 고맙습니다! 시곗바늘이 달린 시계네요? 정말 멋져요!"

"바늘 시계가 전자시계보다 보기 어렵지만, 두뇌 훈련에는 더 도움이 된대. 시침과 분침의 위치를 확인하는 과정에서 자연스럽게 12진법이나 60진법 같은 수학 원리도 떠올리고 말이야."

"12진법과 60진법이요? 그게 뭐예요?"

"진법(進法)이란 수를 표기하는 방법의 하나란다. 웅인아, '9' 다음에 오는 자연수가 뭐지?"

"당연히 '10'이지요."

"그래. '9' 다음에는 자릿값이 올라가 '10'이 되지? 이것은 우리가 평소 '10진법'을 사용하기 때문이야. 만약 '5진법'을 쓴다면, '4' 다음에 자릿값이 올라가 10이 되었을 거야. '14' 다음에는 또 자릿값이 올라가 20이 되고 말이야."

▲ /그림=이창우

"아하! 시계에 왜 12진법, 60진법이 있는지 알았어요. 시계는 12시가 되면 오전·오후가 바뀌고, 60분이 1시간, 60초가 1분이 되기 때문이지요?"

"잘 맞혔어. 그런데 바늘 시계에 숨은 수학 원리는 이뿐만이 아니란다. 바늘 시계의 진법은 각도와도 깊은 관계가 있거든. 시곗바늘이 한 바퀴 돌았다면, 몇 도를 움직였을까?"

"그 정도는 저도 알아요. 360도예요."

"그럼 5시 정각에 분침과 시침이 만드는 각도도 알겠구나?"

"한 바퀴가 12시간이니까, 360을 12로 나누면…. 1시간은 30도! 5시는 150도예요!"

"정답! 그럼 조금 더 어려운 문제를 낼게. 3시 30분일 때, 분침과 시침이 이루는 각(사잇각)은 몇 도일까?"

"음…. 시침은 3에 있고 분침은 6에 있을 테니, 90도요!"

"하하, 그렇게 단순하게 생각하면 안 되지. 시침이 정확히 3을 가리킬 때는 3시 정각뿐이야. 분침이 30분을 이동하는 동안 시침도 함께 움직이지."

"아차! 그 생각을 못 했네요. 30분은 1/2시간이니까, 시침은 30도의 절반인 15도를 더 이동했겠지요? 그렇다면 정답은 90도에서 15도가 줄어든 75도?"

"맞혔어! 이번에도 금세 이해했구나. 조금 더 어려운 문제를 낼까?"

"네, 계속 내주세요! 시계의 각도 문제라면 이제 자신 있어요!"

"좋아! 그럼 5시에서 6시 사이에 시침과 분침이 일치할 때의 시각은 몇 시 몇 분일까?"

"아빠, 이 문제는 앞에 내신 문제와 전혀 다르잖아요? 어떻게 풀어야 할지 모르겠어요."

"아빠가 힌트를 줄게. 우선 초침, 분침, 시침의 이동속도를 먼저 구해보렴. 시곗바늘처럼 원운동을 하는 물체가 단위 시간(초·분·시)에 움직이는 각을 수학에서는 '각속도'라고 한단다. 자, 먼저 초침은 1초에 몇 도 움직일까?"

"60초에 한 바퀴를 도니까, 360을 60으로 나누면 '6도'가 나와요."

▲ /그림=이창우

"맞아. '6도/초'가 바로 초침의 각속도야. 같은 방법으로 계산하면, 분침의 각속도는 분당 6도(초당 0.1도), 시침은 분당 0.5도가 된단다. 그럼 다시 문제를 보자. 5시에서 6시 사이라고 했으니, 12시를 기준으로 시침이 움직인 각은 '(5×30도)+(0.5도×□분)'이 돼. 두 시곗바늘이 일치하려면, 이 값이 분침이 움직인 각 '6도×□분'과 같아야 하지. 즉 '(5×30)+(0.5×□)=6×□'가 되는 거야. 이 식을 풀어보면, □는 약 27.27(약 27분)이 나온단다. 따라서 답은 약 5시 27분이야."

"와~ 구하려는 시각(분)을 □로 하여 식을 세우니, 어려운 문제도 쉽게 풀리네요? 바늘 시계 덕분에 새로운 수학 원리를 알았어요. 그런데 바늘 시계의 초침·분침·시침은 어떻게 정확한 각도로 움직이는 거예요?"

"시계 속 톱니바퀴에 그 비밀이 숨어 있지. 바늘 시계 안에는 시계의 심장이라고 할 수 있는 '탈진기'가 들었어. 탈진기는 스프링이 풀렸다가 다시 감기는 규칙적인 운동으로 톱니바퀴에 동력을 전달하지. 각 시곗바늘에 붙은 톱니바퀴들은 서로 연결되었기 때문에 하나의 톱니바퀴에 동력이 전달되면, 자연스럽게 모든 톱니바퀴가 움직인단다. 그런데 각 시곗바늘에 달린 톱니바퀴의 톱니 수가 서로 달라. 예를 들어 A 톱니바퀴에는 8개, B 톱니바퀴에는 32개의 톱니가 달렸다면, 서로 맞물렸을 때 B가 1바퀴를 도는 동안 A는 4바퀴를 돌지."

"아하! 톱니바퀴의 톱니 수로 회전 속도가 변하는구나!"

"어때? 이젠 왜 바늘 시계가 두뇌 훈련에 도움 된다고 했는지 알겠지? 시계에는 다양한 수학 원리가 숨어 있지만, 무엇보다 중요한 것은 시계가 한 방향으로만 움직인다는 사실이야. 즉 지나간 시간은 되돌릴 수 없다는 뜻이지."

"아빠 말씀이 맞아요. 그러니 약속 시간을 더욱 잘 지켜야겠지요? 귀한 선물을 주셔서 고맙습니다!"


[관련 교과] 3학년 1학기 '길이와 시간' 4학년 1학기 '각도' 6학년 2학기 '방정식'


[함께 생각해봐요]

톱니가 18개인 톱니바퀴 'A'와 톱니가 24개인 톱니바퀴 'B'가 맞물려 있어요. 이때 두 톱니바퀴가 각각 몇 바퀴를 돌아야 처음 맞물렸던 위치로 되돌아올 수 있을까요?

해설: 우선 A와 B의 톱니 개수, 즉 18과 24의 최소공배수를 찾아야 해요. 18과 24의 최소공배수는 '72'이지요. 즉 A는 4바퀴(72÷18=4), B는 3바퀴(72÷24=3)를 돌았을 때 처음 맞물렸던 자리로 돌아옵니다.

 조선일보

신라 귀족들이 썼던 신기한 주사위, '주령구'

주사위는 모든 면이 합동인 정다면체… 각 면 나올 확률, 넓이에 비례하기 때문
육각형 면을 삼각형 모양과 닮게 만들어… 사각형·육각형 넓이 거의 같은 '주령구'
면마다 한자로 재미있는 벌칙 적혔어요

재덕이는 오늘도 스마트폰 게임에 빠져 정신이 없어요. 그 모습을 본 아빠께서 재덕이에게 한 가지 놀이를 제안하셨습니다.

"스마트폰 게임 대신 아빠랑 재미있는 주사위 놀이 할까?"

"에이~ 아빠, 요즘 누가 주사위 놀이를 해요? 그런 건 이제 재미없어요."

"그래? 아빠가 정말 신기한 주사위를 보여줄 건데?"

"신기한 주사위요? 그게 뭔데요?"

아빠께서는 방으로 들어가더니 나무로 만들어진, 주사위와 비슷하게 생긴 물건을 가지고 나오셨어요.

▲ 그림=이창우

"이건 '주령구(酒令具)'라는 이름의 옛날 주사위란다. 1975년에 경주 안압지(雁鴨池)에서 출토된 것이지. 통일신라 시대에 왕과 귀족들이 술자리에서 사용하던 놀이 도구였대."

"네? 통일신라 시대 사람들도 주사위 놀이를 했다고요?"

"그렇단다. 주사위의 역사는 우리 생각보다 훨씬 오래되었어. 통일신라 시대 이전에도 사람들이 주사위를 가지고 놀았다고 하니, 아주 오래된 놀이 중 하나인 셈이지. 그 당시에는 과일 씨나 동물 뼈, 조약돌, 진흙 등 다양한 재료로 주사위를 만들었대."

"아빠, 그런데 자세히 보니 주령구 모양이 다른 주사위와 조금 다른 것 같아요. 지금까지 제가 본 주사위는 모든 면이 같은 도형으로만 되어 있는데, 주령구는 사각형 6개와 육각형 8개로 되어 있네요?"

"맞아. 오늘날 쓰는 주사위는 정다면체로 이루어졌어. 정다면체란 모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 입체도형을 말하지. 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 등 다섯 종류가 있단다."

"정다면체로만 주사위를 만드는 이유가 있어요?"

"주사위를 던져서 게임을 할 때는 모든 면이 나올 확률이 같아야 하는데, 이 확률은 대체로 면적에 비례한단다. 그래서 모든 면이 합동인 정다면체로 주사위를 만드는 거야."

▲ 신윤복, ‘쌍륙삼매(雙六三昧)’, 조선시대.

"그럼 주령구는 주사위로서 자격이 없는 거네요. 사각형이랑 육각형으로 만들어졌잖아요."

"과연 그럴까? 자세히 보면, 육각형이 삼각형 모양과 많이 닮았어. 이렇게 만든 이유는 육각형과 사각형 넓이를 최대한 같게 하기 위해서란다."

"정말요? 그럼 사각형과 육각형 넓이가 같아요?"

"그럼 사각형과 육각형 넓이를 각각 구해 볼까? 먼저 사각형은 두 변 길이가 모두 2.5㎝이므로, 넓이는 6.25㎠(2.5×2.5)야. 육각형 넓이는 사다리꼴 두 개로 나누어 계산해 보자. '[{(0.8+3.25)×2.1}+{(2.5+3.25)×0.7}]×1/2'을 계산하면, 6.265㎠가 나오네. 신기하게도 넓이가 거의 같지?"

"우아~ 정말 대단해요. 통일신라 시대에 각 면이 나올 확률까지 고려해서 주사위를 만들었다는 뜻이잖아요?"

"주령구의 특징은 또 있단다. 자세히 보면, 각 면에 '空詠詩過'(공영시과·시 한 수 읊기), '禁聲作舞'(금성작무·노래 없이 춤추기) 같은 한자가 적혔거든."

"하하하. 꼭 벌칙을 적어 놓은 것 같아요. TV 프로그램에서 막대나 종이를 뽑아서 하는 복불복 게임이랑 비슷하네요. 정육면체보다 면이 더 많아서 다양한 벌칙을 써 넣을 수 있었겠어요."

"그럼 더 재미있는 사실을 알려줄까? 지금 우리가 하는 주사위 놀이는 조선 시대에도 있었단다. 조선 시대 유명 화가였던 신윤복은 풍속화 '쌍륙삼매(雙六三昧)'에 주사위 놀이를 그렸거든. 쌍륙이란 주사위 2개를 굴려서 나온 눈의 수에 따라 판 위의 말(馬)을 옮기는 놀이라고 해. 오늘날 주사위 놀이와 크게 다르지 않지?"

"네. 주사위 놀이는 생각보다 역사가 기네요. 오늘은 스마트폰 게임 대신 재미있는 벌칙을 주사위에 붙여 놓고 우리 가족 다 같이 주사위 놀이를 해 봐요. 안마해 주기, 춤추기, 노래 부르기, 엉덩이로 이름 쓰기…. 제가 벌써 벌칙을 많이 생각했어요."

"하하하. 그래, 오늘은 우리 가족이 주령구 놀이로 신라 귀족이 되어 보자."
[함께 생각해봐요]

왼쪽 그림은 현재 우리가 사용하는 정육면체 주사위예요. 보이지 않는 세 면의 수를 각각 구해 보세요.
해설: 정육면체 주사위는 서로 마주 보는 면에 있는 수의 합이 7이에요. 따라서 1과 마주 보는 면의 수는 6, 3과 마주 보는 면의 수는 4, 5와 마주 보는 면의 수는 2입니다.


[관련 교과] 5학년 1학기 '평면도형의 넓이' 6학년 1학기 '여러 가지 입체도형'

 조선일보