10개 약병 중 가짜 약은 어디에 들어 있을까?

진짜 알약 100㎎ 가짜는 110㎎
1번 병에선 하나, 2번에선 둘… 각 병에 적힌 숫자만큼 얄약 꺼내 55개 한꺼번에 무게 재서 찾는 문제

진짜 약만 있으면 5500㎎ 돼야 하는데 초과한 무게로 가짜 알약 개수 알아내… 60㎎ 더 나왔다면 6번 병이 가짜죠

"어휴. 여전히 불량품을 섞어 판매하는 양심 없는 사람이 많네."

찬희네 아빠가 가짜 상품을 섞어 파는 상인들이 붙잡혔다는 뉴스를 보고 한숨을 쉬었어요. 찬희가 그 뉴스에 관심을 보이며 다가왔어요.

"정말 너무하네요. 진짜 제품 사이에 가짜를 섞어 파니 알아내기가 쉽지 않겠네요. 더구나 검사를 받을 때는 진짜 제품을 보여줄 테니 잘 걸리지도 않을 거예요."

"그래. 범인들은 그런 점을 노린 거야. 그래서 더욱 철저하게 검사하는 것이 중요하지. 말이 나온 김에 진짜와 가짜를 구별하는 재미있는 수학 문제 하나 내 볼까?"

"예? 수학 문제요? 진짜와 가짜를 어떻게 수학으로 구별해요?"

"자, 이제 문제를 낼게. 약병이 10개 있는데 그 안엔 각각 알약 10개가 들어 있어. 10개의 약병 중 하나엔 모조리 가짜 알약이 들어 있지. 진짜 알약의 무게는 100㎎, 가짜 알약은 110㎎으로 10%쯤 무겁지. 자, 이제 가짜 약병을 찾아볼까?"

"약병 2개씩 골라 양팔 저울에 올려 계속 비교해가면서 찾아가도 돼요?"

"아니, 양팔 저울 말고 일반 저울로 단 한 번만 재서 찾아야 해. 약병을 통째로 올려 무게를 재도 되고, 약병 속의 알약을 꺼내어 재도 돼."

/그림=이창우

"정말 딱 한 번만 무게를 재서 가짜를 찾아낼 수 있어."

"우선 약병 통째로 재는 방법으로는 불가능한 것 같아요. 양팔 저울처럼 비교할 대상이 없으니 어떤 병이 무거운지 찾을 수 없잖아요."

"그럼 알약을 꺼내 무게를 재는 방법을 생각해보렴."

"…."

"모르겠니?"

"네…. 아무리 생각해봐도 방법을 못 찾겠어요. 한 번이 아니라 두 번, 세 번을 재도 못 찾을 거 같아요."

"알약을 몇 개 꺼내야 한다는 등의 제한은 없지? 그러니까 알약을 꺼내 무게를 잴 때 약병에서 10개를 다 꺼내도 되고, 하나만 꺼내도 된다는 뜻이야. 이제 약병 10개를 1번부터 10번까지 번호를 붙여보렴."

"그러고는요?"

"1번 병에서 알약 1개, 2번 병에서 2개, 3번 병에서 3개, 이런 식으로…."

"예? 양팔 저울은 안 된다고요? 일반 저울로 한 번만 무게를 재서 어떻게 찾아요? 답이 없는 문제죠?"

"10번 병에서 알약 10개까지 약병에 붙은 번호 수만큼 알약을 꺼내라는 뜻이죠?"

"그렇지! 그렇게 알약을 꺼내면 총 몇개니?"

"1개, 2개, 3개, 4개,…, 9개, 10개를 다 더하면 55개죠."

"맞아. 아까 진짜 알약 무게가 뭐라고 했지?"

"100㎎이죠. 가짜는 110㎎으로 더 무겁고요."

"이제 알약 55개를 한꺼번에 저울에 올려놓으렴. 만약 55개 전부 진짜라면 무게는?"

/그림=이창우

"100㎎×55개이니 5500㎎이 나와야죠. 그런데 지금 무게를 재니 5560㎎이 나왔어요."

"그래. 가짜 알약이 몇 개 있다는 뜻이니?"

"무게가 60㎎ 더 나왔으니 10㎎씩 무거운 가짜 알약이 6개 들어 있다는 뜻이죠."

"맞아. 이제 감이 잡히지 않니?"

"가짜 알약 6개…. 아! 이제 알겠어요!"

"가짜 약병이 뭔지 알아냈니?"

"가짜는 단 하나의 약병에만 들어 있고, 각각의 약병에선 그 번호 수만큼 알약을 뺐잖아요. 그러니까 가짜 알약 6개가 들어 있다는 것은 6번 약병에서 꺼냈다는 것이잖아요. 그러니 가짜 약병은 6번이에요!"

"역시! 힌트를 조금 주니 금세 맞히는구나! 답을 알고 보니 네가 처음 생각한 것만큼 어렵지는 않지?"

"네. 깊이 생각해 보기도 전에 못 푼다고 포기했던 제 모습이 부끄러워지네요."

"하하. 물론 이런 문제들은 그리 쉽게 풀 수 있는 것은 아니야. 방법을 알면 쉽지만, 그 방법을 찾아내는 건 만만치 않아. 하지만 어떤 문제라도 포기하지 않고 오랜 시간 깊이 생각해 보는 것이 중요하단다. 그렇게 하다 보면 문제 해결 능력도 커지고, 그 문제에 대한 이해도 더 확실히 할 수 있어. 어려운 문제를 만나더라도 신중하게 생각하는 습관을 길러보렴. 생각의 폭도 넓어질 거야."

"네. 이제는 깊이 생각해 보지도 않고 포기하는 일은 없게 할게요. 문제 풀 때마다 아빠 말씀 기억할게요!"


[관련 교과] 3학년 2학기 '자료정리'5학년 2학기 '문제 해결 방법 찾기'


[함께 풀어봐요]
똑같이 생긴 18개 인형 중 하나만 더 무거워요. 양팔 저울을 네 번 사용해 가짜 인형을 찾아내는 방법은?

정답: ①저울 좌우에 인형을 9개씩 올린다. 아래로 기우는 쪽에 무거운 인형이 있다.
②그 9개를 4개씩 나눠 저울 양쪽에 올린다. 기울지 않으면 남아 있는 1개가 무거운 인형. ③한쪽으로 기울었다면 그곳에 있던 4개를 저울 좌우에 각각 2개씩 올린다.
④기울어진 곳에 있는 2개를 저울 좌우에 하나씩 올려 무거운 인형을 찾는다.

 조선일보