1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… 이 다음에 올 숫자는?

앞의 두 수를 합하면 뒤의 수 나오는 순서 가지고 있는 '피보나치 수열'
이웃하는 두 수에서 큰 수를 보면 작은 수의 두 배 넘지 않는 특징 가져
나란히 있는 배열에 규칙 숨어 있어요

지구에서 멀리 떨어진 '빈(bean)'이라는 행성에는 콩이 아주 많이 열려요. 그래서 빈 행성 사람들은 콩으로 만든 음식을 먹으며 살고, 매년 가을이면 화려한 '콩 페스티벌'을 열지요. 올해 콩 페스티벌에서는 모든 행성 주민을 대상으로 '콩 먹기 대회'가 열릴 예정이래요. 행성 곳곳에 아래와 같은 대회 규칙이 적힌 포스터가 나붙었어요.

포스터를 본 콩콩이는 이 대회에 참가하기로 결심했어요. 그래서 대회 준비 방법을 묻고자 학교 담임선생님을 찾아갔습니다.

"선생님, 이 대회에서 좋은 성적을 거두려면 매일 콩을 많이 먹는 훈련을 해야 할까요?"

"이건 무조건 콩을 많이 먹는다고 이길 수 있는 대회가 아니란다. 자기 차례에 콩을 몇 개 먹어야 상대방을 이길 수 있는지를 생각해야 해. 우선 콩 개수가 2~10개일 때 어떻게 해야 상대를 이길 수 있는지 생각해 보렴."

선생님 말씀을 들은 콩콩이는 콩의 개수를 하나씩 늘려가며 이길 수 있는 방법을 궁리했어요. 그 결과 다음과 같은 결론을 얻었습니다.
①콩이 2개 또는 3개 있으면 B가 이긴다.

②콩이 4개 있을 때, A가 1개를 먹으면 B도 1개를 먹어야 하므로 A가 이긴다.

③콩이 5개 있을 때, A는 1개를 먹어야 하고, B도 1개를 먹어야 한다. 남은 건 3개이니 B가 이긴다.

④콩이 6개 있으면 A가 1개를 먹는다. 남은 건 5개이니 A가 이긴다.
결과를 살펴보던 콩콩이는 한 가지 규칙을 발견했어요. 콩이 2개, 3개, 5개, 8개 있을 때 B가 이긴다는 것이었지요.

▲ 그림=이창우

"선생님, 신기한 걸 발견했어요. 콩 개수가 2, 3, 5, 8일 때 B가 이기는데, '2+3=5' '3+5=8'과 같이 이웃하는 두 수를 더하면 그다음 수가 나와요!"

"좋은 발견이구나. 이러한 수의 배열을 이탈리아 수학자인 레오나르도 피보나치의 이름을 따서 '피보나치 수열'이라고 한단다. 그럼 피보나치 수열이 콩 먹기 게임과 어떤 관련이 있는지 생각해 볼까?"

"2개, 3개, 5개, 8개일 때 B가 이겼으니까, 그다음 피보나치 수인 13과 21에서도 B가 이기나요?"

"글쎄? 정말로 그런지 선생님과 같이 알아볼까?"

콩콩이는 선생님과 콩 개수를 점차 늘리면서, 피보나치 수로 콩 먹기 게임에서 이길 수 있는 전략을 찾아보기로 했어요.

"선생님, 콩이 2~10개일 때 경우를 살펴보니 피보나치 수를 상대방에게 넘기는 사람이 이기는 것 같아요. 콩이 5개일 때 A가 1개, B가 1개를 먹고 나서 A 차례에서 3개가 남았는데, 결국 B가 이기는 것처럼 말이에요."

"그럼 콩이 20개일 때도 그 법칙이 적용되는지 알아보자. 20보다 작은 피보나치 수 중 가장 큰 수는 13이야. 우선 20을 '13+7'로 나눠서 콩콩이가 7개를 가져와 보자. 그럼 상대가 13개를 전부 가져가서 바로 지겠지? 그러니까 7보다 작은 피보나치 수를 가져와야 해. 20을 '13+5+2'와 같이 세 무더기로 나누는 거지."

"아하! 그럼 이때 제가 2개 무더기를 가져가면, 상대방은 5개 무더기를 통째로 가져갈 수 없겠군요? 적어도 1개가 남는데 그것을 제가 가져가면, 상대에게 13개를 넘길 수 있어요. 그 뒤로도 상대가 몇 개를 가져가든, 계속해서 남은 개수를 피보나치 수로 나눠 가져가는 전략을 쓰면 결국 제가 이기네요!"

"정말 신기하지? 단 한 가지 명심할 점이 있는데, 서로 이웃하지 않는 피보나치 수로 콩을 나눠야 이길 수 있다는 거야. 피보나치 수열의 특징 때문이지. '1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…' 같은 피보나치 수열에는 두 가지 특징이 있거든. 첫째, 이웃하는 두 피보나치 수에서 큰 수(21)는 작은 수(13)의 두 배를 넘지 않아. 둘째, 이웃하지 않는 두 피보나치 수에서 큰 수(21)는 작은 수(8)의 두 배를 넘는다는 것이지. 따라서 이웃하지 않는 피보나치 수로 콩 무더기를 나누면, 둘째 무더기에는 첫째 무더기의 2배가 넘는 콩이 있게 된단다. 그러니까 콩콩이가 첫째 무더기를 통째로 가져가면, 상대는 항상 다음 무더기를 통째로 가지고 갈 수가 없어. 결국 마지막에 남는 콩은 콩콩이 차지가 되는 거지."

"우아~ 선생님, 이제 콩 먹기 대회에서 콩이 몇 개 주어지더라도 제가 이길 수 있겠어요! 게임 전략 속에도 수학이 들었다니 정말 신기하네요!"
[함께 생각해봐요]
100을 연속하지 않는 피보나치 수의 합으로 나타내어 보고, 100개의 콩이 있을 때 콩 먹기 대회에서 이길 수 있는 방법을 찾아보세요.
해설: 100은 ‘89+8+3’으로 나타낼 수 있어요. 100개의 콩이 있을 때는 먼저 하는 사람이 처음에 3개의 콩을 가져오면 이길 수 있어요.

[관련 교과] 5학년 2학기, 6학년 2학기 '문제 해결 방법 찾기'

 조선일보