마방진, 가로·세로·대각선의 합이 모두 같대요

가로·세로 칸 수 같은 정사각형 판에 배열한 수의 합이 같은 게임인 '마방진'
3×3 사각형에 1~9까지 숫자 넣는다면 중심칸 지나는 4개의 줄 합은 60되죠… 이런 원리를 이용, 숫자 찾을 수 있어요

"준서야, 점심 먹자!" "준서야~"

이게 웬일일까요? 밥이라면 사족을 못 쓰는 준서가 엄마의 부름을 듣지 못했나 봐요. 엄마가 살며시 방에 들어가 보니 준서가 무언가에 집중하고 있네요.

"준서야, 뭘 하느라 엄마가 부르는 소리도 못 듣는 거니?"

"마방진을 푸느라 그랬어요. 숫자가 일부분 적혀 있는 마방진을 풀어보니 무척 재미있었거든요. 그런데 모든 칸이 비어 있는 마방진은 몇 번을 들여다봐도 풀리지 않네요."

준서의 퍼즐 책을 들여다본 엄마가 의자를 가져와 준서 옆에 앉으셨어요.

"그럼 엄마랑 같이 풀어보자. 우선 준서가 마방진에 대해서 아는 것을 이야기해줄래?"

▲ /그림=이창우

"네. 마방진이란 바둑판 모양으로 가로와 세로 칸 수가 같은 정사각형 판에 수를 넣어 배열했을 때, 가로, 세로, 대각선에 놓인 수의 합이 모두 같아지게 만드는 거예요. 가로와 세로가 각각 3칸씩(3×3)인 정사각형 안에 1부터 9까지 자연수를 한 번씩만 써넣어 마방진을 만드는 경우를 예로 들어 볼게요. 1부터 9까지 수의 합은 45이고 가로, 세로가 각각 3줄씩이므로 한 줄의 합이 15가 되도록 배열해야 해요. 그림1처럼 9개의 칸 안에 2, 6, 5, 4가 적혀 있다면, '2+□+6=15'이므로 □는 7이 돼요. 또 '7+5+△=15'이므로 △는 3이고, '4+3+☆=15'이므로 ☆은 8이에요. 나머지 빈칸도 같은 방식으로 채워 넣으면 돼요."

준서의 설명을 들은 엄마는 아주 기특하다는 듯 칭찬하셨어요. 그리고 준서가 풀지 못한 마방진 문제를 찬찬히 훑어보셨어요.

"자, 이제 모든 칸이 비어 있는 마방진에 대해 생각해볼까? 가로와 세로가 각각 3칸씩인 정사각형 판에 1부터 9까지 숫자를 써넣는 마방진은 2가지 풀이법이 있단다."

와~ 몇 번을 다시 봐도 풀지 못한 마방진의 풀이법이 2가지나 된다고? 준서는 깜짝 놀라 엄마를 쳐다봤어요.

"9개 칸에 1부터 9까지 숫자를 써넣을 때 한 줄의 합이 15가 되도록 배열해야 한다는 건 알고 있지? 첫째 방법은 마방진의 한가운데에 들어갈 수를 먼저 찾은 다음, 나머지 수를 써넣는 방법이란다. 가로와 세로가 각각 3칸씩인 마방진의 경우, 한가운데에 있는 칸을 지나는 줄은 모두 4개야. 한 줄의 합이 15이므로, 4개 줄의 합은 60(15×4)이 되겠지? 이때 한가운데 칸은 모두 4번 더해진단다. 이것을 식으로 적어보면, '1+2+3+…+9+(가운데 수)×3=60'이야. 따라서 한가운데에 놓일 수는 5가 된단다. 그렇다면 나머지 수는 어떻게 찾을까? 가운데 들어가는 5를 빼고 1에서 9까지의 합이 40이지? 8개의 수 중 두 수의 합이 같아지려면 각각의 합은 10(1+9, 2+8, 3+7, 4+6)이 되어야 해. 따라서 나머지 칸에는 그림2와 같이 1과 9, 2와 8, 3과 7, 4와 6을 배열하면 된단다."

▲ /그림=이창우

"아하! 그렇구나. 둘째 방법은 뭐예요?"

"둘째 방법은 각각의 칸을 지나는 줄의 수를 세어보면서 빈칸을 채우는 방법이란다. 1에서 9까지의 수 중 3개를 더하여 15가 되는 경우에는 무엇이 있을까?"

"한번 생각해 볼게요. (1ㆍ5ㆍ9) (1ㆍ6ㆍ8) (2ㆍ4ㆍ9) (2ㆍ5ㆍ8) (2ㆍ6ㆍ7) (3ㆍ4ㆍ8) (3ㆍ5ㆍ7) (4ㆍ5ㆍ6)이 있어요."

"그렇지. 그런데 3개를 더하여 15가 되는 경우에서 1부터 9까지 숫자가 각각 몇 번씩 나오고 있니?"

"1·3·7·9는 2번씩, 2·4·6·8은 3번씩, 5는 4번 나와요."

준서의 대답을 들은 엄마는 가로와 세로가 3칸씩인 마방진을 그리고, 각 칸에 ①부터 ⑨까지 번호를 매겼어요. 그런 다음 그 위에 그림 3과 같이 가로선 3개, 세로선 3개, 대각선 2개를 그으셨어요.

"⑤번 칸을 지나는 줄은 네 줄이므로 4번 나오는 수인 5가 ⑤번 칸에 들어가야 한단다. ①, ③, ⑦, ⑨를 지나는 줄은 세 줄이므로 3번 나오는 수인 2·4·6·8이 자리해야 해. 또한 ②, ④, ⑥, ⑧을 지나는 줄은 두 줄이므로 2번 나오는 수 1·3·7·9가 들어가야 하지."

준서는 엄마의 설명을 들으며 각 줄의 합이 15가 되도록 빈칸에 숫자를 채워넣었어요. ①, ③, ⑦, ⑨칸에는 2·4·6·8을, ②, ④, ⑥, ⑧칸에는 9·7·3·1을 순서대로 넣었더니 마방진이 완성되었어요.

"와~ 마방진에도 다양한 풀이법이 있었네요."

[관련교과] 3학년 2학기 '규칙 찾기와 문제 해결'


[함께 풀어봐요]

다음 그림의 빈칸에 4부터 12까지 9개의 수를 한 번씩 써넣어 마방진을 완성하려고 합니다. ★칸에 들어갈 숫자는 무엇일까요?


해설: 4부터 12까지 수의 합은 72이고, 가로, 세로가 각각 3줄씩이므로 한 줄의 합이 24가 되도록 배열하면 됩니다. ★칸을 지나는 줄은 모두 4개이므로, 4개 줄의 수를 모두 합하면 96(24×4)이 나옵니다. 이것을 식으로 나타내면, ‘4+5+6+…+12+(가운데 수)×3=96’이에요. 따라서 ★칸에 들어갈 수는 8입니다.

조선일보