올록볼록한 퍼즐 맞추며 규칙 찾아봐요

18세기 영국에서 만든 직소 퍼즐… 오목·볼록한 모양 서로 연결돼 퍼즐의 개수는 항상 똑같아요
이 규칙 이용하면서 퍼즐 맞추면 어떤 조각이 몇 개인지 알 수 있죠

은규의 취미는 직소 퍼즐 맞추기랍니다. 최근에는 얼마 전 선물로 받은 500 퍼즐 맞추기에 도전하는 중이지요. 은규가 퍼즐 맞추기에 여념이 없을 때 삼촌이 옆에 와서 넌지시 묻습니다.

"은규야, 직소 퍼즐을 왜 '직소'라고 하는지 아니? 직소(JIGSAW)는 '실톱'이라는 뜻인데, 1760년대 영국의 한 지도 제작 회사에서 세계지도를 나무에 붙이고 직소라는 실톱으로 국경선을 따라 썬 색다른 지도를 만들었다고 해. 썰어낸 지도를 맞춰보면서 나라 위치를 익히도록 말이야. 그러다 점차 요즈음처럼 형태가 복잡한 퍼즐이 됐지."


◇올록볼록한 개수가 같아요

바닥에 흩트린 퍼즐 조각 가운데 두 조각을 집어 맞춰보며 삼촌이 은규에게 묻습니다.

"은규야, 이 조각들에 있는 볼록한 부분과 오목한 부분을 헤아리면 어떤 것이 더 많을까?"

/그림=이창우

"삼촌, 이렇게 많은 조각이 있는데 언제 그걸 다 헤아릴 수 있겠어요?"

"하나하나 세어보지 않아도 알 수 있어. 한번 생각해 보렴."

"음…. 아하! 오목한 부분과 볼록한 부분이 꼭 맞게 연결되니까, 두 부분의 개수는 같을 수밖에 없지요!"

"잘했어. 그럼 이 가로줄에 있는 조각들의 가로 방향(왼쪽과 오른쪽)만 본다면 볼록한 부분과 오목한 부분의 개수는 어떤 것이 더 많을까?"

"이것도 쉬워요. 역시 같아요. 가로 방향으로도 역시 오목한 부분과 볼록한 부분이 연결되니까 개수는 같지요. 그런데 삼촌, 조각의 모양과 그림이 조금씩 달라서 찾기가 어려워요. 한 조각이라도 잃어버리면 퍼즐을 맞출 수가 없으니까요. 그렇지만 못 찾고 있던 조각을 찾아서 맞추면 뿌듯하고 성취감이 있어요."

"그게 바로 퍼즐의 매력이지. 그런데 은규야, 조각을 단순화해서 올록볼록한 모양의 크기와 위치가 같다고 가정한다면 조각 종류는 그렇게 많지 않단다. 우선 조각이 놓이는 위치의 특징에 따라 생각해 봐. 귀퉁이 부분에 오는 조각이 있고, 둘레 부분에 놓이는 조각이 있고, 가운데 부분에 놓이는 조각이 있겠지? 그럼 각 부분에 오는 조각의 종류를 살펴보는 거야. 조각들을 돌려서 겹쳐지면 같은 조각인 거지. 어떻게 하면 모든 종류를 빼먹지 않고 잘 헤아릴 수 있을까?"

/그림=이창우

"볼록한 부분의 개수에 따라 생각해보면 돼요."

은규는 종이 위에 퍼즐 조각들을 열심히 그려보다가 잠시 후에 대답합니다.

"모두 18종류의 조각을 만들 수 있어요. 생각보다 조각의 종류가 적네요."

"잘했어."


◇퍼즐 조각, 맞춰 보지 않아도 알아요

"은규야, 직소 퍼즐의 조각을 직접 맞춰보지 않고도 퍼즐이 되는지 알 수 있단다. 귀퉁이에 볼록한 모양이 2개 있는 조각이 있는데 가로 첫째 줄을 5조각으로 채울 수 있을까? 힌트를 주자면, 아까 가로줄에서 가로 방향으로 오목하고 볼록한 모양 개수가 같다고 한 걸 염두에 두렴."〈삽화 참조〉

"아! 조각들에서 오른쪽·왼쪽만 보면 오목한 부분이 2개인 조각, 오목하고 볼록한 부분이 하나씩 있는 조각, 볼록한 부분이 2개인 조각 이렇게 세 가지 경우가 있어요. 볼록한 부분이 두 개인 조각을 빼고 오목한 것 1개·볼록한 것 1개인 퍼즐 조각을 넣으면 가능해요. 또 오목한 부분 1개·볼록한 부분 1개인 조각을 빼고 오목한 부분 2개 조각을 넣으면 되지요."

"그러면 아래 다섯 종류 조각을 써서 5×7 직소 퍼즐을 만든다면 각 조각이 쓰인 개수는 정해져 있을까? 상황에 따라 조각 개수가 달라질까?"

"놓을 때마다 달라지는 것 아닐까요?"

/그림=이창우

"위에서 했던 줄 맞추기를 보렴. 1번, 2번, 3번 조각의 개수는 변했니?"

"음…. 첫째 가로줄에서 1번 조각이 2개 쓰이고…. 1번 조각 때문에 오목한 부분이 2개인 조각이 필요하니까, 3번 조각을 한 개 써야 해요. 나머지 네 조각은 2번 조각이 채워줘요. 정말 신기해요, 삼촌. 조각 위치는 달라지지만 조각 개수는 변함이 없어요."

"그렇지? 그럼 5×7 직소 퍼즐에서 1번, 2번, 3번 조각이 몇 개씩 쓰이지?"

"1번 조각이 4개, 2번 조각이 12개, 3번 조각이 4개 필요해요."

"아주 훌륭해. 이제 4번 조각과 5번 조각의 개수는 숙제야."

"피, 이제는 혼자서도 구할 수 있어요."

은규는 이제껏 그림을 찾아 맞추기만 했던 직소 퍼즐 속에도 수학이 담겨 있다는 게 신기해 퍼즐을 몇 번이고 들여다보며 맞췄답니다.



[관련 교과] 3학년 1학기 '평면도형의 이동', 3학년 1학기 '곱셈', 4학년 2학기 '규칙 찾기와 문제 해결', 6학년 2학기 '경우의 수'


[함께 생각해봐요]

본문에서 은규 삼촌이 낸 퀴즈를 우리도 한번 맞춰 봐요. 4번·5번 조각은 몇 개가 필요할까요?


해설: 4번 조각은 볼록이 오목보다 2개 더 많고, 5번 조각은 볼록과 오목의 개수가 같습니다. 5번 조각만으로도 바닥을 빈틈없이 채울 수 있어요. 2번 조각은 12개, 3번 조각은 4개이므로 가운데로 향하는 부분을 살펴보면 오목한 부분이 볼록한 부분보다 8개 더 많습니다. 4번 조각과 5번 조각을 합쳐서 볼록이 8개 더 많아야 하지요. 따라서 4번 조각이 4개 있어야 하고, 나머지는 5번 조각 11개로 채울 수 있어요.

정답: 4번 조각 4개, 5번 조각 11개.

 조선일보